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feat(geometria): finisce di aggiungere gli appunti della lezione del 17/04/2023

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Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf
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Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex
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@ -337,7 +337,6 @@
una matrice di Sylvester, $\varphi_\CC$ mantiene anche la stessa segnatura di $\varphi$. una matrice di Sylvester, $\varphi_\CC$ mantiene anche la stessa segnatura di $\varphi$.
\end{proof} \end{proof}
% TODO: aggiungere ultimi lemmi sulla restrizione e la complessificazione
\hr \hr
\begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto scalare) \begin{theorem} (di rappresentazione di Riesz per il prodotto scalare)
@ -376,8 +375,8 @@
\begin{proposition} \begin{proposition}
Sia $V$ uno spazio vettoriale con prodotto scalare $\varphi$ non degenere. Sia $V$ uno spazio vettoriale con prodotto scalare $\varphi$ non degenere.
Sia $f \in \End(V)$. Allora esiste un unico endomorfismo Sia $f \in \End(V)$. Allora esiste un unico endomorfismo
$g : V \to V$, detto il \textbf{trasposto di} $f$ e indicato con $f^\top$ in assenza $f_\varphi^\top : V \to V$, detto il \textbf{trasposto di} $f$ e indicato con $f^\top$ in assenza
di ambiguità\footnote{Si tenga infatti in conto della differenza tra $f^\top : V \to V$, di cui si discute di ambiguità\footnote{Si tenga infatti in conto della differenza tra $f_\varphi^\top : V \to V$, di cui si discute
nell'enunciato, e $f^\top : V^* \to V^*$ che invece è tale che $f^top(g) = g \circ f$.}, tale che: nell'enunciato, e $f^\top : V^* \to V^*$ che invece è tale che $f^top(g) = g \circ f$.}, tale che:
\[ a_\varphi \circ g = f^\top \circ a_\varphi, \] \[ a_\varphi \circ g = f^\top \circ a_\varphi, \]
@ -392,32 +391,32 @@
\begin{proof} \begin{proof}
Si consideri $(f^\top \circ a_\varphi)(\v) \in V^*$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz per Si consideri $(f^\top \circ a_\varphi)(\v) \in V^*$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz per
il prodotto scalare, esiste un unico $\v'$ tale che $(f^\top \circ a_\varphi)(\v)(\w) = \varphi(\v', \w) \implies \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(\v', \w)$ $\forall \w \in V$. Si costruisce allora una mappa il prodotto scalare, esiste un unico $\v'$ tale che $(f^\top \circ a_\varphi)(\v)(\w) = \varphi(\v', \w) \implies \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(\v', \w)$ $\forall \w \in V$. Si costruisce allora una mappa
$g : V \to V$ che associa a $\v$ tale $\v'$. Si dimostra che $g$ è un'applicazione lineare, e che $f_\varphi^\top : V \to V$ che associa a $\v$ tale $\v'$. Si dimostra che $f_\varphi^\top$ è un'applicazione lineare, e che
dunque è un endomorfismo: dunque è un endomorfismo:
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item Siano $\vv 1$, $\vv 2 \in V$. Si deve dimostrare innanzitutto che $g(\vv 1 + \vv 2) = g(\vv 1) + g(\vv 2)$, ossia che $\varphi(g(\vv 1) + g(\vv 2), \w) = \varphi(\vv 1 + \vv 2, f(\w))$ $\forall \w \in V$. \\ \item Siano $\vv 1$, $\vv 2 \in V$. Si deve dimostrare innanzitutto che $f_\varphi^\top(\vv 1 + \vv 2) = f_\varphi^\top(\vv 1) + f_\varphi^\top(\vv 2)$, ossia che $\varphi(f_\varphi^\top(\vv 1) + f_\varphi^\top(\vv 2), \w) = \varphi(\vv 1 + \vv 2, f(\w))$ $\forall \w \in V$. \\
Si osservano le seguenti identità: Si osservano le seguenti identità:
\begin{align*} \begin{align*}
&\varphi(\vv 1 + \vv 2, f(\w)) = \varphi(\vv 1, f(\w)) + \varphi(\vv 2, f(\w)) = (*), \\ &\varphi(\vv 1 + \vv 2, f(\w)) = \varphi(\vv 1, f(\w)) + \varphi(\vv 2, f(\w)) = (*), \\
&\varphi(g(\vv 1) + g(\vv 2), \w) = \varphi(g(\vv 1), \w) + \varphi(g(\vv 2), \w) = (*), &\varphi(f_\varphi^\top(\vv 1) + f_\varphi^\top(\vv 2), \w) = \varphi(f_\varphi^\top(\vv 1), \w) + \varphi(f_\varphi^\top(\vv 2), \w) = (*),
\end{align*} \end{align*}
da cui si deduce l'uguaglianza desiderata, essendo $g(\vv 1 + \vv 2)$ l'unico vettore di $V$ da cui si deduce l'uguaglianza desiderata, essendo $f_\varphi^\top(\vv 1 + \vv 2)$ l'unico vettore di $V$
con la proprietà enunciata dal teorema di rappresentazione di Riesz. con la proprietà enunciata dal teorema di rappresentazione di Riesz.
\item Sia $\v \in V$. Si deve dimostrare che $g(a \v) = a g(\v)$, ossia che $\varphi(a g(\v), \w) = \item Sia $\v \in V$. Si deve dimostrare che $f_\varphi^\top(a \v) = a f_\varphi^\top(\v)$, ossia che $\varphi(a f_\varphi^\top(\v), \w) =
\varphi(a\v, f(\w))$ $\forall a \in \KK$, $\w \in V$. Se $a = 0$, l'uguaglianza è ovvia; altrimenti è \varphi(a\v, f(\w))$ $\forall a \in \KK$, $\w \in V$. È
sufficiente moltiplicare per $a$ l'identità $\varphi(g(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w))$. Analogamente sufficiente moltiplicare per $a$ l'identità $\varphi(f_\varphi^\top(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w))$. Analogamente
a prima, si deduce che $g(a \v) = a g(\v)$, essendo $g(a \v)$ l'unico vettore di $V$ con la a prima, si deduce che $f_\varphi^\top(a \v) = a f_\varphi^\top(\v)$, essendo $f_\varphi^\top(a \v)$ l'unico vettore di $V$ con la
proprietà enunciata dal teorema di rappresentazione di Riesz. proprietà enunciata dal teorema di rappresentazione di Riesz.
\end{enumerate} \end{enumerate}
Infine si dimostra che $g$ è unico. Sia infatti $g'$ un endomorfismo di $V$ che condivide la stessa Infine si dimostra che $f_\varphi^\top$ è unico. Sia infatti $g$ un endomorfismo di $V$ che condivide la stessa
proprietà di $g$. Allora $\varphi(g(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(g'(\v), \w)$ $\forall \v$, $\w \in V$, da cui si deduce che $\varphi(g(\v) - g'(\v), \w) = 0$ $\forall \v$, $\w \in V$, ossia che proprietà di $f_\varphi^\top$. Allora $\varphi(f_\varphi^\top(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(g(\v), \w)$ $\forall \v$, $\w \in V$, da cui si deduce che $\varphi(f_\varphi^\top(\v) - '(\v), \w) = 0$ $\forall \v$, $\w \in V$, ossia che
$g(\v) - g'(\v) \in V^\perp$ $\forall \v \in V$. Tuttavia $\varphi$ è non degenere, e quindi $V^\perp = \zerovecset$, da cui si deduce che deve valere l'identità $g(\v) = g'(\v)$ $\forall \v \in V$, ossia $f_\varphi^\top(\v) - g(\v) \in V^\perp$ $\forall \v \in V$. Tuttavia $\varphi$ è non degenere, e quindi $V^\perp = \zerovecset$, da cui si deduce che deve valere l'identità $f_\varphi^\top(\v) = g(\v)$ $\forall \v \in V$, ossia
$g = g'$. $g = f_\varphi^\top$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@ -434,7 +433,7 @@
Si dimostra infine che la mappa $f^*$ è unica. Sia infatti $\mu : V \to V$ che condivide la stessa Si dimostra infine che la mappa $f^*$ è unica. Sia infatti $\mu : V \to V$ che condivide la stessa
proprietà di $f^*$. Allora $\varphi(f^*(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(\mu(\v), \w)$ $\forall \v$, $\w \in V$, da cui si deduce che $\varphi(f^*(\v) - \mu(\v), \w) = 0$ $\forall \v$, $\w \in V$, ossia che proprietà di $f^*$. Allora $\varphi(f^*(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(\mu(\v), \w)$ $\forall \v$, $\w \in V$, da cui si deduce che $\varphi(f^*(\v) - \mu(\v), \w) = 0$ $\forall \v$, $\w \in V$, ossia che
$f^*(\v) - \mu(\v) \in V^\perp$ $\forall \v \in V$. Tuttavia $\varphi$ è non degenere, e quindi $V^\perp = \zerovecset$, da cui si deduce che deve valere l'identità $f^*(\v) = \mu(\v)$ $\forall \v \in V$, ossia $f^*(\v) - \mu(\v) \in V^\perp$ $\forall \v \in V$. Tuttavia $\varphi$ è non degenere, e quindi $V^\perp = \zerovecset$, da cui si deduce che deve valere l'identità $f^*(\v) = \mu(\v)$ $\forall \v \in V$, ossia
$f^* = \mu$. $\mu = f^*$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{remark} \begin{remark}
@ -462,6 +461,97 @@
da cui si deduce, come prima, che $f = (f^*)^*$. da cui si deduce, come prima, che $f = (f^*)^*$.
\end{remark} \end{remark}
\begin{definition} (base ortonormale)
Si definisce \textbf{base ortonormale} di uno spazio vettoriale $V$ su un suo prodotto $\varphi$
una base ortogonale $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ tale che $\varphi(\vv i, \vv j) = \delta_{ij}$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ un prodotto scalare non degenere di $V$. Sia $f \in \End(V)$. Allora
vale la seguente identità:
\[ M_\basis(f_\varphi^\top) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi), \]
dove $\basis$ è una base di $V$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $\basis^*$ la base relativa a $\basis$ in $V^*$. Per la proposizione precedente vale la seguente identità:
\[ a_\varphi \circ f_\varphi^\top = f^\top \circ a_\varphi. \]
Pertanto, passando alle matrici associate, si ricava che:
\[ M_{\basis^*}^\basis(a_\varphi) M_\basis(f_\varphi^\top) = M_{\basis^*}(f^\top) M_{\basis^*}^\basis(a_\varphi). \]
Dal momento che valgono le seguenti due identità:
\[ M_{\basis^*}^\basis(a_\varphi) = M_\basis(\varphi), \qquad M_{\basis^*}(f^\top) = M_\basis(f)^\top, \]
e $a_\varphi$ è invertibile (per cui anche $M_\basis(\varphi)$ lo è), si conclude che:
\[ M_\basis(\varphi) M_\basis(f_\varphi^\top) = M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi) \implies M_\basis(f_\varphi^\top) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi), \]
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{corollary} Sia $\varphi$ un prodotto scalare di $V$.
Se $\basis$ è una base ortonormale, $\varphi$ è non degenere e $M_\basis(f_\varphi^\top) = M_\basis(f)^\top$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Se $\basis$ è una base ortonormale, $M_\basis(\varphi) = I_n$. Pertanto $\varphi$ è
non degenere. Allora, per la proposizione precedente:
\[ M_\basis(f_\varphi^\top) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi) = M_\basis(f)^\top. \]
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ un prodotto hermitiano non degenere di $V$. Sia $f \in \End(V)$. Allora
vale la seguente identità:
\[ M_\basis(f_\varphi^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi), \]
dove $\basis$ è una base di $V$.
\end{proposition}
\begin{proof} Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$.
Dal momento che $\varphi$ è non degenere, $\Ker M_\basis(\varphi) = V^\perp = \zerovecset$, e quindi
$M_\basis(\varphi)$ è invertibile. \\
Dacché allora $\varphi(f^*(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w))$ $\forall \v$, $\w \in V$,
vale la seguente identità:
\[ [f^*(\v)]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [f(\w)]_\basis, \]
ossia si deduce che:
\[ [\v]_\basis^* M_\basis(f^*)^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\w]_\basis. \]
Sostituendo allora a $\v$ e $\w$ i vettori della base $\basis$, si ottiene che:
\begin{gather*}
(M_\basis(f^*)^* M_\basis(\varphi))_{ij} = [\vv i]_\basis^* M_\basis(f^*)^* M_\basis(\varphi) [\vv j]_\basis = \\ = [\vv i]_\basis^* M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\vv j]_\basis = (M_\basis(\varphi) M_\basis(f))_{ij},
\end{gather*}
e quindi che $M_\basis(f^*)^* M_\basis(\varphi) = M_\basis(\varphi) M_\basis(f)$. Moltiplicando
a destra per l'inversa di $M_\basis(\varphi)$ e prendendo l'aggiunta di ambo i membri (ricordando
che $M_\basis(\varphi)^* = M_\basis(\varphi)$, essendo $\varphi$ un prodotto hermitiano), si ricava
l'identità desiderata.
\end{proof}
\begin{corollary} Sia $\varphi$ un prodotto hermitiano di $V$ spazio vettoriale su $\CC$.
Se $\basis$ è una base ortonormale, $\varphi$ è non degenere e $M_\basis(f_\varphi^*) = M_\basis(f)^*$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Se $\basis$ è una base ortonormale, $M_\basis(\varphi) = I_n$. Pertanto $\varphi$ è
non degenere. Allora, per la proposizione precedente:
\[ M_\basis(f_\varphi^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi) = M_\basis(f)^*. \]
\end{proof}
\begin{note} \begin{note}
D'ora in poi, nel corso del documento, s'intenderà per $\varphi$ un prodotto scalare (o eventualmente hermitiano) non degenere di $V$. D'ora in poi, nel corso del documento, s'intenderà per $\varphi$ un prodotto scalare (o eventualmente hermitiano) non degenere di $V$.
\end{note} \end{note}
@ -527,12 +617,7 @@
\begin{definition} (spazio euclideo complesso) \begin{definition} (spazio euclideo complesso)
Si definisce \textbf{spazio euclideo complesso} uno spazio vettoriale $V$ su $\CC$ dotato Si definisce \textbf{spazio euclideo complesso} uno spazio vettoriale $V$ su $\CC$ dotato
del prodotto scalare standard $\varphi = \innprod{\cdot, \cdot}$. del prodotto hermitiano standard $\varphi = \innprod{\cdot, \cdot}$.
\end{definition}
\begin{definition} (base ortonormale)
Si definisce \textbf{base ortonormale} di uno spazio vettoriale $V$ su un suo prodotto $\varphi$
una base ortogonale $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ tale che $\varphi(\vv i, \vv j) = \delta_{ij}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@ -540,10 +625,8 @@
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proof} \begin{proof}
Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è simmetrico, allora $[\v]_\basis^\top \, M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(f(\v), \w) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top \, M_\basis(f)^\top [\w]_\basis$. \\ Per il corollario precedente, $f$ è simmetrico $\iff f = f^\top \iff M_\basis(f) = M_\basis(f^\top) =
In particolare, $M_\basis(f)^\top_{ij} = [\vv i]_\basis^\top \, M_\basis(f)^\top [\vv j]_\basis = [\vv i]_\basis^\top \, M_\basis(f) [\vv j]_\basis = M_\basis(f)_{ij}$, e quindi $M_\basis(f)^\top = M_\basis(f)$. \\ M_\basis(f)^\top$.
Se invece $M_\basis(f)^\top = M_\basis(f)$, $\varphi(\v, f(\w)) =$ $[\v]_\basis^\top M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis)$ $= [\v]_\basis^\top M_\basis(f) [\w]_\basis$ $= [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top [\w]_\basis = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top [\w]_\basis = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(f(\v), \w)$, e quindi $f$ è simmetrico.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@ -555,7 +638,7 @@
Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è ortogonale, allora Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è ortogonale, allora
$[\v]_\basis^\top \, [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top \, M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(\v, \w) = $[\v]_\basis^\top \, [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top \, M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(\v, \w) =
\varphi(f(\v), f(\w)) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top \, M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w)) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top \, M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) =
[\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(f) [\w]_\basis$. Allora, come visto nella proposizione precedente, si ricava che $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = I_n$. Dal momento che gli inversi sinistri sono anche inversi destri, $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^\top = I_n$. \\ [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(f) [\w]_\basis$. Allora, come visto nel corollario precedente, si ricava che $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = I_n$. Dal momento che gli inversi sinistri sono anche inversi destri, $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^\top = I_n$. \\
Se invece $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^\top = I_n$, $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^\top [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(f) [\w]_\basis = Se invece $M_\basis(f)^\top M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^\top = I_n$, $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^\top [\w]_\basis = [\v]_\basis^\top M_\basis(f)^\top M_\basis(f) [\w]_\basis =
(M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top (M_\basis(f) [\w]_\basis) =$ $(M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w))$, e quindi (M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top (M_\basis(f) [\w]_\basis) =$ $(M_\basis(f) [\v]_\basis)^\top M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w))$, e quindi
@ -567,9 +650,7 @@
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proof} \begin{proof}
Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è hermitiano, allora $[\v]_\basis^* \, M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(\v, f(\w)) = \varphi(f(\v), \w) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* \, M_\basis(f)^* [\w]_\basis$. Allora, come visto nella proposizione precedente, si ricava che $M_\basis(f) = M_\basis(f)^*$. Per il corollario precedente, $f$ è hermitiana $\iff$ $f = f^*$ $\iff M_\basis(f) = M_\basis(f^*) = M_\basis(f)^*$.
Se invece $M_\basis(f)^* = M_\basis(f)$, $\varphi(\v, f(\w)) =$ $[\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis)$ $= [\v]_\basis^* M_\basis(f) [\w]_\basis$ $= [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* [\w]_\basis = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* [\w]_\basis = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(f(\v), \w)$, e quindi $f$ è hermitiano.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@ -580,13 +661,20 @@
Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è unitario, allora Si osserva che $M_\basis(\varphi) = I_n$. Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$. Se $f$ è unitario, allora
$[\v]_\basis^* \, [\w]_\basis = [\v]_\basis^* \, M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(\v, \w) = $[\v]_\basis^* \, [\w]_\basis = [\v]_\basis^* \, M_\basis(\varphi) [\w]_\basis = \varphi(\v, \w) =
\varphi(f(\v), f(\w)) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* \, M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w)) = (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* \, M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) =
[\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(f) [\w]_\basis$. Allora, come visto nella proposizione precedente, si ricava che $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = I_n$. Dal momento che gli inversi sinistri sono anche inversi destri, $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^* = I_n$. \\ [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi) M_\basis(f) [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(f) [\w]_\basis$. Allora, come visto nel corollario precedente, si ricava che $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = I_n$. Dal momento che gli inversi sinistri sono anche inversi destri, $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^* = I_n$. \\
Se invece $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^* = I_n$, $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(f) [\w]_\basis$ $= Se invece $M_\basis(f)^* M_\basis(f) = M_\basis(f) M_\basis(f)^* = I_n$, $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* [\w]_\basis = [\v]_\basis^* M_\basis(f)^* M_\basis(f) [\w]_\basis$ $=
(M_\basis(f) [\v]_\basis)^* (M_\basis(f) [\w]_\basis)$ $= (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w))$, e quindi (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* (M_\basis(f) [\w]_\basis)$ $= (M_\basis(f) [\v]_\basis)^* M_\basis(\varphi) (M_\basis(f) [\w]_\basis) = \varphi(f(\v), f(\w))$, e quindi
$f$ è unitario. $f$ è unitario.
\end{proof} \end{proof}
\begin{remark}
Se $\basis$ è una base ortonormale di $(V, \varphi)$, ricordando che $M_\basis(f^\top) = M_\basis(f)^\top$ e che $M_\basis(f^*) = M_\basis(f)^*$, sono equivalenti allora i seguenti fatti: \\
\li $f \circ f^\top = f^\top \circ f = \Idv$ $\iff$ $M_\basis(f)$ è ortogonale $\iff$ $f$ è ortogonale, \\
\li $f \circ f^* = f^* \circ f = \Idv$ $\iff$ $M_\basis(f)$ è unitaria $\iff$ $f$ è unitario (se $V$ è uno spazio vettoriale su $\CC$).
\end{remark}
\begin{proposition} \begin{proposition}
Sia $V = \RR^n$ uno spazio vettoriale col prodotto scalare standard $\varphi$. Allora sono equivalenti i seguenti fatti: Sia $V = \RR^n$ uno spazio vettoriale col prodotto scalare standard $\varphi$. Allora sono equivalenti i seguenti fatti:
@ -645,6 +733,72 @@
Quindi $A^* A = A A^* = I_n$, da cui si deduce che $A \in U_n$. Quindi $A^* A = A A^* = I_n$, da cui si deduce che $A \in U_n$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proposition}
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale. Allora valgono i seguenti tre risultati:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(V_\CC, \varphi_\CC)$ è uno spazio euclideo complesso.
\item Se $f \in \End(V)$ è simmetrico, allora $f_\CC \in \End(V)$ è hermitiano.
\item Se $f \in \End(V)$ è ortogonale, allora $f_\CC \in \End(V)$ è unitario.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Dacché $\varphi$ è il prodotto scalare standard dello spazio euclideo reale $V$, esiste una base ortnormale di $V$. Sia allora $\basis$ una base ortonormale di $V$. Si dimostrano i tre risultati separatamente.
\begin{itemize}
\item È sufficiente dimostrare che $\varphi_\CC$ altro non è che il prodotto hermitiano standard.
Come si è già osservato precedentemente, $M_\basis(\varphi_\CC) = M_\basis(\varphi)$, e quindi,
dacché $M_\basis(\varphi) = I_n$, essendo $\basis$ ortonormale, vale anche che $M_\basis(\varphi_\CC) = I_n$,
ossia $\varphi_\CC$ è proprio il prodotto hermitiano standard.
\item Poiché $f$ è simmetrico, $M_\basis(f) = M_\basis(f)^\top$, e quindi anche
$M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f_\CC)^\top$. Dal momento che $M_\basis(f) \in M(n, \RR)$,
$M_\basis(f) = \conj{M_\basis(f)} \implies M_\basis(f_\CC)^\top = M_\basis(f_\CC)^*$.
Quindi $M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f_\CC)^*$, ossia $M_\basis(f_\CC)$ è hermitiana,
e pertanto anche $f_\CC$ è hermitiano.
\item Poiché $f$ è ortogonale, $M_\basis(f) M_\basis(f)^\top = I_n$, e quindi
anche $M_\basis(f_\CC) M_\basis(f_\CC)^\top = I_n$. Allora, come prima, si deduce
che $M_\basis(f_\CC)^\top = M_\basis(f_\CC)^*$, essendo $M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f) \in M(n, \RR)$,
da cui
si ricava che $M_\basis(f_\CC) M_\basis(f_\CC)^* = M_\basis(f_\CC) M_\basis(f_\CC)^\top = I_n$, ossia che $f_\CC$ è unitario. \\ \qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{exercise}
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale. Allora valgono i seguenti risultati:
\begin{itemize}
\item Se $f$, $g \in \End(V)$ commutano, allora anche $f_\CC$, $g_\CC \in \End(V_\CC)$ commutano.
\item Se $f \in \End(V)$, $(f^\top)_\CC = (f_\CC)^*$.
\item Se $f \in \End(V)$, $f$ diagonalizzabile $\iff$ $f^\top$ diagonalizzabile.
\end{itemize}
\end{exercise}
\begin{solution}
Dacché $\varphi$ è il prodotto scalare standard dello spazio euclideo reale $V$, esiste una base ortonormale $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$ di $V$. Si dimostrano allora separatamente i tre risultati.
\begin{itemize}
\item Si osserva che $M_\basis(f_\CC) M_\basis(g_\CC) = M_\basis(f) M_\basis(g) =
M_\basis(g) M_\basis(f) = M_\basis(g_\CC) M_\basis(f_\CC)$, e quindi
che $f_\CC \circ g_\CC = g_\CC \circ f_\CC$.
\item Si osserva che $M_\basis(f) \in M(n, \RR) \implies M_\basis(f)^\top = M_\basis(f)^*$, e quindi che $M_\basis((f^\top)_\CC) = M_\basis(f^\top) = M_\basis(f)^\top = M_\basis(f)^* = M_\basis(f_\CC)^* = M_\basis((f_\CC)^*)$. Allora
$(f^\top)_\CC= (f_\CC)^*$.
\item Poiché $\basis$ è ortonormale, $M_\basis(f^\top) = M_\basis(f)^\top$. Allora, se
$f$ è diagonalizzabile, anche $M_\basis(f)$ lo è, e quindi $\exists P \in \GL(n, \KK)$,
$D \in M(n, \KK)$ diagonale tale che $M_\basis(f) = P D P\inv$. Allora $M_\basis(f^\top) =
M_\basis(f)^\top = (P^\top)\inv D^\top P^\top$ è simile ad una matrice diagonale, e
pertanto $M_\basis(f^\top)$ è diagonalizzabile. Allora anche $f^\top$ è diagonalizzabile.
Vale anche il viceversa considerando l'identità $f = (f^\top)^\top$ e l'implicazione
appena dimostrata.
\end{itemize}
\end{solution}
\hr \hr
\begin{note} \begin{note}
@ -652,12 +806,12 @@
euclideo, reale o complesso. euclideo, reale o complesso.
\end{note} \end{note}
\begin{definition} (norma) \begin{definition} (norma euclidea)
Sia $(V, \varphi)$ un qualunque spazio euclideo. Si definisce \textbf{norma} la mappa Sia $(V, \varphi)$ un qualunque spazio euclideo. Si definisce \textbf{norma} la mappa
$\norm{\cdot} : V \to \RR^+$ tale che $\norm{\v} = \sqrt{\varphi(\v, \v)}$. $\norm{\cdot} : V \to \RR^+$ tale che $\norm{\v} = \sqrt{\varphi(\v, \v)}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition} (distanza tra due vettori) \begin{definition} (distanza euclidea tra due vettori)
Sia $(V, \varphi)$ un qualunque spazio euclideo. Si definisce \textbf{distanza} la mappa Sia $(V, \varphi)$ un qualunque spazio euclideo. Si definisce \textbf{distanza} la mappa
$d : V \times V \to \RR^+$ tale che $d(\v, \w) = \norm{\v - \w}$. $d : V \times V \to \RR^+$ tale che $d(\v, \w) = \norm{\v - \w}$.
\end{definition} \end{definition}

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