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Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-03-22, Introduzione al prodotto scalare/main.tex

@@ -68,11 +68,14 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
 	
 	\begin{definition}
 		Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
-		sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
-		\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. \\
+			sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
+		\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
+		definito negativo. \\
 		
 		Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o
-		\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$).	
+		\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$). Analogamente ai
+		prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito
+		negativo.
 	\end{definition}
 
 	\begin{example}
@@ -158,7 +161,7 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
 		
 		\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
 		prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
-		endomorfismo sono sempre simili).
+		endomorfismo sono sempre simili). \\
 		\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \rg(A) = \rg(P^\top B P) = \rg(BP) = \rg(B)$,
 		dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
 		si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex

@@ -1,10 +1,14 @@
-\chapter{Il prodotto scalare}
+\chapter{Introduzione al prodotto scalare}
 
 \begin{note}
 	Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
 	finita $n$.
 \end{note}
 
+\section{Prime definizioni}
+
+\subsection{Prodotto scalare}
+
 \begin{definition}
 	Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
 \end{definition}
@@ -52,13 +56,18 @@
 	\li $\varphi(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{x}^\top A \vec{y}$ per $\KK^n$, con $A \in M(n, \KK)$ simmetrica.
 \end{example}
 
+\subsection{Prodotto definito o semidefinito}
+
 \begin{definition}
 	Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
 		sia ordinato.} $\KK = \RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v \in V$, $\vec{v} \neq \vec{0} \implies
-	\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. \\
+	\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v} \neq \vec 0 \implies \varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
+	definito negativo. \\
 	
 	Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v) \geq 0$ $\forall \v \in V$ (o
-	\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$).	
+	\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v) \leq 0$ $\forall \v \in V$). Analogamente ai
+	prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito
+	negativo.
 \end{definition}
 
 \begin{example}
@@ -69,6 +78,10 @@
 	$y = x$ o $y = -x$.
 \end{example}
 
+\section{Il radicale di un prodotto scalare}
+
+\subsection{La forma quadratica $q$ associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e vettori isotropi}
+
 \begin{definition}
 	Ad un dato prodotto scalare $\varphi$ di $V$ si associa una mappa
 	$q : V \to \KK$, detta \textbf{forma quadratica}, tale che $q(\vec{v}) = \varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
@@ -90,6 +103,8 @@
 	i vettori stanti sul cono di equazione $x^2 + y^2 = z^2$.
 \end{example}
 
+\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e congruenza}
+
 \begin{remark}
 	Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
 	dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
@@ -144,7 +159,7 @@
 	
 	\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
 	prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
-	endomorfismo sono sempre simili).
+	endomorfismo sono sempre simili). \\
 	\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies \rg(A) = \rg(P^\top B P) = \rg(BP) = \rg(B)$,
 	dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
 	si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice
@@ -153,6 +168,8 @@
 	\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è un altro invariante per congruenza.
 \end{remark}
 
+\subsection{Studio del radicale \texorpdfstring{$V^\perp$}{V⟂} attraverso \texorpdfstring{$M_\basis(\varphi)$}{M\_B(φ)}}
+
 \begin{definition}
 	Si definisce il \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ come lo spazio:
 	

Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/main.tex

@@ -2,7 +2,10 @@
 \documentclass[11pt]{scrbook}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[italian]{babel}
-\usepackage{recap}
+\usepackage{bookmark}
+\usepackage{personal_commands}
+
+\KOMAoptions{twoside=false}
 
 \begin{document}
 	
@@ -24,6 +27,8 @@
 	
 	\include{1. Introduzione al prodotto scalare}
 
+	\iffalse % TODO: sistemare gli altri due file
+
 	\newpage
 	\thispagestyle{empty}
 	~\newpage
@@ -35,4 +40,6 @@
 	~\newpage
 	
 	\include{3. Prodotti hermitiani, spazi euclidei e teorema spettrale}
+	
+	\fi
 \end{document}