\item Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
\item Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
coprimi è unica.
coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
\item Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
\item Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
e sono univocamente determinati degli interi
e sono univocamente determinati degli interi
positivi $r_1\geq\cdots\geq r_s$ tali che
positivi $r_1\geq\cdots\geq r_s$ tali che
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Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
coprimi è unica.
coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
\end{theorem}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{proof}
%TODO
Poiché $G$ è abeliano, esiste il sottogruppo $G(p_1) G(p_2)\cdots G(p_r)$.
In particolare, dal momento che $\MCD(\abs{G(p_i)}, \abs{G(p_j)})=1$ e che
$G(p_i)\cap G(p_j)=\{e\}$ per
$i \neq j$, vale anche che $\abs{G(p_1) G(p_2)\cdots G(p_r)}=\abs{G}$.
Allora deve valere in particolare che $G = G(p_1) G(p_2)\cdots G(p_r)$. Per
il Teorema di decomposizione in prodotto diretto, si deduce che
