le stesse proprietà di una base vettoriale, mediante
cui se ne dimostra l'esistenza).
Sia $E =\AnK$ allora $\ww1$, ..., $\ww n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\ww1}$, ..., $\hat{\ww n}$ con $\hat{\ww i}=\Matrix{\ww i \\[0.03in]\hline1}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti. \\\vskip 0.05in
Sia $E =\AnK$ allora $\ww1$, ..., $\ww n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\ww1}$, ..., $\hat{\ww n}$ con $\hat{\ww i}=\Matrix{\ww i \\[0.03in]\hline1}=\iota(\ww i)\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti. \\\vskip 0.05in
Siano $P_0$, ..., $P_k$ i punti di un riferimento
affine per il sottospazio affine $D$. Allora ogni
@ -2409,46 +2409,45 @@
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini, ossia se:
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
Se $D$ è un sottospazio affine di $E$$f$-invariante,
allora $\restr{f}{D}$ è ancora un'applicazione affine.
Esiste ed è unica l'applicazione lineare $g : V \rightarrow V'$ tale che $f(P)=f(O)+g(P-O)$ per ogni scelta di $P$, $O \in E$; tale applicazione lineare
si denota con $df$ e viene detta \textit{differenziale} di $g$. Analogamente si può sempre costruire un'applicazione affine tale per cui $df=g$, data
$g \in\mathcal{L}(V, V')$.
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
Nel caso in cui $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$, un'applicazione affine $f$ è della forma $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A \x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$. \\\vskip 0.05in
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$. Se $f':E'\rightarrow E''$ è affine, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $d(f' \circ f)= df' \circ df$.
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
Si dice che $f : E \rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva; si definisce $A(E)$ come il gruppo
delle affinità di $E$ rispetto alla composizione. Vale
in particolare che $f$ è un'affinità di $E$$\iff$$df$ è invertibile.
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow\GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo il cui nucleo è dato dalle traslazioni, che pertanto formano un sottogruppo normale.
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
Sia $f \in A(E)$. Allora $d(f\inv)= df\inv$; in particolare, se $E =\AnK$, $f\inv(\vec x)= A\inv\vec x - A\inv\vec b$, dove $f(\vec x)= A \vec x +\vec b$.
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
\end{pmatrix}$
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
Si definisce l'applicazione affine $\iota : \AnK\to
\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$ in modo tale che $\x\mapsto\hat{\x}=\Matrix{\x\\[0.03in]\hline 1}$. Si osserva che $\iota$
è un isomorfismo affine tra $\AnK$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid$$ x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$.
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Sia $f \in A(\AnK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Allora esiste un'unica applicazione lineare $\hat f \in\End(\KK^{n+1})$ che estende $f$ in $\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$ tale per cui
$f(\iota(\x))=\iota(f(\x))$; in particolare tale
applicazione è rappresentata dalla matrice $\hat A$, dove:
\[\hat{A}=\Matrix{ A &\rvline&\vec b \,\\\hline0&\rvline&1\,}. \]
In particolare $\hat A$ dipende da $n^2+ n$ parametri; se si fosse posto $f(D)= D$, sarebbe dipesa invece da $k(k+1)+ n(n-k)$ parametri. Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $\GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A(\AnK)$.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\itemse $f\in A(E)$ e i punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ sono affinemente indipendenti, allora anche i punti $f(P_0)$, ..., $f(P_n)$ sono affinemente indipendenti,
\itemse $\dim E_0= n$, i punti $P_0$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti e anche i punti $Q_0$, ... $Q_n$ sono affinemente indipendenti, allora esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1\text{---}n$,
\itemse$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è un sottospazio affine della stessa dimensione.
\end{enumerate}
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
