\Large\textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
\end{center}
SIa $V$ uno spazio vettoriale su $\KK$ e sia $\phi : V \times V \to\KK$
un suo prodotto scalare.
\begin{definition}
Due vettori $\vec v$, $\vec w$ si dicono \textbf{ortogonali} se e
solo se $\varphi(\vec v, \vec w)=0$.
\end{definition}
\begin{note}
Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare.
\end{note}
\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
\[\dim W +\dim W^\perp=\dim V +\dim(W \cap V^\perp). \]
\end{proposition}
\begin{definition}
Preso un sottospazio $W \subseteq V$, si definisce lo spazio:
\begin{proof}
Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to\dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
$f(\vec v)(\vec w)=\varphi(\vec v, \vec w)$$\forall\vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp=\Ker f$, da cui,
per la formula delle dimensioni, $\dim V =\dim W^\perp+\rg f$. Inoltre, si osserva anche che
$f = i^\top\circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w)=\vec w$, infatti $f(\vec v)= a_\varphi(\vec v)\circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w)=\varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
$\rg f =\rg(i^\top\circ a_\varphi)$. \\
\[ W^\perp=\{\vec v \in V \mid\varphi(\vec v, \vec w)=0, \forall\vec w \in W \}, \]
Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi\circ i : W \to\dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
detto sottospazio perpendicolare a $W$.
\end{definition}
\begin{note}
Tale notazione è valida anche per sottinsiemi generici di $V$,
perdendo tuttavia la proprietà di sottospazio di $V$.
Poiché $\rg(A)=\rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f)=\rg(g)\implies\rg(i^\top\circ a_\varphi)=\rg(a_\varphi\circ i)=\rg(\restr{a_\varphi}{W})=\dim W -\dim\Ker\restr{a_\varphi}{W}=\dim W -\dim(W \cap\underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp})=\dim W -\dim(W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V =\dim W^\top+\dim W -\dim(W \cap V^\perp)$,
ossia la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
%TODO: da dimostrare.
Valgono le seguenti osservazioni. \\
Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
generato $W =\Span(\vec w)$:\\
\li$S \subseteq T \implies S^\perp\supseteq T^\perp$. \\
l'inclusione vale anche al contrario, dacché ogni vettore
ortogonale a $S$ è ortogonale ad ogni combinazione lineare
degli elementi di $S$, per la bilinearità di $\varphi$).
\li$\vec w ^\perp= W^\perp$, \\
\li$\vec w \notin W^\perp\iff\Rad(\restr{\varphi}{W})= W \cap W^\perp\iff\vec w \text{ non è isotropo }=\zerovecset\iff
V = W \oplus W^\perp$.
\end{remark}
\begin{theorem} (formula della dimensione dello spazio ortogonale)
Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente
identità:
\[\dim W^\perp=\dim V -\dim W +\dim(W \cap V^\perp), \]
da cui, se $\varphi$ è non degenere,
\[\dim W^\perp=\dim V -\dim W. \]
\end{theorem}
\begin{definition}
Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j)=0
\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
\end{definition}
\begin{proposition}
Se $\Char\KK\neq2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
\end{proposition}
\begin{proof}
%TODO: dimostra che Im f^\top = Ann(Ker f).
Sia $\varphi$ non degenere.
Si osserva che $\vec w \in W^\perp$ è tale che
$\alpha_\varphi(\vec v)(\vec w)=0$$\forall\vec v \in V$,
e quindi che $\alpha_\varphi(\vec v)\in\Ann(W)$, che
ha dimensione $\dim V -\dim W$. \\
Nel caso generale, si consideri l'applicazione
$g = i^\top\circ\alpha_\varphi\circ i$, dove
$i : W \to V$ è tale che $i(\vec w)=\vec w$.
Si osserva allora che $W^\top=\Ker(g)$.
%TODO: recupera dimostrazione.
Si nota infatti che $q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w)=2\varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w)=2\inv(q(\vec v +\vec w)- q(\vec v)- q(\vec w))$.
\end{proof}
\begin{proposition}
$V = W \oplus W^\perp\iff W \cap W^\perp=\zerovecset\iff\restr{\varphi}{W}$ è non degenere.
\end{proposition}
\begin{theorem}(di Lagrange)
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char\KK\neq2$ ammette una base ortogonale.
\end{theorem}
\begin{proof}
%TODO: aggiungere dimostrazione.
Sia dimostra il teorema per induzione su $n :=\dim V$. Per $n \leq1$, la dimostrazione è triviale. Sia
allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W =\Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
\end{proof}
%TODO: riguardare appunti.
%TODO: aggiungere teorema di Sylvester complesso e reale.
