è però per forza vero il contrario, è sufficiente considerare $(0, \infty)$, dove $0$ è solo un punto di
accumulazione destro), \\
\li$f$ è continua in $\xbar$$\iff$$f$ è continua sinistra e destra in $\xbar$, \\
\lise $\xbar$ è un punto di accumulazione destro e sinistro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^+} f(x)= L$ e $\lim_{x \to\xbar^-} f(x)= L$, \\
\lise $\xbar$ è un punto di accumulazione solo destro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^+} f(x)= L$, \\
\lise $\xbar$ è un punto di accumulazione solo sinistro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^-} f(x)= L$.
\liSe $\xbar$ è un punto di accumulazione destro e sinistro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^+} f(x)= L$ e $\lim_{x \to\xbar^-} f(x)= L$, \\
\liSe $\xbar$ è un punto di accumulazione solo destro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^+} f(x)= L$, \\
\liSe $\xbar$ è un punto di accumulazione solo sinistro, $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L \iff\lim_{x \to\xbar^-} f(x)= L$.
\end{remark}
\begin{proposition}
@ -403,20 +403,25 @@
\end{example}
\begin{exercise}
Mostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : I \to\RR$ monotona è al più
Mostrare\footnote{La tesi altro non è che un caso particolare del cosiddetto \textit{teorema di Froda}.} che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : I \to\RR$ monotona è al più
numerabile, dove $I$ è un intervallo.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si assuma $f$ crescente, senza perdita di generalità (altrimenti è sufficiente considerare $g =-f$).
Sia $E$ l'insieme dei punti di discontinuità di $f$. $\forall\xbar\in E$, $\xbar$ è un punto di accumulazione
destro e sinistro di $I$ (infatti $I$ è un intervallo), ed in particolare esistono sempre il limite destro $L^-(\xbar)$
ed il limite sinistro $L^+(\xbar)$ in $\xbar$ (dal momento che $f$ è monotona), e sono tali che $L^+(\xbar) > L^-(\xbar)$ (sicuramente
sono diversi, altrimenti
destro e sinistro di $I$ (infatti $I$ è un intervallo), ed in particolare, per la proposizione precedente, esistono sempre il limite sinistro $L^-(\xbar)$
ed il limite destro $L^+(\xbar)$ in $\xbar$ (dal momento che $f$ è monotona), e sono tali che\footnote{Detti
$A =\{f(x)\mid x < \xbar\E x \in X\}$ e $B =\{f(x)\mid x > \xbar\E x \in X\}$, vale che $L^-(\xbar)=\sup A$ e $L^+(\xbar)=\inf B$. Dal momento che $f$ è crescente, vale che $B \geq A$. Se $\inf B < \sup A$, esisterebbe un $b \in B$ tale che $\sup A > b$, da cui ancora
esisterebbe un $a \in A$ tale che $a > b$, \Lightning. Quindi
$\inf B = L^+(\xbar)\geq\sup A = L^-(\xbar)$.}$L^+(\xbar) > L^-(\xbar)$ (infatti
sono sicuramente diversi, altrimenti
$f$ sarebbe continua in $\xbar$; inoltre $f$ è crescente). Allora sia $f : E \to\QQ$ tale che $\xbar\mapsto c$, dove $c \in\QQ$ è
un punto razionale in $(L^-(\xbar), L^+(\xbar))$ (tale $c$ esiste sempre, per la densità di $\QQ$ in $\RR$).
Inoltre, $x < y \implies L^+(x)\leq L^-(y)$, e quindi ogni intervallo da cui è preso $c$ è distinto al variare
di $\xbar\in E$. Quindi $f$ è iniettiva, e vale $\abs{E}\leq\abs{\QQ}=\abs{\NN}$. Si conclude allora
Inoltre\footnote{Sia $C =\{f(a)\mid x < a < y \}$. Allora $L^+(x)=\inf C$ e $L^-(y)=\sup C$.
Dal momento che $\sup C \geq\inf C$, deve allora valere anche
che $L^+(x)\leq L^-(y)$.}, $x < y \implies L^+(x)\leq L^-(y)$, e quindi ogni intervallo da cui $c$ è estratto è distinto al variare
di $\xbar\in E$. Pertanto $f$ è iniettiva, e vale che $\abs{E}\leq\abs{\QQ}=\abs{\NN}$. Si conclude allora
