feat(algebra1): aggiunge un esempio di identificazione di D_n in S_n

Secondo anno/Algebra 1/6. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex

@@ -193,7 +193,7 @@
 			\ord(\cleq 3) = 2 \neq 6$.
 		}\footnote{
 			A prescindere da quanto valga $\MCD(\ord(x), \ord(y))$,
-			se $x$ e $y$ commutano, esiste sempre un elemento
+			se $x$ e $y$ commutano, esiste però sempre un elemento
 			$g \in G$ tale per cui $\ord(g) = \mcm(\ord(x), \ord(y))$.
 		} $x$, $y$ due elementi di $G$ che commutano con
 		$\MCD(\ord(x), \ord(y)) = 1$. Allora $\ord(xy) = \ord(x) \ord(y)$. % TODO: aggiungere la dimostrazione

Secondo anno/Algebra 1/8. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex

@@ -99,9 +99,33 @@
 	
 	
 	In generale vale dunque che $s r^k s\inv = r^{-k}$. Si deduce allora la presentazione del gruppo $D_n$:
-	\[ D_n = \gen{r,s \mid r^n = 1, s^2 = 1, s r s\inv = r\inv}. \] \smallskip
+	\[ D_n = \gen{r,s \mid r^n = 1, s^2 = 1, s r s\inv = r\inv}. \]
-	
+	
-	
+	\begin{example}[Sottogruppi di $S_n$ isomorfi al gruppo diedrale]
+		Si consideri il sottogruppo $H$ di $S_5$ generato da
+		$r = (1, 2, 3, 4, 5)$ e $s = (2, 3)(4, 5)$. L'ordine di $r$ è
+		esattamente $5$, mentre $s^2 = 1$. Allo stesso tempo vale che
+		$s r s\inv = r\inv$, e quindi tale sottogruppo è isomorfo a $D_5$.
+		Tale identificazione si può verificare più facilmente osservando
+		come $r$ ed $s$ agiscono sul seguente pentagono:
+		\[\begin{tikzcd}[cramped,column sep=small,row sep=scriptsize]
+			&& 1 \\
+			\\
+			2 &&&& 5 \\
+			\\
+			& 3 && 4
+			\arrow["r", tail reversed, no head, from=3-5, to=5-4]
+			\arrow["r"', from=3-5, to=1-3]
+			\arrow["r"', from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["r"', from=3-1, to=5-2]
+			\arrow["s", tail reversed, from=5-2, to=5-4]
+			\arrow["s"', tail reversed, from=3-5, to=3-1]
+			\arrow["r"', curve={height=12pt}, from=5-2, to=5-4]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{example}
+	
+	\smallskip
+
 	Si descrivono adesso tutti i sottogruppi di $D_n$. Innanzitutto, in $\rotations$
 	per ogni $d \mid n$ esiste un unico sottogruppo di ordine $d$ dal momento che
 	$\rotations$ è ciclico. Pertanto ogni tale sottogruppo assume la forma

tex/latex/style/notes_2023.sty

@@ -20,6 +20,8 @@
 
 \usepackage{tikz-cd}
 
+\usepackage{quiver}
+
 \usepackage[italian]{babel}
 
 \usepackage{tabularx}

tex/latex/style/quiver.sty

@@ -0,0 +1,40 @@
+% *** quiver ***
+% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app.
+%
+% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ
+% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height.
+%
+% Version: 1.3.0
+% Authors:
+% - varkor (https://github.com/varkor)
+% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c)
+
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
+
+% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
+\RequirePackage{tikz-cd}
+% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
+\RequirePackage{amssymb}
+% `calc` is necessary to draw curved arrows.
+\usetikzlibrary{calc}
+% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
+\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+
+% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
+\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
+    .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
+    settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
+        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
+    quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
+
+% TikZ arrowhead/tail styles.
+\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
+\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
+\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
+% TikZ arrow styles.
+\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
+
+\endinput