feat(geometria): aggiunge l'indice di Witt e la teoria sui sottospazi isotropi

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex

@@ -759,5 +759,78 @@ Si osserva infine che, se $V = \RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni
 	se e solo se $d_i > 0$ $\forall 1 \leq i \leq n$. Analogamente $\varphi$ è definito
 	negativo se e solo se $\iota_- = n$, e quindi se e solo se vi sono solo variazioni
 	di segno $\iff d_i > 0$ se $i$ è pari e $d_i < 0$ se $i$ è dispari $\iff (-1)^i \, d_i > 0$, $\forall 1 \leq i \leq n$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Sottospazi isotropi e indice di Witt}
+
+\begin{definition}[sottospazio isotropo]
+	Sia $W$ un sottospazio di $V$. Allora si dice che $W$ è un \textbf{sottospazio isotropo} di $V$
+	se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}\nl
+	\li $V^\perp$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
+	\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è un sottospazio isotropo di $V$. \\
+	\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition} \label{prop:disuguaglianza_sottospazio_isotropo}
+	Sia $\varphi$ non degenere. Se $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, allora
+	$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Poiché $W$ è un sottospazio isotropo di $V$, vale che $W \subseteq W^\perp$. Allora vale che:
+	
+	\begin{equation} \label{eq:disuguaglianza_sottospazio_isotropo_1}
+		\dim W \leq \dim W^\perp.
+	\end{equation}
+	
+	\vskip 0.05in
 
+	Inoltre, dal momento che $\varphi$ è non degenere, vale anche che:
+	
+	\begin{equation} \label{eq:disuguaglianza_sottospazio_isotropo_2}
+		\dim W + \dim W^\perp = \dim V \implies \dim W^\perp = \dim V - \dim W.
+	\end{equation}
+	
+	\vskip 0.05in
+	 
+	 Sostituendo allora l'equazione \eqref{eq:disuguaglianza_sottospazio_isotropo_2} nella disuguaglianza
+	 \eqref{eq:disuguaglianza_sottospazio_isotropo_1}, si ottiene che $\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$,
+	 ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[indice di Witt]
+	Si definisce l'\textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
+	come la massima dimensione di un sottospazio isotropo di $V$. 
+\end{definition}
+
+\begin{remark}\nl
+	\li Se $\varphi > 0$ o $\varphi < 0$, $W(\varphi) = 0$. Infatti ogni sottospazio non nullo $W$ di $V$
+	non ammette vettori isotropi, da cui si deduce che $\restr{\varphi}{W} \neq 0$. \\
+	\li Se $\varphi$ è non degenere, per la \textit{Proposizione \ref{prop:disuguaglianza_sottospazio_isotropo}}, vale che $W(\varphi) \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Sia $\KK = \RR$ e sia $\varphi$ non degenere. Allora
+	$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Senza perdità di generalità si assuma $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$ (il caso $\iota_-(\varphi) > \iota_+(\varphi)$ è analogo). Sia $W$ un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\varphi)$. Sia $W^+$
+	un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0$. Allora, per la formula
+	di Grassmann, $n \geq \dim (W + W^+) = \dim W + \dim W^+ - \dim (W \cap W^+) > n - \dim (W \cap W^+) \implies \dim (W \cap W^+) > 0$. Quindi $\exists \w \in W$, $\w \neq \vec 0$ tale che $\varphi(\w, \w) > 0$, da cui
+	si ricava che $W$ non è isotropo. Pertanto $W(\varphi) \leq \iota_-(\varphi)$. \\
+	
+	Sia $a := \iota_+(\varphi)$ e sia $b := \iota_-(\varphi)$.
+	Sia ora $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv a, \ww 1, \ldots, \ww b \}$ una base di Sylvester per $\varphi$. Siano $\vv 1$, ..., $\vv a$ tali che $\varphi(\vv i, \vv i) = 1$
+	con $1 \leq i \leq a$. Analogamente siano $\ww 1$, ..., $\ww b$ tali che $\varphi(\ww i, \ww i) = -1$ con
+	$1 \leq i \leq b$. Detta allora $\basis' = \{ \vv 1 ' := \vv 1 + \ww 1, \ldots, \vv b ' := \vv b + \ww b \}$, sia $W = \Span(\basis')$. \\
+	
+	Si osserva che $\basis'$ è linearmente indipendente, e dunque che $\dim W = \iota_-$. Inoltre
+	$\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i + \ww i, \vv j + \ww j)$. Se $i \neq j$, allora
+	$\varphi(\vv i ', \vv j ') = 0$, dal momento che i vettori di $\basis$ sono a due a due ortogonali
+	tra loro. Se invece $i = j$, allora $\varphi(\vv i ', \vv j ') = \varphi(\vv i, \vv i) + \varphi(\ww i, \ww i) = 1-1=0$. Quindi $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0$, da cui si conclude che $\restr{\varphi}{W} = 0$.
+	Pertanto $W(\varphi) \geq i_-(\varphi)$, e quindi si conclude che $W(\varphi) = i_-(\varphi)$, da cui la tesi.
 \end{proof}