Sia ora invece $V$ è uno spazio euclideo reale e $\varphi$ è un prodotto scalare. Allora, $(V_\CC, \varphi_\CC)$
è uno spazio euclideo complesso, e $f_\CC$ è hermitiano. Sia $\basis$ una base di $V$. Allora, come visto all'inizio di questa
dimostrazione, $f_\CC$ ha solo autovalori reali, da cui si ricava che il polinomio caratteristico
di $f_\CC$ è completamente riducibile in $\RR$. Si osserva inoltre che $p_f(\lambda)=\det(M_\basis(f)-\lambda I_n)=\det(M_\basis(f_\CC)-\lambda I_n)= p_{f_\CC}(\lambda)$. Si conclude dunque che
anche $p_f$ è completamente riducibile in $\RR$.
\end{proof}
\begin{remark}
Dal lemma precedente consegue immediatamente che se $A \in M(n, \RR)$ è simmetrica (o se appartiene a
$M(n, \CC)$ ed è hermitiana), considerando l'operatore simmetrico $f_A$ indotto da $A$ in $\RR^n$ (o $\CC^n$),
$f_A$ ha tutti autovalori reali, e dunque così anche $A$.
\end{remark}
\begin{lemma}
Sia $f \in\End(V)$ simmetrico (o hermitiano). Allora se $\lambda$, $\mu$ sono due autovalori distinti
di $f$, $V_\lambda\perp V_\mu$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Siano $\v\in V_\lambda$ e $\w\in V_\mu$. Allora\footnote{Si osserva che non è stato coniugato $\lambda$
nei passaggi algebrici, valendo $\lambda\in\RR$ dallo scorso lemma.}$\lambda\varphi(\v, \w)=\varphi(\lambda\v, \w)=\varphi(f(\v), \w)=\varphi(\v, f(\w))=\varphi(\v, \mu\w)=\mu\varphi(\v, \w)$.
Pertanto vale la seguente identità:
\[(\lambda-\mu)\varphi(\v, \w)=0. \]
\vskip 0.05in
In particolare, valendo $\lambda-\mu\neq0$ per ipotesi, $\varphi(\v, \w)=0\implies V_\lambda\perp V_\mu$,
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{lemma}
Sia $f \in\End(V)$ simmetrico (o hermitiano). Se $W \subseteq V$ è $f$-invariante, allora anche
$W^\perp$ lo è.
\end{lemma}
\begin{proof}
Siano $\w\in W$ e $\v\in W^\perp$. Allora $\varphi(\w, f(\v))=\varphi(\underbrace{f(\w)}_{\in\, W}, \v)=0$, da cui si ricava che $f(\v)\in W^\perp$, ossia la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} [spettrale reale]
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale (o complesso) e sia $f \in\End(V)$ simmetrico (o hermitiano). Allora esiste una base ortogonale $\basis$ di $V$ composta di autovettori per $f$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Siano $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ tutti gli autovalori reali di $f$. Sia inoltre
$W = V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}$. Per i lemmi precedenti,
vale che:
\[ W = V_{\lambda_1}\oplus^\perp\cdots\oplus^\perp V_{\lambda_k}. \]
\vskip 0.05in
Sicuramente $W \subset V$. Si assuma però che $W \subsetneq V$. Allora $V = W \oplus^\perp W^\perp$. In particolare, per il lemma
precedente, $W^\perp$ è $f$-invariante. Quindi $\restr{f}{W^\perp}$ è un endomorfismo
di uno spazio di dimensione non nulla. Si osserva che $\restr{f}{W^\perp}$ è chiaramente
simmetrico (o hermitiano), essendo solo una restrizione di $f$. Allora $\restr{f}{W^\perp}$ ammette
autovalori reali per i lemmi precedenti; tuttavia questo è un assurdo, dal momento che ogni autovalore di $\restr{f}{W^\perp}$ è anche autovalore di $f$ e si era supposto che\footnote{Infatti tale autovalore $\lambda$
non può già comparire tra questi autovalori, altrimenti, detto $i \in\NN$ tale che $\lambda=\lambda_i$, $V_{\lambda_i}\cap W^\perp\neq\zerovecset$, violando la somma diretta supposta.}$\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ fossero
tutti gli autovalori di $f$, \Lightning. Quindi $W = V$. Pertanto, detta $\basis_i$ una base ortonormale
di $V_{\lambda_i}$, $\basis=\cup_{i=1}^k \basis_i$ è una base ortonormale di $V$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{corollary} [teorema spettrale per le matrici]
Sia $A \in M(n, \RR)$ simmetrica (o appartenente a $M(n, \CC)$ ed hermitiana). Allora
$\exists P \in O_n$ (o $P \in U_n$) tale che $P\inv A P = P^\top A P$ (o $P\inv A P = P^* A P$ nel caso hermitiano)
sia una matrice diagonale reale.
\end{corollary}
\begin{proof}
Si consideri $f_A$, l'operatore indotto dalla matrice $A$ in $\RR^n$ (o $\CC^n$). Allora
$f_A$ è un operatore simmetrico (o hermitiano) sul prodotto scalare (o hermitiano) standard.
Pertanto, per il teorema spettrale reale, esiste una base ortonormale $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n\}$ composta di autovettori
di $f_A$. In particolare, detta $\basis'$ la base canonica di $\RR^n$ (o $\CC^n$), vale
