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feat(eps): aggiunge definizioni di statistica inferenziale
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\chapter{Statistica inferenziale}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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Lo scopo della statistica inferenziale è quello di ottenere informazioni
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riguardanti la distribuzione di probabilità di un esperimento a partire
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dagli esiti di $n$ ripetizioni di quest'ultimo. \smallskip
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Nel caso di questo corso, studieremo situazioni di statistica inferenziale
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\textit{parametrica}, ovverosia situazioni in cui è conosciuto il modello
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di probabilità del singolo esperimento a meno di un singolo parametro
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(e.g.~l'esperimento $X$ è in legge uguale a $B(p)$, ma $p$ non è noto).
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\section{Definizioni preliminari}
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Si considerino dei dati statistici $x_1$, ...,
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$x_n \in \RR$. Si consideri come spazio di probabilità
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lo spazio discreto relativo a $[n]$ con distribuzione
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uniforme. \smallskip
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Si definisca su tale spazio la v.a.~$X : [n] \to \RR$ tale per cui
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$i \mapsto x_i$. Si osserva facilmente che $X$ ha
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range $r_x = \{x_1, ..., x_n\}$, e dunque il calcolo di tutti
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i suoi indici può essere ristretto a $r_x$. \smallskip
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Analogamente definiamo per dei dati $y_1$, ..., $y_n \in \RR$ la v.a.~$Y$.
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\subsection{Indici di centralità e di dispersione sui singoli dati}
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\begin{definition}[Media campionaria]
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Si definisce \textbf{media campionaria} il seguente
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indice di centralità:
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\[
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\overline{x} \defeq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i.
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\]
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Tale media coincide con il valore atteso di $X$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Mediana campionaria]
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Si definisce \textbf{mediana campionaria} il seguente
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indice di centralità:
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\[
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m_x \defeq \begin{cases}
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x_{\nicefrac{(n+1)}{2}} & \mbox{se $n$ dispari}, \\
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\nicefrac{\left(x_{\nicefrac{n}{2}} + x_{\nicefrac{(n+2)}{2}}\right)}{2} & \mbox{se $n$ pari}.
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\end{cases}
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\]
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Tale indice è una mediana per $X$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Varianza campionaria \textit{corretta}]
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Si definisce \textbf{varianza campionaria (corretta)} il seguente
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indice di dispersione:
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\[
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s^2 = s_x^2 = \sigma_x^2 \defeq \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2.
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\]
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\end{definition}
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\begin{warn}
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A differenza della media e della mediana, la varianza campionaria appena
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descritta \underline{non} coincide con la varianza che si calcolerebbe
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sulla v.a.~$X$. Infatti vale che:
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\[
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\Var(X) = \EE\left[(X - \EE[X])^2\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2,
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\]
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e dunque:
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\[
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s^2 = \frac{n}{n-1} \Var(X).
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\]
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\end{warn}
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\subsection{Indici su coppie di dati}
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\begin{definition}[Coeff.~di correlazione campionario]
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Date delle coppie di dati $(x_i, y_i)_{i \in [n]}$, si definisce
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il \textbf{coefficiente di correlazione campionario} come:
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\[
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r \defeq \frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)^2 \cdot \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y}\right)^2}}.
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\]
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Tale valore coincide con l'usuale coefficiente di correlazione lineare di Bearson su
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$X$ e $Y$, ovverosia:
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\[
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r = \cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sqrt{\Var(X) \Var(Y)}},
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\]
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che, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, appartiene all'intervallo $[-1, 1]$.
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\end{definition}
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\subsection{Modello statistico}
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Come già osservato, la statistica inferenziale parametrica studia situazioni in cui
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è necessario ricavare o stimare un singolo parametro su un dato modello di probabilità al fine
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di ricavare la distribuzione di probabilità dei dati $x_1$, ..., $x_n$.
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\begin{notation}[Parametri $\theta$ e probabilità $Q_\theta$]
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Denotiamo con $\Theta$ l'insieme dei possibili parametri $\theta$ per la distribuzione
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di probabilità sui dati $x_1$, ..., $x_n$. \smallskip
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Denotiamo con $Q_\theta$ la probabilità che si otterrebbe utilizzando il parametro $\sigma$
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nel modello di probabilità noto a meno di parametro.
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\end{notation}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{modello statistico parametrico} una terna $(S, \cS, (Q_\theta)_{\theta \in \Theta})$,
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dove $(S, \cS)$ è uno spazio misurabile e $(Q_\theta)_{\theta \in \Theta}$ è una famiglia di
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misure di probabilità.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Supponiamo di star cercando di ricavare la probabilità $p$ con cui esce testa per una data moneta. Allora
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un modello statistico che possiamo associare a questo problema è dato da $S = [1]$, $\cS = \PP([1])$ e
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$Q_\theta \sim B(\theta)$, con $\Theta = [0, 1]$, dove $1$ identifica la testa e $0$ la croce.
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\end{example}
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\end{multicols*}
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