Al contrario, il prodotto scalare $\varphi : \RR^2\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2), (y_1, y_2))= x_1 y_1- x_2 y_2$ non è definito positivo: $\varphi((x, y), (x, y))=0$, $\forall$$(x, y)\mid x^2= y^2$, ossia se
$y = x$ o $y =-x$.
\end{example}
\begin{definition}
Dato un prodotto scalare $\varphi$ di $V$, ad ogni vettore $\vec{v}\in V$ si associa una \textbf{forma quadratica}
$q : V \to\KK$ tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
\end{definition}
\begin{remark}
Si osserva che $q$ non è lineare in generale: infatti $q(\vec{v}+\vec{w})\neq q(\vec{v})+ q(\vec{w})$ in
$\RR^n$.
\end{remark}
\begin{definition}
Un vettore $\vec{v}\in V$ si dice \textbf{isotropo} rispetto al prodotto scalare $\varphi$ se $q(\vec{v})=
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) = 0$.
\end{definition}
\begin{example}
Rispetto al prodotto scalare $\varphi : \RR^3\to\RR$ tale che $\varphi((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3))=
x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$, i vettori isotropi $(x, y, z)$ sono quelli tali che $x^2 + y^2 = z^2$, ossia
i vettori stanti sul cono di eq.~$x^2+ y^2= z^2$.
\end{example}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le app.~multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
$\basis=(\vv1, ..., \vv{k})$, $\vec{v}=\sum_{i=1}^k \alpha_i \vv{i}$ e $\vec{w}=\sum_{i=1}^k \beta_i \vv{i}$,
\begin{theorem} (di cambiamento di base per matrici di prodotti scalari) Siano $\basis$, $\basis'$ due
basi ordinate di $V$. Allora, se $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$ e $P = M^{\basis'}_{\basis}(\Id_V)$, vale la seguente identità:
\[\underbrace{M_{\basis'}(\varphi)}_{A'}= P^\top\underbrace{M_{\basis}}_{A} P. \]
\end{theorem}
\begin{proof} Siano $\basis=(\vv{1}, ..., \vv{n})$ e $\basis' =(\vec{w}_1, ..., \vec{w}_n)$. Allora
$A'_{ij}=\varphi(\vec{w}_i, \vec{w}_j)=[\vec{w}_i]_{\basis}^\top A [\vec{w}_j]_{\basis}=
(P^i)^\top A P^j = P_i^\top (AP)^j = (P^\top AP)_{ij}$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{congruenza} la relazione di equivalenza $\sim$ definita nel seguente
modo su $A, B \in M(n, \KK)$:
\[ A \sim B \iff\exists P \in GL(n, \KK)\mid A = P^\top A P. \]
\end{definition}
\begin{remark}
Si può facilmente osserva che la congruenza è in effetti una relazione di equivalenza. \\
\li$A = I^\top A I \implies A \sim A$ (riflessione), \\
\li$A \sim B \implies A = P^\top B P \implies B =(P^\top)\inv A P\inv=(P\inv)^\top A P\inv\implies B \sim A$ (simmetria), \\
\li$A \sim B \implies A = P^\top B P$, $B \sim C \implies B = Q^\top C Q$, quindi $A = P^\top Q^\top C Q P =
(QP)^\top C (QP)$(transitività).
\end{remark}
\begin{remark}
Si osservano alcune proprietà della congruenza. \\
\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
endomorfismo sono sempre simili).
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\rg(A)=\rg(P^\top B P)=\rg(BP)=\rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
è ben definito il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango di una sua qualsiasi matrice
associata.
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\det(A)=\det(P^\top B P)=\det(P^\top)\det(B)\det(P)=
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è invariante per congruenza.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ lo spazio:
\[ V^\perp=\{\vec{v}\in V \mid\varphi(\vec{v}, \vec{w})=0, \forall\vec{w}\in V \}\]
\end{definition}
\begin{remark}
Il radicale di $\RR^n$ con il prodotto scalare canonico ha dimensione nulla, dal momento che $\forall\vec{v}\in\RR^n \setminus\{\vec{0}\}$, $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$.
\end{remark}
\begin{definition}
Un prodotto scalare si dice \textbf{degenere} se il radicale dello spazio su tale prodotto scalare ha
dimensione non nulla.
\end{definition}
%TODO: spiegare perché \alpha_\varphi è lineare e aggiungere esempi nella parte precedente.
%TODO: aggiungere osservazioni sul radicale (i.e. che è uno spazio, che ogni suo vettore è isotropo, ...).
\begin{remark}
Si definisce l'applicazione lineare $\alpha_\varphi : V \to\dual{V}$ in modo tale che
$\alpha_\varphi(\vec{v})= p$, dove $p(\vec{w})=\varphi(\vec{v}, \vec{w})$. \\
Allora $V^\perp$ altro non è che $\Ker\alpha_\varphi$. Se $V$ ha dimensione finita, $\dim V =\dim\dual{V}$,
e si può allora concludere che $\dim V^\perp > 0\iff\Ker\alpha_\varphi\neq\{\vec{0}\}\iff\alpha_\varphi$ non è
invertibile (infatti lo spazio di partenza e di arrivo di $\alpha_\varphi$ hanno la stessa dimensione). In
particolare, $\alpha_\varphi$ non è invertibile se e solo se $\det(\alpha_\varphi)=0$. \\
Sia $\basis=(\vv{1}, ..., \vv{n})$ una base ordinata di $V$. Si consideri allora la base ordinata del
duale costruita su $\basis$, ossia $\dual{\basis}=(\vecdual{v_1}, ..., \vecdual{v_n})$. Allora
$M_{\basisdual}^\basis(\alpha_\varphi)^i =[\alpha_\varphi(\vv{i})]_{\basisdual}=\Matrix{\varphi(\vec{v_i}, \vec{v_1})\\\vdots\\\varphi(\vec{v_i}, \vec{v_n})}\underbrace{=}_{\varphi\text{ è simmetrica}}
\Matrix{\varphi(\vec{v_1}, \vec{v_i}) \\\vdots\\\varphi(\vec{v_n}, \vec{v_i})} = M_\basis(\varphi)^i$. Quindi
