\li$A =(a)\in O_1\iff A^\top A = I_1\iff a^2=1\iff a =\pm1$, da cui si ricava che l'unica matrice
di $SO_1$ è $(1)$. Si osserva inoltre che $O_1$ è abeliano di ordine $2$, e quindi che $O_1\cong\ZZ/2\ZZ$. \\
\li$A =\Matrix{a & b \\ c & d}\in O_2\iff\Matrix{a^2+ b^2& ab + cd \\ ab + cd & c^2+ d^2}= A^\top A = I_2\iff\system{a^2+ b^2= c^2+ d^2=1, \\ ab + cd =0.}$\\
\li$A =\Matrix{a & b \\ c & d}\in O_2\iff\Matrix{a^2+ b^2& ab + cd \\ ab + cd & c^2+ d^2}= A^\top A = I_2.$\\
Si ricava pertanto che si può identificare
$A$ con le funzioni trigonometriche $\cos(\theta)$ e $\sin(\theta)$ nelle due forme:
Pertanto deve essere soddisfatto il seguente sistema di equazioni:
\[\system{a^2+ b^2= c^2+ d^2=1, \\ ac + bd =0.}\]
Si ricava dunque che si può identificare
$A$ con le funzioni trigonometriche $\cos(\theta)$ e $\sin(\theta)$ con $\theta\in[0, 2\pi)$ nelle due forme:
\li$A =(a)\in U_1\iff A^* A = I_1\iff\abs{a}^2=1\iff a = e^{i\theta}$, $\theta\in[0, 2\pi)$, ossia il numero complesso $a$ appartiene alla circonferenza di raggio unitario.
\li$A =\Matrix{a & b \\ c & d}\in SU_2\iff A A^*=\Matrix{\abs{a}^2+\abs{b}^2& a\conj c + b \conj d \\\conj a c +\conj b d &\abs{c}^2+\abs{d}^2}= I_2$, $\det(A)=1$, ossia se il seguente
sistema di equazioni è soddisfatto:
\[\system{\abs{a}^2+\abs{b}^2=\abs{c}^2+\abs{d}^2=1, \\ a\conj c + b \conj d =0, \\ ad-bc=1,}\]
le cui soluzioni riassumono il gruppo $SU_2$ nel seguente modo:
\[ SU_2=\left\{\Matrix{x &-y \\\conj y &\conj x}\in M(2, \CC)\;\middle\vert\;\abs{x}^2+\abs{y}^2=1\right\}. \]
\end{remark}
\begin{definition} (spazio euclideo reale)
@ -967,4 +982,75 @@
Quindi la base ottenuta è $\basis' =\{\e1, \e2, \e3\}$, ossia la base canonica di $\RR^3$, già
ortonormale.
\end{example}
\begin{remark}
Si osserva adesso che se $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo (e quindi $\varphi > 0$), e $W$ è
un sottospazio di $V$, vale la seguente decomposizione:
\[ V = W \oplus^\perp W^\perp. \]
Pertanto ogni vettore $\v\in V$ può scriversi come $\w+\w'$ dove $\w\in W$ e $\w' \in W^\perp$,
dove $\varphi(\w, \w')=0$.
\end{remark}
\begin{definition} (proiezione ortogonale)
Si definisce l'applicazione $\pr_W : V \to V$, detta \textbf{proiezione ortogonale} su $W$,
in modo tale che $\pr_W(\v)=\w$, dove $\v=\w+\w'$, con $\w\in W$ e $\w' \in W^\perp$.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Dacché la proiezione ortogonale è un caso particolare della classica applicazione lineare
di proiezione su un sottospazio di una somma diretta, $\pr_W$ è un'applicazione lineare. \\
\li Vale chiaramente che $\pr_W^2=\pr_W$, da cui si ricava, se $W^\perp\neq\zerovecset$, che
$\varphi_{\pr_W}(\lambda)=\lambda(\lambda-1)$, ossia che $\Sp(\pr_W)=\{0, 1\}$. Infatti
$\pr_W(\v)$ appartiene già a $W$, ed essendo la scrittura in somma di due elementi, uno di $W$ e
uno di $W'$, unica, $\pr_W(\pr_W(\v))=\pr_W(\v)$, da cui l'identità $\pr_W^2=\pr_W$. \\
\li Seguendo il ragionamento di prima, vale anche che $\restr{\pr_W}{W}=\Idw$ e che
$\restr{\pr_W}{W^\perp}=0$. \\
\li Inoltre, vale la seguente riscrittura di $\v\in V$: $\v=\pr_W(\v)+\pr_{W^\perp}(\v)$. \\
\li Se $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ è una base ortogonale di $W$, allora
$\pr_W(\v)=\sum_{i=1}^n \frac{\varphi(\v, \vv i)}{\varphi(\vv i, \vv i)}\vv i =\sum_{i=1}^n C(\v, \vv i)\vv i$. Infatti $\v-\sum_{i=1}^n C(\v, \vv i)\vv i \in W^\perp$. \\
\li$\pr_W$ è un operatore simmetrico (o hermitiano se lo spazio è complesso). Infatti $\varphi(\pr_W(\v), \w)=
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo. Allora valgono i seguenti risultati:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Siano $U$, $W \subseteq V$ sono sottospazi di $V$, allora $U \perp W$, ossia\footnote{È sufficiente che valga $U \subseteq W^\perp$ affinché valga anche $W \subseteq U^\perp$. Infatti $U \subseteq W^\perp\implies W = W^\dperp\subseteq U^\perp$. Si osserva che in generale vale che $W \subseteq W^\dperp$, dove vale l'uguaglianza nel caso di un prodotto $\varphi$ non degenere, com'è nel caso di uno spazio euclideo,
\item Sia $V = W_1\oplus\cdots\oplus W_n$. Allora $\v=\sum_{i=1}^n \pr_{W_i}(\v)$$\iff$$W_i \perp W_j$$\forall i \neq j$, $1\leq i, j \leq n$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano i due risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sia $\v\in V$. Allora $\pr_W(\v)\in W = W^\dperp\subseteq U^\perp$. Pertanto
$\pr_U(\pr_W(\v))=\vec0$. Analogamente $\pr_W(\pr_U(\v))=\vec0$, da cui la tesi.
\item Sia vero che $\v=\sum_{i=1}^n \pr_{W_i}(\v)$$\forall\v\in V$. Sia $\w\in W_j$. Allora $\w=\sum_{i=1}^n \pr_{W_i}(\w)=\w+\sum_{\substack{i=1\\ i \neq j}}\pr_{W_i}(\w)\implies\pr_{W_i}(\w)=\vec0$$\forall i \neq j$. Quindi $\w\in W_i^\perp$$\forall i \neq j$, e si conclude che $W_i \subseteq W_j^\perp
\implies W_i \perp W_j$. Se invece $W_i \perp W_j$$\forall i \neq j$, sia $\basis_i = \left\{\w_i^{(1)}, \ldots, \w_i^{(k_i)}\right\}$ una base ortogonale di $W_i$. Allora $\basis = \cup_{i=1}^n \basis_i$ è anch'essa
una base ortogonale di $V$, essendo $\varphi\left(\w_i^{(t_i)}, \w_j^{(t_j)}\right)=0$ per ipotesi.
Si definisce l'applicazione $\rho_W : V \to V$, detta \textbf{inversione ortogonale}, in modo tale che, detto $\v=\w+\w' \in V$ con $\w\in W$, $\w\in W^\perp$, $\rho_W(\v)=\w-\w'$. Se $\dim W =\dim V -1$,
si dice che $\rho_W$ è una \textbf{riflessione}.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Si osserva che $\rho_W$ è un'applicazione lineare. \\
\li Vale l'identità $\rho_W^2=\Idv$, da cui si ricava che $\varphi_{\rho_W}(\lambda)\mid(\lambda-1)(\lambda+1)$. In particolare, se $W^\perp\neq\zerovecset$, vale proprio
che $\Sp(\rho_W)=\{\pm1\}$, dove $V_1= W$ e $V_{-1}= W^\perp$. \\
\li$\rho_W$ è ortogonale (o unitaria, se $V$ è uno spazio euclideo complesso). Infatti se $\vv1=\ww1+\ww1'$ e $\vv2=\ww2+\ww2 '$, con $\ww1$, $\ww2\in W$ e $\ww1'$, $\ww2' \in W$, $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1-\ww1', \ww2-\ww2')=\varphi(\ww1, \ww2)\underbrace{-\varphi(\ww1', \ww2)-\varphi(\ww1, \ww2')}_{=\,0}+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\ww1-\ww1', \ww2-\ww2')$. \\
Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
