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feat(algebra1): termina la parte relativa alle estensioni di campo
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@@ -60,7 +60,7 @@
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Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce $K(\alpha)$
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come la più piccola estensione di $K$ che contiene
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$\alpha$, ossia:
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\[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo} \\ \alpha \in F_i}} F_i. \]
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\[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo} \\[0.02in] \alpha \in F_i}} F_i. \]
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\end{definition}
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\begin{definition}[estensione semplice]
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@@ -197,6 +197,68 @@
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\[ LM = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots,
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\beta_n). \]
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\end{remark}
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\begin{theorem}[delle torri algebriche]
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Siano $K \subseteq L \subseteq F$ campi. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
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$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite. \medskip
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In particolare\footnote{Si può generalizzare questa formula ad $F$ spazio vettoriale su $K$ e $L$ con $K \subseteq L$, a patto che $K$ e $L$ siano campi.}, se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita,
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vale che:
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\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita, allora a
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maggior ragione $\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita
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dal momento che $L$ è un $K$-sottospazio vettoriale di
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$F$, che è un $K$-spazio vettoriale. Inoltre,
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anche $\faktor{F}{L}$ è un'estensione finita, dacché
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una base di $\faktor{F}{K}$ è un insieme di generatori
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su $\faktor{F}{L}$, dal momento che $K \subseteq L$. \medskip
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Si mostra adesso che se $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite, allora $F$ è uno spazio
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finito-dimensionale su $K$ e vale che:
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\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
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Siano $[F : L] = m$ e $[L : K] = n$. Sia
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$\BB_F = (f_1, \ldots, f_m)$ una base
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di $F$ su $L$, e sia $\BB_L = (l_1, \ldots, l_n)$ una
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base di $L$ su $K$. \\
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Si dimostra che la seguente è una base di $F$ su $K$:
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\[\BB_F \BB_L = \{ f_1 l_1, \ldots, f_1 l_n, \ldots, f_m l_n\}, \]
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dove si osserva che $\abs{\BB_F \BB_L} = [F : L] [L : K]$.
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Si mostra innanzitutto che $\BB_F \BB_L$ è un insieme
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di generatori. Sia $f \in F$.
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Allora si può scrivere $f$ come combinazione lineare
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finita con scalari in $L$:
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\[f = \sum_{i=1}^m \beta_i f_i.\]
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A sua volta, allora, si può scrivere ogni $\beta_i \in L$
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come combinazione lineare finita con scalari in $K$:
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\[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j.\]
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Combinando queste due identità, si verifica che
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$\BB_F \BB_L$ genera $F$ come $K$-spazio vettoriale:
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\[ f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i. \]
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Infine, si verifica che $\BB_F \BB_L$ è un insieme linearmente
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indipendente. Si consideri l'equazione:
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\[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j \right) f_i = 0. \]
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Poiché $\BB_F$ è linearmente indipendente, si deduce
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che:
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\[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j = 0. \]
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Tuttavia, $\BB_L$ è a sua volta linearmente indipendente,
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e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
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$\BB_F \BB_L$ è linearmente indipendente, e quindi è
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una base dacché è anche un insieme di generatori per
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$F$ come $K$-spazio vettoriale. Pertanto $F$ è un'estensione
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finita di $K$ e vale la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $L$ e $M$ due campi tali per cui
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@@ -256,26 +318,28 @@
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(se $\alpha \neq 0$) e $\beta\inv$ (se $\beta \neq 0$) sono elementi algebrici di $K$,
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e quindi $A$ è un campo, e a maggior ragione un'estensione algebrica di $K$.
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\end{proof}
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Le estensioni finite sono completamente caratterizzate
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in qualità di estensioni finitamente generate da elementi
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algebrici sul campo di riferimento, come mostra la:
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\begin{proposition}
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Se $K \subseteq L \subseteq F$ è una torre di
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estensioni e $\faktor{L}{K}$ è algebrica così
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come $\faktor{F}{L}$, allora anche
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$\faktor{F}{K}$ è algebrica.
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$\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
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è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è
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algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots,
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$l_n \in L$ tali per cui, detto
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$p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$,
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vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è
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algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi
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$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
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su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip
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Se $L$ è un'estensione finita su $K$, allora esiste una
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base finita $\basis = \{l_1, \ldots, l_n\} \subseteq L$
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tale per cui $L = K(l_1, \ldots, l_n)$. Poiché $L$ è
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un'estensione finita, $L$ è anche algebrica, e quindi
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$\basis$ è composta da elementi algebrici su $K$. Pertanto
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$L$ è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
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su $K$. \medskip
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||||
Chiaramente $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione
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Sia ora $L = K(l_1, \ldots, l_n)$ con $l_i$ elemento algebrico
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su $K$. Allora, per il teorema delle torri algebriche,
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$L$ è un'estensione
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finita su $K$ dal momento che questi due campi sono
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i due estremi della seguente torre di estensioni:
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\[\begin{tikzcd}
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@@ -289,21 +353,88 @@
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\arrow[no head, from=3-1, to=4-1]
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||||
\arrow[no head, from=4-1, to=5-1]
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\end{tikzcd}\]
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||||
Infatti ogni campo della torre è un'estensione
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dove ogni campo interno della torre è un'estensione
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finita del sottocampo corrispondente dal momento
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che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica\footnote{
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In particolare questo dimostra che un'estensione
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algebrica e finitamente generata è anche
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finita. Si può generalizzare il risultato
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mostrando che un'estensione è finita se e solo
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se finitamente generata da elementi algebrici.
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}. \medskip
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che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica, da
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cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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||||
Sia $K \subseteq L \subseteq F$ una torre di
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estensioni. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione
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algebrica se e solo se lo sono sia $\faktor{L}{K}$
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che $\faktor{F}{L}$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica,
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a maggior ragione $\faktor{F}{L}$ è
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algebrica, dal momento che ogni elemento $f \in K$ è
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radice di un polinomio a coefficienti in $K$, e
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quindi, in particolare, di un polinomio a coefficienti in
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$L$. Allora stesso tempo, ogni elemento di $L$ è un
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elemento di $F$, e quindi tale elemento è ancora algebrico
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su $K$, e così anche $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
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algebrica. \medskip
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Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$
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estensioni algebriche. Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è
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algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots,
|
||||
$l_n \in L$ tali per cui, detto
|
||||
$p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$,
|
||||
vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è
|
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algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi
|
||||
$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
|
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su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip
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||||
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||||
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||||
Chiaramente anche $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione
|
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finita su $K$ dal momento che è finitamente generata
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da elementi algebrici su $K$, dacché $L$ è un'estensione
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algebrica su $K$. \medskip
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Per il teorema delle torri algebriche, allora
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$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
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di $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita,
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e quindi $f$ è algebrico, da cui la tesi.
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su $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita,
|
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e quindi $f$ è algebrico. Pertanto si conclude che
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$\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica, da cui
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la tesi.
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\end{proof}
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Infine, si presenta un risultato interessante che lega
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l'algebricità di $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ a quella
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di $\faktor{LM}{K}$:
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\begin{proposition}
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Siano $K \subseteq L$, $M$. Allora le estensioni
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$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ sono algebriche se
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e solo se $\faktor{LM}{K}$ è algebrica.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ algebriche.
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Sia $\alpha \in LM = L(M)$. Dal momento che $L(M)$ è un
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$L$-spazio vettoriale i cui vettori sono gli elementi di
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$M$, allora $\alpha$ può scriversi
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come combinazione lineare finita di elementi in $M$ con
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coefficienti in $L$, ossia:
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\[ \alpha = \sum_{i=1}^n \lambda_i m_i. \]
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Poiché $L$ e $M$ sono estensioni algebriche su $K$,
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$K' := K(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, m_1, \ldots, m_n)$ è
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un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
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ed è pertanto finita su $K$. Poiché $K(\alpha) \subseteq
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K'$, $K(\alpha)$ è un'estensione finita su $K$ e dunque
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$\alpha$ è algebrico su $K$. Pertanto $LM$ è un'estensione
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algebrica su $K$. \medskip
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Se $\faktor{LM}{K}$ è un'estensione algebrica, allora
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in particolare ogni elemento di $L$, che appartiene a $L$,
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è algebrico su $K$, e così $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
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algebrica. Analogamente lo è anche $\faktor{M}{K}$, da cui
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la tesi.
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\end{proof}
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\end{document}
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