@ -69,10 +69,13 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\begin{definition}
Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
sia ordinato.}$\KK=\RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v\in V$, $\vec{v}\neq\vec{0}\implies
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. \\
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
definito negativo. \\
Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v)\geq0$$\forall\v\in V$ (o
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$).
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$). Analogamente ai
prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito
negativo.
\end{definition}
\begin{example}
@ -158,7 +161,7 @@ forma bilineare simmetrica, ossia un prodotto scalare su $\KK^n$.
\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
endomorfismo sono sempre simili).
endomorfismo sono sempre simili).\\
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\rg(A)=\rg(P^\top B P)=\rg(BP)=\rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice
Nel corso del documento, per $V$, qualora non specificato, si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
finita $n$.
\end{note}
\section{Prime definizioni}
\subsection{Prodotto scalare}
\begin{definition}
Un \textbf{prodotto scalare} su $V$ è una forma bilineare simmetrica $\varphi$ con argomenti in $V$.
\end{definition}
@ -52,13 +56,18 @@
\li$\varphi(\vec{x}, \vec{y})=\vec{x}^\top A \vec{y}$ per $\KK^n$, con $A \in M(n, \KK)$ simmetrica.
\end{example}
\subsection{Prodotto definito o semidefinito}
\begin{definition}
Sia\footnote{In realtà, la definizione è facilmente estendibile a qualsiasi campo, purché esso
sia ordinato.}$\KK=\RR$. Allora un prodotto scalare $\varphi$ si dice \textbf{definito positivo} se $\v\in V$, $\vec{v}\neq\vec{0}\implies
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. \\
\varphi(\vec{v}, \vec{v}) > 0$. Analogamente $\varphi$ è \textbf{definito negativo} se $\vec{v}\neq\vec 0 \implies\varphi(\v, \v) < 0$. In generale si dice che $\varphi$ è \textbf{definito} se è definito positivo o
definito negativo. \\
Infine, $\varphi$ è \textbf{semidefinito positivo} se $\varphi(\v, \v)\geq0$$\forall\v\in V$ (o
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$).
\textbf{semidefinito negativo} se invece $\varphi(\v, \v)\leq0$$\forall\v\in V$). Analogamente ai
prodotti definiti, si dice che $\varphi$ è \textbf{semidefinito} se è semidefinito positivo o semidefinito
negativo.
\end{definition}
\begin{example}
@ -69,6 +78,10 @@
$y = x$ o $y =-x$.
\end{example}
\section{Il radicale di un prodotto scalare}
\subsection{La forma quadratica $q$ associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e vettori isotropi}
\begin{definition}
Ad un dato prodotto scalare $\varphi$ di $V$ si associa una mappa
$q : V \to\KK$, detta \textbf{forma quadratica}, tale che $q(\vec{v})=\varphi(\vec{v}, \vec{v})$.
@ -90,6 +103,8 @@
i vettori stanti sul cono di equazione $x^2+ y^2= z^2$.
\end{example}
\subsection{Matrice associata a \texorpdfstring{$\varphi$}{φ} e congruenza}
\begin{remark}
Come già osservato in generale per le applicazioni multilineari, il prodotto scalare è univocamente determinato
dai valori che assume nelle coppie $\vv{i}, \vv{j}$ estraibili da una base $\basis$. Infatti, se
@ -144,7 +159,7 @@
\li Per il teorema di cambiamento di base del prodotto scalare, due matrici associate a uno stesso
prodotto scalare sono sempre congruenti (esattamente come due matrici associate a uno stesso
endomorfismo sono sempre simili).
endomorfismo sono sempre simili).\\
\li Se $A$ e $B$ sono congruenti, $A = P^\top B P \implies\rg(A)=\rg(P^\top B P)=\rg(BP)=\rg(B)$,
dal momento che $P$ e $P^\top$ sono invertibili; quindi il rango è un invariante per congruenza. Allora
si può ben definire il rango $\rg(\varphi)$ di un prodotto scalare come il rango della matrice
@ -153,6 +168,8 @@
\det(P)^2 \det(B)$. Quindi, per $\KK = \RR$, il segno del determinante è un altro invariante per congruenza.
\end{remark}
\subsection{Studio del radicale \texorpdfstring{$V^\perp$}{V⟂} attraverso \texorpdfstring{$M_\basis(\varphi)$}{M\_B(φ)}}
\begin{definition}
Si definisce il \textbf{radicale} di un prodotto scalare $\varphi$ come lo spazio:
