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@ -726,7 +726,14 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
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\]
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\end{remark}
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\section{Momenti e disuguaglianze, (co)varianza, dev.~standard, mediana e moda}
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\begin{remark}
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La formula presentata si estende in modo naturale al caso di più variabili:
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\[
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\EE[\varphi(X_1, \ldots, X_n)] = \int_{\RR^n} \varphi(x_1, \ldots, x_n) f(x_1, \ldots, x_n) \dx_1 \cdots \dx_n.
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\]
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\end{remark}
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\section{Momenti e disuguaglianze, varianza, covarianza, dev.~standard, mediana e moda}
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Tutti le disuguaglianze sul valore atteso (e.g.~Markov) e tutti i risultati
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riguardanti i momenti (assoluti e non), la covarianza, la varianza, la
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@ -748,4 +755,142 @@ $\EE[\cdot]$. Si rimanda dunque alla \hyperref[sec:momenti_assoluti]{\textit{Par
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di tale intervallo è mediana.
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\end{proposition}
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\section{Trasformazioni di variabili aleatorie}
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\begin{proposition}[Formula del cambio di variabili] Sia $X : \Omega \to \RR^d$ una v.a. assolutamente
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continua con densità $f_X$ tale per cui $f_X \equiv 0$ fuori da un aperto $O \subseteq \RR^d$. Sia
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$\varphi : O \to O'$ un diffeomorfismo con $O' \subseteq \RR^d$ aperto (i.e.~$\varphi$ è $C^1$, invertibile e
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$\varphi\inv$ è $C^1$). Allora la v.a.~$Y = \varphi(X)$ è assolutamente continua con densità:
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\[
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f_Y(y) = f_X(\varphi\inv(y)) \, \abs{\det D\varphi\inv(y)} \, 1_O(y), \quad y \in \RR^d.
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\]
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Segue dall'usuale formula del cambio di variabili per l'integrale di Lebesgue.
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[Densità della somma]
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Siano $X$, $Y : \Omega \groupto \RR$ v.a.~reali con $(X, Y)$ AC di densità $f_{(X, Y)}$. Allora
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$X+Y$ è assolutamente continua con densità:
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\[
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f_{X+Y}(z) = \int_\RR f_{(X, Y)}(x, z-x) \dx = \int_\RR f_{(X, Y)}(z-y, y) \dy.
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\]
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\end{proposition}
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\begin{corollary}
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Siano $X$, $Y : \Omega \groupto \RR$ v.a.~reali, AC con densità $f_X$ e $f_Y$, e indipendenti. Allora
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$X+Y$ è assolutamente continua con densità:
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\[
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f_{X+Y}(z) = (f_X * f_Y)(z) = \int_\RR f_X(x) f_Y(z-x) \dx = \int_\RR f_X(z-y) f_Y(y) \dy.
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\]
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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Per il caso discreto vale una formula analoga. In particolare:
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\[
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p_{X+Y}(k) = \sum_{j \in \ZZ} p_{(X,Y)}(j, k-j) = \sum_{j \in \ZZ} p_{(X,Y)}(k-j, j).
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\]
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Dunque, se $X$ e $Y$ sono indipendenti:
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\[
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p_{X+Y}(k) = \sum_{j \in \ZZ} p_X(j) p_Y(k-j) = \sum_{j \in \ZZ} p_X(k-j) p_Y(j).
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\]
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\end{remark}
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\subsection{Standardizzazione e riproducibilità di v.a.~gaussiane}
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\begin{proposition}
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Sia $X \sim N(m, \sigma^2)$ e siano $a$, $b \in \RR$ con $a \neq 0$. Allora
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$aX + b \sim N(am+b, a^2 \sigma^2)$.
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\end{proposition}
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A partire da questa proposizione si enuncia il corollario riguardante la
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\textit{standardizzazione}, ovverosia il processo con cui si riconduce una
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qualsiasi gaussiana alla gaussiana standard:
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\begin{corollary}[Standardizzazione]
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$X \sim N(m, \sigma^2) \iff \frac{X-m}{\sigma} \sim N(0, 1)$. Equivalentemente
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$Z \sim N(0, 1) \iff \sigma Z + m \sim N(m, \sigma^2)$.
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\end{corollary}
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\begin{remark}
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Pertanto, tramite il processo di standardizzazione, si ricava facilmente che
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per $X \sim N(m, \sigma^2)$ vale che:
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\[
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P(a \leq X \leq b) = \Phi\left(\frac{b-m}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-m}{\sigma}\right).
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\]
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\end{remark}
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\begin{proposition}[Riproducibilità delle gaussiane]
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Siano $X \sim N(m_1, \sigma_1^2)$ e $Y \sim N(m_2, \sigma_2^2)$ indipendenti. Allora
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$X+Y \sim N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$.
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\end{proposition}
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\section{Legge dei grandi numeri (LGN)}
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La legge (debole) dei grandi numeri segue lo stesso enunciato (e la stessa dimostrazione) del caso
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discreto, e si rimanda dunque alla \hyperref[sec:lgn]{\textit{Parte 2}}.
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\subsection{Metodo di Monte-Carlo per il calcolo di integrali}
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Tramite l'uso delle variabili aleatorie è possibile approssimare integrali sfruttando
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modelli di probabilità uniforme. Supponiamo di voler calcolare $\int_a^b \varphi(x) \dx$ con
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$\varphi : (a, b) \to \RR$ boreliana e integrabile. Si assuma anche che
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$\int_a^b \abs{\varphi(x)}^2 \dx < \infty$. \smallskip
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Si osserva che $\frac{1}{b-a} \int_a^b \varphi(x) \dx = \EE[\varphi(U)]$ con $U \sim U(a, b)$.
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Infatti vale che:
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\[
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\EE[\varphi(U)] = \int_a^b \varphi(x) \underbrace{\frac{1}{b-a}}_{=\,f_U(x)} \dx.
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\]
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Per la LGN\footnote{In questo momento si sfrutta l'ipotesi per cui $\varphi(U_i)$ ha momento secondo finito,
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ossia che $\int_a^b \abs{\varphi(x)}^2 \dx < \infty$. Questa ipotesi è tuttavia rimovibile.},
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prese $U_i$ i.i.d.~come $U(a, b)$, allora le $\varphi(U_i)$ sono a loro volta
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i.i.d.~e vale che $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(U_i) \toprob \EE[\varphi(U)]$, ovverosia:
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\[
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\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(U_i) \toprob \frac{1}{b-a} \int_a^b \varphi(x) \dx.
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\]
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Pertanto è sufficiente calcolare un ``grande numero'' di $\varphi(U_i)$ uniformi per approssimare
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l'integrale scelto. \smallskip
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Lo stesso procedimento si può applicare per calcolare integrali della forma $\int_{(a, b)^d} \varphi(x) \dx$ con
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$\varphi : (a, b)^d \to \RR$ boreliana, integrabile e tale per cui $\int_{(a, b)^d} \abs{\varphi(x)}^2 \dx$,
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approssimandolo con v.a.~i.i.d.~come $U((a, b)^d)$. \smallskip
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\section{Teorema centrale del limite (TCL, o TLC)}
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\begin{definition}[Convergenza in legge]
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Si dice che una successione $(X_i)_{i \in I}$ di v.a.~reali con $I \subseteq \NN$ converge in legge
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a $X$ se, detta $F_n$ la f.d.r.~di $X_n$ e $F$ la f.d.r.~di $X$, allora:
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\[
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\lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x), \quad \forall x \in \RR,
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\]
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ossia se $F_n$ converge puntualmente a $F$.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[Teorema centrale del limite]
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Sia $(X_i)_{i \in \NN^+}$ una successione di v.a.~reali i.i.d~dotate di momento
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secondo finito e q.c.~non costanti. Siano $m = \EE[X_1]$, $\sigma^2 = \Var(X_1)$. Si definisca
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la successione $(Z_i)_{i \in \NN^+}$ in modo tale che:
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\[
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Z_n = \frac{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)-nm}{\sqrt{n} \sigma} = \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\overline{X_n} - m).
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\]
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Allora la successione $(Z_i)_{i \in \NN^+}$ converge in legge a $N(0, 1)$, ovverosia:
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\[
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\lim_{n \to \infty} F_n(x) = \Phi(x), \quad \forall x \in \RR,
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\]
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dove $F_n$ è la f.d.r.~di $Z_n$.
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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Si può dimostrare che vale anche:
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\[
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\EE\left[\varphi\!\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\overline{X_n} - m)\right)\right] \to \EE[\varphi(Z)],
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\]
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per ogni $\varphi \in C_b(\RR)$, ovverosia per ogni $\varphi$ continua limitata.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Sfruttando il procedimento di standardizzazione si può dimostrare che
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$\frac{1}{\sqrt{n}} \left(\sum_{i=1}^n X_i - nm\right) = \sqrt{n}(\overline{X_n} - m)$ converge
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in legge a $Z_\sigma \sim N(0, \sigma^2)$.
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\end{remark}
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\end{multicols*}
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