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feat(algebra1): aggiunge i tre teoremi di isomorfismo
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{I teoremi di isomorfismo}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo. Analogamente si intenderà lo stesso per
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$G'$.
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\end{note}
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Si illustrano i tre teoremi di isomorfismo nella loro
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forma più generale.
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\begin{theorem}[Primo teorema di isomorfismo]
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Sia $\varphi$ un omomorfismo da $G$ in $G'$. Allora,
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se $N \leq \Ker \varphi$, esiste un unico omomorfismo
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$f$ da $G \quot N$ in $G'$ che faccia commutare il
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seguente diagramma commutativo:
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\[\begin{tikzcd}
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G &&& {G'} \\
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\\
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{G/N}
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\arrow["{\pi_N}"', two heads, from=1-1, to=3-1]
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\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-4]
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\arrow["f"', from=3-1, to=1-4]
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\end{tikzcd}\]
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Inoltre, tale $f$ è iniettiva se e solo se $N = \Ker \varphi$
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e in tal caso induce il seguente isomorfismo:
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\[ G \quot {\Ker \varphi} \cong \Im \varphi. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Affinché il diagramma commuti, deve valere la seguente
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relazione:
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\[ \varphi(g) = f(\pi_N(g)) = f(gN). \]
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Pertanto l'unica possibilità è che valga $f(gN) = \varphi(g)$.
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Chiaramente tale mappa è ben definita, infatti se $n \in N$,
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$\varphi(gn) = \varphi(g) \varphi(n) = \varphi(g)$, dacché
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$n$ in particolare è anche un elemento di $\Ker \varphi$.
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Inoltre $f$ è un omomorfismo, dal momento che
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$f(gN hN) = f(ghN) = \varphi(gh) = \varphi(g) \varphi(h) =
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f(gN) f(hN)$. \medskip
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Sia $k \in \Ker \varphi$. Se $f$ è iniettiva, allora $f(gN) = \varphi(g) = e \implies gN = N$. Dal momento che
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$f(kN) = \varphi(k) = e$, $kN = N$, e quindi $k \in N$,
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da cui si deduce che $N = \Ker \varphi$. Se invece
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$N = \Ker \varphi$, $f(gN) = e \implies \varphi(g) = e \implies g \in N$, e quindi $gN = N$, l'identità di
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$G \quot N$, da cui si deduce che $f$ è iniettiva. In tal
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caso la restrizione sull'immagine di $f$ a
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$\Im f$, coincidente con $\Im f \circ \pi_N = \Im \varphi$
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dacché $\pi_N$ è surgettiva, fornisce l'isomorfismo
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ricercato.
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\end{proof}
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In particolare si osserva che $\Ker f = \Ker \varphi \quot N$,
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infatti:
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\[ \Ker f = \{ gN \mid \varphi(g) = e \} = \{ gN \mid g \in \Ker \varphi \} = \Ker \varphi \quot N.
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\]
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\begin{theorem}[Secondo teorema di isomorfismo, o teorema del diamante]
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Siano $H$, $N \leq G$ con $N \nsgeq G$. Allora\footnote{
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Si osserva che effettivamente $H \cap N$ è normale in
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$H$. Infatti se $g \in H \cap N$, allora, se
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$h \in H$, $h g h\inv$ appartiene sempre a $N$
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perché $N$ è normale in $G$ e appartiene anche
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ad $H$ poiché è prodotto di elementi in $H$.
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}\footnote{
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Analogamente $N$ è normale in $HN$, essendo
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normale in $G$.
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}:
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\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
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Pertanto se si considera il seguente diagramma:
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\[\begin{tikzcd}[column sep=0em,row sep=3em]
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& HN \arrow[dl,dash] \arrow[dr,dash] \\
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H \arrow[dr,dash] && N \arrow[dl,dash] \\
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& H\cap N
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\end{tikzcd}\]
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i lati paralleli del parallelogramma (``diamante'')
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forniscono gli isomorfismi dell'enunciato se anche
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$H$ è normale in $G$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : H \to HN \quot N$
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tale per cui $h \mapsto hN$. Si osserva che $\varphi$ è
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effettivamente un omomorfismo, infatti:
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\[ \varphi(hh') = (hh')N = (hN) (h'N) = \varphi(h) \varphi(h'). \]
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Sia $hnN \in HN \quot N$. Allora $hnN = hN$, e quindi
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$\varphi(h) = hN = hnN$, da cui si deduce che
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$\varphi$ è surgettiva (e quindi $\Im \varphi = HN \quot N$).
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\medskip
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Sia $\varphi(h) = e$. Allora $hN = N \implies h \in H \cap N$.
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Si deduce dunque che $\Ker \varphi = H \cap N$, da cui,
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applicando il Primo teorema di isomorfismo, si ottiene
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la tesi:
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\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
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\end{proof}
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\begin{theorem}[Terzo teorema di isomorfismo]
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Siano $H$ e $N$ due sottogruppi normali di $G$ e sia
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$N \leq H$. Allora\footnote{
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Ci sono più modi per vedere che $H \quot N$ è
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normale in $G \quot N$. Un modo di vederlo si
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ottiene dalla dimostrazione stessa del teorema,
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dal momento che si ottiene che $H \quot N$ è
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il kernel dell'omomorfismo $\varphi$. Altrimenti,
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se $hN \in H \quot N$, $gN hN g\inv N = (ghg\inv)N$,
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e poiché $H$ è normale in $G$, $ghg\inv \in H$, da
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cui $(ghg\inv)N \in H \quot N$.
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}:
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\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : G \quot N \to G \quot H$ tale per cui $gN \mapsto gH$. Si verifica innanzitutto
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che la mappa $\varphi$ è ben definita:
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\[ gnH = gH \impliedby N \subseteq H. \]
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Inoltre $\varphi$ è effettivamente un omomorfismo dal momento
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che:
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\[ \varphi(gkN) = gkH = gH \, kH = \varphi(gN) \varphi(kN). \]
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Chiaramente $\varphi$ è una mappa surgettiva e quindi
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$\Im \varphi = G \quot H$.
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Allora, se $g \in \Ker \varphi$, $\varphi(gN) = gH = H$, e quindi $g \in H$. Pertanto $\Ker \varphi = \{
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gN \mid g \in H
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\} = H \quot N$. Si conclude allora, per il Primo teorema
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di isomorfismo, che:
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\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
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\end{proof}
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\end{document}
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