Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
@ -960,4 +960,26 @@ Si osserva infine che, se $V = \RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni
\leftproof Se $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura, allora, detta $\basis$
una base di $V$ e $\basis'$ una base di $V'$, $M_\basis(\phi)\cong M_{\basis'}(\phi')$.
Allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:isometrie_equivalenza_base}}, $V$ e $V'$ sono isometrici.
\end{proof}
%TODO: presentare prima i funzionali rappresentabili e poi il teorema di Riesz
\section{Teorema di rappresentazione di Riesz}
\begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto scalare)
Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $\varphi$ un suo prodotto scalare
non degenere. Allora per ogni $f \in V^*$ esiste un unico $\v\in V$ tale che
$f(\w)=\varphi(\v, \w)$$\forall\w\in V$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri l'applicazione $a_\varphi$. Poiché $\varphi$ non è degenere, $\Ker a_\varphi= V^\perp=\zerovecset$, da cui si deduce che $a_\varphi$ è un isomorfismo. Quindi $\forall f \in V^*$ esiste
un unico $\v\in V$ tale per cui $a_\varphi(\v)= f$, e dunque tale per cui $\varphi(\v, \w)= a_\varphi(\v)(\w)= f(\w)$$\forall\w\in V$.
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione costruttiva]
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ una base ortogonale di $V$ per $\varphi$. Allora $\basis^*$ è una base di $V^*$. In
particolare $f = f(\vv1)\vec{v_1^*}+\ldots+ f(\vv n)\vec{v_n^*}$. Sia $\v=\frac{f(\vv1)}{\varphi(\vv1, \vv1)}\vv1+\ldots+\frac{f(\vv n)}{\varphi(\vv n, \vv n)}$. Detto $\w= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$,
si deduce che $\varphi(\v, \w)= a_1 f(\vv1)+\ldots+ a_n f(\vv n)= f(\w)$. Se esistesse $\v' \in V$ con
la stessa proprietà di $\v$, $\varphi(\v, \w)=\varphi(\v', \w)\implies\varphi(\v-\v', \w)$$\forall\w\in V$. Si deduce dunque che $\v-\v' \in V^\perp$, contenente solo $\vec0$ dacché $\varphi$ è non degenere;
e quindi si conclude che $\v=\v'$, ossia che esiste solo un vettore con la stessa proprietà di $\v$.
la formula delle dimensioni anche nel caso del prodotto hermitiano.
\end{remark}
\begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto hermitiano)
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\CC$ e sia $\varphi$ un suo prodotto hermitiano non
degenere. Allora per ogni $f \in V^*$ esiste un unico $\v\in V$ tale che
$f(\w)=\varphi(\v, \w)$$\forall\w\in V$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ una base ortogonale di $V$ per $\varphi$. Allora $\basis^*$ è una base di $V^*$. In
particolare $f = f(\vv1)\vec{v_1^*}+\ldots+ f(\vv n)\vec{v_n^*}$. Sia $\v=\frac{\conj{f(\vv1)}}{\varphi(\vv1, \vv1)}\vv1+\ldots+\frac{\conj{f(\vv n)}}{\varphi(\vv n, \vv n)}$. Detto $\w= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$,
si deduce che $\varphi(\v, \w)= a_1 f(\vv1)+\ldots+ a_n f(\vv n)= f(\w)$. Se esistesse $\v' \in V$ con
la stessa proprietà di $\v$, $\varphi(\v, \w)=\varphi(\v', \w)\implies\varphi(\v-\v', \w)$$\forall\w\in V$. Si deduce dunque che $\v-\v' \in V^\perp$, contenente solo $\vec0$ dacché $\varphi$ è non degenere;
e quindi si conclude che $\v=\v'$, ossia che esiste solo un vettore con la stessa proprietà di $\v$.
\end{proof}
\section{Da $\CC$ ad $\RR$ e viceversa}
\subsection{Restrizione ai reali di un $\CC$-spazio}
\chapter{Spazi euclidei e teorema spettrale (non indicizzato)}
\chapter{Aggiunta di un endomorfismo e spazi euclidei}
\begin{note}
Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
@ -6,38 +6,12 @@
dipendentemente dal contesto.
\end{note}
\begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto scalare)
Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $\varphi$ un suo prodotto scalare
non degenere. Allora per ogni $f \in V^*$ esiste un unico $\v\in V$ tale che
$f(\w)=\varphi(\v, \w)$$\forall\w\in V$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri l'applicazione $a_\varphi$. Poiché $\varphi$ non è degenere, $\Ker a_\varphi= V^\perp=\zerovecset$, da cui si deduce che $a_\varphi$ è un isomorfismo. Quindi $\forall f \in V^*$ esiste
un unico $\v\in V$ tale per cui $a_\varphi(\v)= f$, e dunque tale per cui $\varphi(\v, \w)= a_\varphi(\v)(\w)= f(\w)$$\forall\w\in V$.
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione costruttiva]
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ una base ortogonale di $V$ per $\varphi$. Allora $\basis^*$ è una base di $V^*$. In
particolare $f = f(\vv1)\vec{v_1^*}+\ldots+ f(\vv n)\vec{v_n^*}$. Sia $\v=\frac{f(\vv1)}{\varphi(\vv1, \vv1)}\vv1+\ldots+\frac{f(\vv n)}{\varphi(\vv n, \vv n)}$. Detto $\w= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$,
si deduce che $\varphi(\v, \w)= a_1 f(\vv1)+\ldots+ a_n f(\vv n)= f(\w)$. Se esistesse $\v' \in V$ con
la stessa proprietà di $\v$, $\varphi(\v, \w)=\varphi(\v', \w)\implies\varphi(\v-\v', \w)$$\forall\w\in V$. Si deduce dunque che $\v-\v' \in V^\perp$, contenente solo $\vec0$ dacché $\varphi$ è non degenere;
e quindi si conclude che $\v=\v'$, ossia che esiste solo un vettore con la stessa proprietà di $\v$.
\end{proof}
\begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto hermitiano)
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\CC$ e sia $\varphi$ un suo prodotto hermitiano non
degenere. Allora per ogni $f \in V^*$ esiste un unico $\v\in V$ tale che
$f(\w)=\varphi(\v, \w)$$\forall\w\in V$.
\end{theorem}
\begin{definition} (base ortonormale)
Si definisce \textbf{base ortonormale} di uno spazio vettoriale $V$ su un suo prodotto $\varphi$
una base ortogonale $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ tale che $\varphi(\vv i, \vv j)=\delta_{ij}$.
\end{definition}
\begin{proof}
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ una base ortogonale di $V$ per $\varphi$. Allora $\basis^*$ è una base di $V^*$. In
particolare $f = f(\vv1)\vec{v_1^*}+\ldots+ f(\vv n)\vec{v_n^*}$. Sia $\v=\frac{\conj{f(\vv1)}}{\varphi(\vv1, \vv1)}\vv1+\ldots+\frac{\conj{f(\vv n)}}{\varphi(\vv n, \vv n)}$. Detto $\w= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$,
si deduce che $\varphi(\v, \w)= a_1 f(\vv1)+\ldots+ a_n f(\vv n)= f(\w)$. Se esistesse $\v' \in V$ con
la stessa proprietà di $\v$, $\varphi(\v, \w)=\varphi(\v', \w)\implies\varphi(\v-\v', \w)$$\forall\w\in V$. Si deduce dunque che $\v-\v' \in V^\perp$, contenente solo $\vec0$ dacché $\varphi$ è non degenere;
e quindi si conclude che $\v=\v'$, ossia che esiste solo un vettore con la stessa proprietà di $\v$.
\end{proof}
\section{Trasposto di un endomorfismo su un prodotto scalare}
\begin{proposition}
Sia $V$ uno spazio vettoriale con prodotto scalare $\varphi$ non degenere.
@ -86,6 +60,48 @@
$g = f_\varphi^\top$.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ un prodotto scalare non degenere di $V$. Sia $f \in\End(V)$. Allora
\section{Aggiunto di un endomorfismo su un prodotto hermitiano}
\begin{proposition}
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\CC$ e sia $\varphi$ un suo prodotto hermitiano. Allora esiste un'unica
mappa\footnote{Si osservi che $f^*$ non è un'applicazione lineare, benché sia invece \textit{antilineare}.}$f^* : V \to V$, detta \textbf{aggiunto di}$f$, tale che $\varphi(\v, f(\w))=\varphi(f^*(\v), \w)$$\forall\v$, $\w\in V$.
@ -128,51 +144,6 @@
da cui si deduce, come prima, che $f =(f^*)^*$.
\end{remark}
\begin{definition} (base ortonormale)
Si definisce \textbf{base ortonormale} di uno spazio vettoriale $V$ su un suo prodotto $\varphi$
una base ortogonale $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ tale che $\varphi(\vv i, \vv j)=\delta_{ij}$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ un prodotto scalare non degenere di $V$. Sia $f \in\End(V)$. Allora
Quindi la base ottenuta è $\basis' =\{\e1, \e2, \e3\}$, ossia la base canonica di $\RR^3$, già
ortonormale.
\end{example}
\begin{remark}
Si osserva adesso che se $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo (e quindi $\varphi > 0$), e $W$ è
un sottospazio di $V$, vale la seguente decomposizione:
@ -665,6 +578,8 @@
dove $\varphi(\w, \w')=0$.
\end{remark}
\subsection{La proiezione ortogonale}
\begin{definition} (proiezione ortogonale)
Si definisce l'applicazione $\pr_W : V \to V$, detta \textbf{proiezione ortogonale} su $W$,
in modo tale che $\pr_W(\v)=\w$, dove $\v=\w+\w'$, con $\w\in W$ e $\w' \in W^\perp$.
@ -712,6 +627,8 @@
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{L'inversione ortogonale e le riflessioni}
\begin{definition} (inversione ortogonale)
Si definisce l'applicazione $\rho_W : V \to V$, detta \textbf{inversione ortogonale}, in modo tale che, detto $\v=\w+\w' \in V$ con $\w\in W$, $\w\in W^\perp$, $\rho_W(\v)=\w-\w'$. Se $\dim W =\dim V -1$,
si dice che $\rho_W$ è una \textbf{riflessione}.
@ -726,6 +643,8 @@
Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
\end{remark}
\subsubsection{Il teorema di Cartan-Dieudonné}
\begin{lemma} Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale.
Siano $\U$, $\w\in V$. Se $\norm{\U}=\norm{\w}$, allora esiste un sottospazio $W$ di dimensione
$n-1$ per cui la riflessione $\rho_W$ relativa a $\varphi$ è tale che $\rho_W(\U)=\w$.
@ -789,7 +708,7 @@
\setcounter{lemma}{0}
\hr
\subsection{Il teorema spettrale per operatori simmetrici ed hermitiani}
\begin{lemma}
Sia $f \in\End(V)$ simmetrico (o hermitiano). Allora $f$ ha solo autovalori reali\footnote{Nel caso
@ -843,6 +762,7 @@
da cui la tesi.
\end{proof}
%TODO: mostrare in generale che se W è f-invariante, W^\perp è f*-invariante
\begin{lemma}
Sia $f \in\End(V)$ simmetrico (o hermitiano). Se $W \subseteq V$ è $f$-invariante, allora anche
$W^\perp$ lo è.
@ -908,6 +828,8 @@
la dimensione di $V^\perp_\varphi=\Ker a_\varphi$).
\end{remark}
\subsection{Operatori normale e triangolazione con base ortonormale}
\begin{theorem} [di triangolazione con base ortonormale]
Sia $f \in\End(V)$, dove $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo su $\KK$. Allora,
se $p_f$ è completamente riducibile in $\KK$, esiste una base ortonormale $\basis$
@ -1067,6 +989,8 @@
riducibile in $\RR$$\iff$$A = A^\top$.
\end{remark}
\section{Alcuni esercizi svolti}
\begin{exercise}
Sia $V$ uno spazio dotato del prodotto $\varphi$. Sia
$W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Sia $\basis_W=\{\ww1, \ldots, \ww k \}$
