Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
\end{remark}
\end{remark}
% TODO: dimostrare sia il lemma che il teorema
\begin{lemma} Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale.
\begin{lemma}
Siano $\U$, $\w\in V$. Se $\norm{\U}=\norm{\w}$, allora esiste un sottospazio $W$ di dimensione
Siano $\U$, $\w\in V$. Se $\norm{\U}=\norm{\w}$, allora esiste un sottospazio $W$ di dimensione
$n-1$ per cui la riflessione $\rho_W$ è tale che $\rho_W(\U)=\w$.
$n-1$ per cui la riflessione $\rho_W$ relativa a $\varphi$ è tale che $\rho_W(\U)=\w$.
\end{lemma}
\end{lemma}
\begin{theorem}
\begin{proof} Se $\v$ e $\w$ sono linearmente dipendenti, dal momento che $\norm{v}=\norm{w}$, deve valere anche
Ogni isometria è prodotto di al più $n+1$ riflessioni.
che $\v=\w$. Sia $\U\neq\vec0$, $\U\in\Span(\v)^\perp$. Si consideri $U =\Span(\U)$: si osserva che
$\dim U =1$ e che, essendo $\varphi$ non degenere, $\dim U^\perp= n-1$. Posto allora $W = U^\perp$, si ricava,
sempre perché $\varphi$ è non degenere, che $U = U^\dperp= W^\perp$. Si conclude pertanto che $\rho_W(\v)=
\v = \w$. \\
Siano adesso $\v$ e $\w$ linearmente indipendenti e sia $U =\Span(\v-\w)$. Dal momento che $\dim U =1$ e $\varphi$ è non degenere, $\dim U^\perp= n-1$. Sia allora $W = U^\perp$. Allora, come prima, $U = U^\dperp= W^\perp$. Si consideri dunque la riflessione $\rho_W$: dacché $\v=\frac{\v+\w}{2}+\frac{\v-\w}{2}$, e $\varphi(\frac{\v+\w}{2}, \frac{\v-\w}{2})=\frac{\norm{\v}-\norm{\w}}{4}=0$, $\v$ è già decomposto in un elemento di $W$ e in uno di $W^\perp$, per cui si conclude che $\rho_W(\v)=
\begin{theorem} [di Cartan–Dieudonné] Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale.
Ogni isometria di $V$ è allora prodotto di al più $n$ riflessioni.
\end{theorem}
\end{theorem}
\begin{proof}
Si dimostra la tesi applicando il principio di induzione sulla dimensione $n$
di $V$. \\
\basestep Sia $n =1$ e sia inoltre $f$ un'isometria di $V$. Sia $\vv1$ l'unico elemento di una base ortonormale $\basis$ di $V$. Allora $\norm{f(\vv1)}=\norm{\vv1}=1$, da cui si ricava che\footnote{Infatti, detto $\lambda\in\RR$ tale che $f(\vv1)=\lambda\vv1$, $\norm{\vv1}=\norm{f(\vv1)}=\lambda^2\norm{\vv1}\implies\lambda=\pm1$, ossia $f =\pm\Id$, come volevasi dimostrare.}$f(\vv1)=\pm\vv1$,
ossia che $f =\pm\Idv$. Se $f =\Idv$, $f$ è un prodotto vuoto, e già verifica la tesi; altrimenti
$f =\rho_{\zerovecset}$, dove si considera $V = V \oplus^\perp\zerovecset$. Pertanto $f$ è prodotto
di al più una riflessione. \\
\inductivestep Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Sia $f$ un'isometria di $V$. Si
assuma inizialmente l'esistenza di $\vv i$ tale per cui $f(\vv i)=\vv i$. Allora, detto $W =\Span(\vv i)$, si può decomporre $V$ come $W \oplus^\perp W^\perp$. Si osserva che $W^\perp$ è $f$-invariante: infatti,
se $\U\in W^\perp$, $\varphi(\vv i, f(\U))=\varphi(f(\vv i), f(\U))=\varphi(\vv i, \U)=0\implies
f(\U) \in W^\perp$. Pertanto si può considerare l'isometria $\restr{f}{W^\perp}$. Dacché $\dim W^\perp = n - 1$,
per il passo induttivo esistono $W_1$, ..., $W_k$ sottospazi di $W^\perp$ con $k \leq n-1$ per cui $\rho_{W_1}$, ..., $\rho_{W_k}\in\End(W^\perp)$ sono tali che $\restr{f}{W^\perp}=\rho_{W_1}\circ\cdots\circ\rho_{W_k}$. \\
Si considerino allora le riflessioni $\rho_{W_1\oplus^\perp W}$, ..., $\rho_{W_k \oplus^\perp W}$.
Si mostra che $\restr{\rho_{W_1\oplus^\perp W}\circ\cdots\circ\rho_{W_k \oplus^\perp W}}{W}=\Idw=\restr{f}{W}$.
Affinché si faccia ciò è sufficiente mostrare che $(\rho_{W_1\oplus^\perp W}\circ\cdots\circ\rho_{W_k \oplus^\perp W})(\vv i)=\vv i$. Si osserva che $\vv i \in W_i \oplus^\perp W$$\forall1\leq i \leq k$, e
quindi che $\rho_{W_k \oplus^\perp W}(\vv i)=\vv i$. Reiterando l'applicazione di questa identità nel prodotto,
si ottiene infine il risultato desiderato. Infine, si dimostra che $\restr{\rho_{W_1\oplus^\perp W}\circ\cdots\circ\rho_{W_k \oplus^\perp W}}{W^\perp}=\rho_{W_1}\circ\cdots\circ\rho_{W_k}=\restr{f}{W^\perp}$. Analogamente a prima,
è sufficiente mostrare che $\rho_{W_k \oplus^\perp W}(\U)=\rho_{W_k}(\U)$$\forall\U\in W^\perp$.
Sia $\U=\rho_{W_k}(\U)+\U'$ con $\U' \in W_k^\perp\cap W^\perp\subseteq(W_k \oplus^\perp W)^\perp$,
ricordando che $W^\perp= W_k \oplus^\perp(W^\perp\cap W_k^\perp)$.
Allora, poiché $\rho_{W_k}(\U)\in W_k \subseteq(W_k \oplus^\perp W)$, si conclude che
$\rho_{W_k \oplus^\perp W}(\U)=\rho_{W_k}(\U)$. Pertanto, dacché vale che $V = W \oplus^\perp W^\perp$ e che $\rho_{W_1\oplus^\perp W}\circ\cdots\circ\rho_{W_k \oplus^\perp W}$ e $f$, ristretti su $W$ o su $W^\perp$, sono le stesse identiche mappe, allora
in particolare vale l'uguaglianza più generale:
\[ f =\rho_{W_1\oplus^\perp W}\circ\cdots\circ\rho_{W_k \oplus^\perp W}, \]
\vskip 0.05in
e quindi $f$ è prodotto di $k \leq n-1$ riflessioni. \\
Se invece non esiste alcun $\vv i$ tale per cui $f(\vv i)=\vv i$, per il \textit{Lemma 1} esiste
una riflessione $\tau$ tale per cui $\tau(f(\vv i))=\vv i$. In particolare $\tau\circ f$ è anch'essa
un'isometria, essendo composizione di due isometrie. Allora, da prima, esistono $U_1$, ..., $U_k$ sottospazi
di $V$ con $k \leq n-1$ tali per cui $\tau\circ f =\rho_{U_1}\circ\cdots\circ\rho_{U_k}$, da
cui $f =\tau\circ\rho_{U_1}\circ\cdots\circ\rho_{U_k}$, ossia $f$ è prodotto di al più
$n$ riflessioni, concludendo il passo induttivo.
\end{proof}
\setcounter{lemma}{0}
\setcounter{lemma}{0}
\hr
\hr
@ -1078,7 +1133,7 @@
\begin{proof}
\begin{proof}
Si assuma che $V$ è uno spazio euclideo complesso, e quindi che $\varphi$ è un prodotto hermitiano. Allora,
Si assuma che $V$ è uno spazio euclideo complesso, e quindi che $\varphi$ è un prodotto hermitiano. Allora,
se $f$ è hermitiano, sia $\lambda\in\CC$ un suo autovalore\footnote{Tale autovalore esiste sicuramente dal momento
se $f$ è hermitiano, sia $\lambda\in\CC$ un suo autovalore\footnote{Tale autovalore esiste sicuramente dal momento
che $\KK=\CC$ è un campo algebricamente chiuso.} e sia $\v\in\lambda$. Allora $\varphi(\v, f(\v))=
che $\KK=\CC$ è un campo algebricamente chiuso.} e sia $\v\inV_\lambda$. Allora $\varphi(\v, f(\v))=
\varphi(f(\v), \v) = \conj{\varphi(\v, f(\v))}\implies\varphi(\v, f(\v)) \in\RR$. Inoltre vale
\varphi(f(\v), \v) = \conj{\varphi(\v, f(\v))}\implies\varphi(\v, f(\v)) \in\RR$. Inoltre vale
