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-\section*{Premessa}
+\chapter*{Premessa}

 TODO
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Introduzione alla teoria degli anelli}
+\chapter{Introduzione alla teoria degli anelli}

-\subsection{Definizione e prime proprietà}
+\section{Definizione e prime proprietà}

 \begin{definition}
    Si definisce \textbf{anello}\footnote{In realtà, si parla in questo caso di anello \textit{con unità}, in cui vale l'assioma di esistenza di un'identità
@@ -158,7 +158,7 @@ tutto analoga a quella di \textit{sottogruppo}.
    L'anello dei polinomi su un campo, $\KK[x]$, è un dominio.
 \end{example}

-\subsection{Omomorfismi di anelli e ideali}
+\section{Omomorfismi di anelli e ideali}

 \begin{definition}
    Un \textbf{omomorfismo di anelli}\footnote{La specificazione "di anelli" è d'ora in avanti omessa.} è una mappa $\phi : A \to B$ -- con
@@ -255,7 +255,7 @@ così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i grupp
    monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
 \end{example}

-\subsection{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo}
+\section{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo}

 Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
 completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Teoremi rilevanti sui campi finiti}
+\chapter{Teoremi rilevanti sui campi finiti}

-\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}}
+\section{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}}

 \begin{theorem}
    Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ e sia
@@ -97,7 +97,7 @@
    \Lightning{}.
 \end{proof}

-\subsection{L'inclusione \texorpdfstring{$\FFpm \subseteq \FFpn$}{F\_(p\string^m) in F\_(p\string^n)} e il polinomio \texorpdfstring{$x^{p^n}-x$}{x\string^(p\string^n)-x}}
+\section{L'inclusione \texorpdfstring{$\FFpm \subseteq \FFpn$}{F\_(p\string^m) in F\_(p\string^n)} e il polinomio \texorpdfstring{$x^{p^n}-x$}{x\string^(p\string^n)-x}}

 \begin{lemma}
    \label{lem:alpha_radice}
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Polinomi simmetrici}
+\chapter{Polinomi simmetrici}

-\subsection{Definizione e prime proprietà}
+\section{Definizione e prime proprietà}

 Sia $\KK$ un campo. Dati $\sigma \in S_n$ e un polinomio $f \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$,
 si definisce il seguente polinomio:
@@ -245,6 +245,6 @@ ossia il polinomio ottenuto permutando le variabili $x_i$ secondo $\sigma$.
    e surgettivo, è un isomorfismo, da cui la tesi.
 \end{proof}

-\subsection{Teorema fondamentale dell'Algebra}
+\section{Teorema fondamentale dell'Algebra}


@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Anelli euclidei, PID e UFD}
+\chapter{Anelli euclidei, PID e UFD}

-\subsection{Prime proprietà}
+\section{Prime proprietà}

 Nel corso della storia della matematica, numerosi studiosi hanno tentato
 di generalizzare -- o meglio, accomunare a più strutture algebriche -- il
@@ -81,7 +81,7 @@ alle proprietà immediate di un anello euclideo.
    $r$ è nullo. Si conclude quindi che $aq = 1$, e dunque che $a \in E^*$.
 \end{proof}

-\subsection{Irriducibili e prime definizioni}
+\section{Irriducibili e prime definizioni}

 Come accade nell'aritmetica dei numeri interi, anche in un dominio è possibile definire
 una nozione di \textit{primo}. In un dominio possono essere tuttavia definiti due tipi di "primi",
@@ -175,7 +175,7 @@ gli elementi \textit{irriducibili} e gli elementi \textit{primi}.
    implicherebbe che $c \in A^*$, \Lightning{}.
 \end{proof}

-\subsection{PID e MCD}
+\section{PID e MCD}

 Come accade per $\ZZ$, in ogni anello euclideo è possibile definire il
 concetto di \textit{massimo comun divisore}, sebbene con qualche accortezza
@@ -311,7 +311,7 @@ sul fatto che ogni anello euclideo è un PID.
    Altrimenti $\MCD(a,b) \in D^*$, e quindi, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_gcd}}, $a \mid c$.
 \end{proof}

-\subsection{L'algoritmo di Euclide}
+\section{L'algoritmo di Euclide}

 Per algoritmo di Euclide si intende un algoritmo che è in grado di
 produrre in un numero finito di passi un MCD tra due elementi
@@ -400,7 +400,7 @@ divisione euclidea\footnote{Ossia $a \bmod b$ restituisce un $r$ tale che $\exis
    Poiché quindi $d_n$ è generatore di $(e_0, d_0)=(a,b)$, $d_n = \MCD(a,b)$.
 \end{proof}

-\subsection{UFD e fattorizzazione}
+\section{UFD e fattorizzazione}

 Si enuncia ora la definizione fondamentale di UFD, sulla
 quale costruiremo un teorema fondamentale per gli anelli
@@ -490,7 +490,7 @@ euclidei.
    verificando la tesi.
 \end{proof}

-\subsection{Il teorema cinese del resto}
+\section{Il teorema cinese del resto}

    Il noto \nameref{th:cinese} è un risultato più generale di quanto
    si sia visto nel contesto dell'aritmetica modulare. Difatti, esso è
@@ -644,7 +644,7 @@ euclidei.
        
    \end{proof}

-\subsection{La seminorma di \texorpdfstring{$\ZZ[\sqrt{n}]$}{Z[√n]}}
+\section{La seminorma di \texorpdfstring{$\ZZ[\sqrt{n}]$}{Z[√n]}}

 Si definisce innanzitutto $\ZZ[\sqrt{n}]$ nel seguente modo:

@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
+\chapter{Esempi notevoli di anelli euclidei}

-\subsection{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}
+\section{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}

 Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
 l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
@@ -20,7 +20,7 @@ Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Te
    fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
 \textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.

-\subsection{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
+\section{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}

 Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
 per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
@@ -36,7 +36,7 @@ Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
 poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
 necessario verificare nessun'altra proprietà.

-\subsection{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KK[x]$}{K[x]}}
+\section{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KK[x]$}{K[x]}}

 I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
 nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
@@ -62,7 +62,7 @@ euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli u
    $\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
 \end{example}

-\subsection{Gli interi di Gauss: \texorpdfstring{$\ZZ[i]$}{Z[i]}}
+\section{Gli interi di Gauss: \texorpdfstring{$\ZZ[i]$}{Z[i]}}

 Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:

@@ -136,7 +136,7 @@ di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
    \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
 \end{proof}

-\subsection{Gli interi di Eisenstein: \texorpdfstring{$\ZZ[\omega]$}{Z[ω]}}
+\section{Gli interi di Eisenstein: \texorpdfstring{$\ZZ[\omega]$}{Z[ω]}}

 Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
 interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
+\chapter{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}

 Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
 funzione grado:
@@ -10,7 +10,7 @@ importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
 che discende direttamente come corollario di un teorema più
 generale riguardante $\ZZi$.

-\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
+\section{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}

 \begin{lemma}
    \label{lem:riducibile_due_quadrati}
@@ -178,7 +178,7 @@ generale riguardante $\ZZi$.
 Infine si enuncia un'ultima identità inerente all'aritmetica, ma
 strettamente collegata a $\ZZi$.

-\subsection{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}
+\section{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}

 \begin{proposition}[\textit{Identità di Brahmagupta-Fibonacci}]
    \label{prop:fibonacci}
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
+\chapter{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}

-\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}
+\section{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}

 Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
 alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
@@ -178,7 +178,7 @@ verrà ripresa anche in seguito
    irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
 \end{example}

-\subsection{Alcuni irriducibili di \texorpdfstring{$\ZZ_2[x]$}{Z\_2[x]}}
+\section{Alcuni irriducibili di \texorpdfstring{$\ZZ_2[x]$}{Z\_2[x]}}

 Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
 un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
@@ -227,7 +227,7 @@ Tutti questi irriducibili sono raccolti nella seguente tabella:
    è per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}.
 \end{example}

-\subsection{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}
+\section{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}

 Si enunciano in questa sezione i teoremi più importanti per
 lo studio dell'irriducibilità dei polinomi in $\QQx$ e
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}}
+\chapter{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}}

-\subsection{Elementi preliminari}
+\section{Elementi preliminari}

 Prima di procedere ad enunciare le proprietà più
 rilevanti dell'anello dei polinomi $\KKx$, si ricorda
@@ -89,7 +89,7 @@ ora invece la definizione di radice.
    quindi un UFD, \Lightning{}. Quindi le radici sono esattamente $k \leq n$, da cui la tesi.
 \end{proof}

-\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
+\section{Sottogruppi moltiplicativi finiti di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}

 Si illustra adesso un teorema che riguarda i sottogruppi
 moltiplicativi finiti di $\KK$, da cui conseguirà,
@@ -203,7 +203,7 @@ qualsiasi $p$ primo. \\
    Quindi $\card{X_d}>0$, e $G$ è ciclico.
 \end{proof}

-\subsection{Il quoziente \texorpdfstring{$\KKx/(f(x))$}{K[x]/(f(x))}}
+\section{Il quoziente \texorpdfstring{$\KKx/(f(x))$}{K[x]/(f(x))}}

 Nell'ambito dello studio delle radici di un polinomio,
 il quoziente $\KKx/(f(x))$ gioca un ruolo fondamentale.
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
+\chapter{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}

-\subsection{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
+\section{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}

 Si definisce adesso il concetto di \textit{omomorfismo di
    valutazione}, che impiegheremo successivamente nello
@@ -223,7 +223,7 @@ seguente teorema.
    $A[\alpha] \cong A[\beta]$.
 \end{proof}

-\subsection{Teorema delle torri ed estensioni algebriche}
+\section{Teorema delle torri ed estensioni algebriche}

 \begin{definition}
    Siano $A \subseteq B$ campi. Allora si denota come
@@ -547,7 +547,7 @@ seguente teorema.
    tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
 \end{proof}

-\subsection{Campi di spezzamento di un polinomio}
+\section{Campi di spezzamento di un polinomio}

 Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
+\chapter{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}

 Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
 fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Introduzione alla teoria dei campi}
+\chapter{Introduzione alla teoria dei campi}

-\subsection{La caratteristica di un campo}
+\section{La caratteristica di un campo}

 Si consideri il seguente omomorfismo:

@@ -64,7 +64,7 @@ campi con la seguente definizione:
    Infatti $\psi(p) = p \, \psi(1) = 0$.
 \end{remark*}

-\subsection{Prime proprietà dei campi di caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}
+\section{Prime proprietà dei campi di caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}

 Come si è appena visto, un campo $\KK$ di caratteristica $p$ contiene
 al suo interno un sottocampo $\FFpp$ isomorfo a $\ZZp$, ed è per questo
@@ -110,7 +110,7 @@ seguente teorema.
    Si desume così l'identità della tesi.
 \end{proof}

-\subsection{L'omomorfismo di Frobenius}
+\section{L'omomorfismo di Frobenius}

 \begin{definition}
    Dato un campo $\KK$ di caratteristica $p$, si definisce
@@ -228,7 +228,7 @@ seguente teorema.
 \end{proof}


-\subsection{Classificazione dei campi finiti}
+\section{Classificazione dei campi finiti}

 \begin{theorem}
    Ogni campo finito $\KK$ di caratteristica $p$ consta
@@ -1,5 +1,5 @@
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@@ -25,13 +25,8 @@
 \title{L'Algebrario}
 \subtitle{dispense del corso di Aritmetica}
 \author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{A.A. 2022/2023}
+\date{A.A. 2022/2023 \\ \vskip 1in \includegraphics[scale=0.3]{logo.png}}
 \maketitle
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-
-\begin{center}
-	\includegraphics[scale=0.3]{logo.png}
-\end{center}

 \newpage
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@@ -115,7 +110,7 @@
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage

-\section{Riferimenti bibliografici}
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
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 \end{document}
@@ -408,6 +408,17 @@
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