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BIN
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\newcommand{\eu}{\mathrm{e}}
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\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\degree}{\,^{\circ}}
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\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^{\mathsf{T}}}
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\newcommand{\Int}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
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\newcommand{\rint}[2]{\int{#1}\dd{#2}}
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\newcommand{\Rint}[4]{\int\limits_{#1}^{#2}{#3}\dd{#4}}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\DeclareMathOperator{\ot}{ot}
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\DeclareMathOperator{\cof}{cof}
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\DeclareMathOperator{\TC}{TC}
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\newcommand{\ORD}{\text{ORD}}
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\makeatletter
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\newcommand*\bigcdot{\mathpalette\bigcdot@{.5}}
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\newcommand*\bigcdot@[2]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#2}{$\m@th#1\bullet$}}}}}
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\makeatother
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\newcommand{\Ham}{\hat{\mathcal{H}}}
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\renewcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
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\newcommand{\christoffelsecond}[4]{\dfrac{1}{2}g^{#3 #4}(\partial_{#1} g_{#2 #4} + \partial_{#2} g_{#1 #4} - \partial_{#4} g_{#1 #2})}
|
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||||
\newcommand{\riemanncurvature}[5]{\partial_{#3} \Gamma_{#4 #2}^{#1} - \partial_{#4} \Gamma_{#3 #2}^{#1} + \Gamma_{#3 #5}^{#1} \Gamma_{#4 #2}^{#5} - \Gamma_{#4 #5}^{#1} \Gamma_{#3 #2}^{#5}}
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||||
\newcommand{\covariantriemanncurvature}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
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\newcommand{\riccitensor}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
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\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
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\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
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\DeclareMathOperator{\imm}{imm}
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\newcommand{\rel}{\mathcal{R}}
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\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\bigtimes}{\varprod}
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\DeclareMathOperator{\Fun}{Fun}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\UU}{\mathbb{V}}
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\newcommand{\VV}{\mathbb{V}}
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\newcommand{\se}{\text{se }}
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\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
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\newcommand{\inv}{^{-1}}
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\newcommand{\AC}{$\mathsf{AC}$}
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\newcommand{\PA}{$\mathsf{PA}$}
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\newcommand{\cc}{\mathfrak{c}}
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\DeclareMathOperator{\Fin}{Fin}
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\newcommand{\PPFin}{\PP^{\mathsf{fin}}}
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\DeclareMathOperator{\FSeq}{FSeq}
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\DeclareMathOperator{\bige}{Big}
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\DeclareMathOperator{\Sym}{\mathfrak{S}}
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||||
\newcommand{\OO}{\mathfrak{O}}
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\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
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||||
\newcommand{\restr}[2]{
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#1\arrowvert_{#2}
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}
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||||
@@ -0,0 +1,46 @@
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||||
\usepackage{titlesec}
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\usepackage[many]{tcolorbox}
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||||
\usepackage{environ}
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||||
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\titlespacing*{\chapter}{0cm}{-2.0cm}{0.50cm}
|
||||
\titlespacing*{\section}{0cm}{0.50cm}{0.25cm}
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||||
\setlength{\parindent}{0pt}
|
||||
\setlength{\parskip}{1ex}
|
||||
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||||
\newtcbtheorem[list inside={prob}]{problem}{Problema}%
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{enhanced,
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colback = black!5, %white,
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colbacktitle = black!5,
|
||||
coltitle = black,
|
||||
boxrule = 0pt,
|
||||
frame hidden,
|
||||
borderline west = {0.5mm}{0.0mm}{black},
|
||||
fonttitle = \bfseries\sffamily,
|
||||
breakable,
|
||||
before skip = 3ex,
|
||||
after skip = 3ex,
|
||||
boxsep = 2mm
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||||
}{problem}
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||||
\newenvironment{solution}
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{\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione]}
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{\end{proof}}
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\newenvironment{altsolution}
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||||
{\let\qed\relax\begin{proof}[Soluzione alternativa]}
|
||||
{\end{proof}}
|
||||
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||||
\newif\ifhideproofs
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||||
% \hideproofstrue
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||||
\ifhideproofs
|
||||
\usepackage{environ}
|
||||
\NewEnviron{hide}{}
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\let\solution\hide
|
||||
\let\endsolution\endhide
|
||||
\let\altsolution\hide
|
||||
\let\endaltsolution\endhide
|
||||
\fi
|
||||
|
||||
\tcbuselibrary{skins, breakable}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,158 @@
|
||||
\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle}
|
||||
|
||||
\input{preamble}
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||||
\input{format}
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||||
\input{commands}
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||||
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||||
\usepackage{thmtools}
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||||
\usepackage{tasks}
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||||
\usepackage{setspace}
|
||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\begin{LARGE}
|
||||
\textsf{\textbf{Esercizi di Istituzioni di Geometria}}
|
||||
\end{LARGE}
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||||
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||||
\vspace{0.2ex}
|
||||
|
||||
\begin{Large}
|
||||
\textsf{\textbf{Anno accademico 2025-26}}
|
||||
\end{Large}
|
||||
|
||||
\vspace{1.5ex}
|
||||
|
||||
\begin{large}
|
||||
\textsf{\textbf{Studente:}} \text{Gabriel Antonio Videtta (matricola \texttt{654839})} -- \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}
|
||||
\end{large}
|
||||
|
||||
\vspace{-0.5ex}
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||||
|
||||
\tcblistof[\section*]{prob}{Indice dei problemi}
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||||
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||||
\vspace{1ex}
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||||
\linespread{1.3}
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|
||||
\begin{problem}{Atlanti non compatibili su \texorpdfstring{$\RR$}{ℝ} -- esercizio 1.1}{problem-1}
|
||||
Costruisci due atlanti lisci non compatibili su $\RR$.
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||||
Mostra che le due varietà lisce che ne risultano sono però diffeomorfe.
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||||
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||||
(Nota: Per teoremi profondi, due strutture lisce sulla stessa varietà topologica
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||||
di dimensione $n \leq 3$ sono sempre diffeomorfe. Questo fatto spesso non
|
||||
è vero in dimensione $n \geq 4$.)
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||||
\end{problem}
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||||
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||||
\begin{solution}
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||||
Siano $\varphi$, $\psi : \RR \to \RR$ le funzioni continue
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||||
tali per cui $\varphi(x) = x^3$ e $\psi(x) = \sqrt[3]{x}$.
|
||||
Allora $\varphi$ è un omeomorfismo con inversa $\psi$, che però \underline{non} è diffeomorfismo liscio su (infatti $0$ \underline{non} è
|
||||
regolare, dacché $\varphi'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \notin \RR^*$). \smallskip
|
||||
|
||||
Considerando allora come atlanti $\mathcal{A} = \{ \id : \RR \to \RR \}$ e $\mathcal{A}' = \{ \varphi \}$, questi
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||||
atlanti \underline{non} sono compatibili dal momento che la funzione di transizione $\id \circ \varphi = \varphi$ \underline{non}
|
||||
è liscia. \smallskip
|
||||
|
||||
Tuttavia, $(\RR, \mathcal{A'})$ è diffeomorfo a $(\RR, \mathcal{A})$ tramite la mappa $\phi$, che in carte è
|
||||
letta come l'identità $\id$.
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||||
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\[\begin{tikzcd}
|
||||
{(\RR, \mathcal{A}')} && {(\RR, \mathcal{A})} \\
|
||||
\\
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||||
\RR && \RR
|
||||
\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
|
||||
\arrow["\varphi"{description}, from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["\id"{description}, from=1-3, to=3-3]
|
||||
\arrow["\psi"{description}, shift left=3, curve={height=-12pt}, from=3-1, to=1-1]
|
||||
\arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}{$\varphi : U \subseteq M \to \RR^n$ carta se e solo se diffeomorfismo -- esercizio 1.2}{problem-2}
|
||||
Sia $U \subseteq M$ un aperto in una varietà liscia $M$. Mostra che un
|
||||
omeomorfismo $\varphi : U \to \RR^n$ è una carta compatibile con la struttura liscia di
|
||||
$M$ se e solo se è un diffeomorfismo.
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||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Dimostriamo separatamente le due implicazioni.
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||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[$\boxed{\implies}$] Leggendo $\varphi$ in ogni punto di $U$ tramite le carte $\varphi$ per $U$ e $\id$ per $\RR$, otteniamo proprio l'identità, e quindi $\varphi$
|
||||
è banalmente un diffeomorfismo.
|
||||
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||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
U && {\RR^n} \\
|
||||
\\
|
||||
{\RR^n} && {\RR^n}
|
||||
\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
|
||||
\arrow["\varphi"', from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
|
||||
\arrow["\id"', from=3-1, to=3-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
|
||||
\item[$\boxed{\impliedby}$] Sia $\psi : V \to Z \subseteq \RR^n$ una carta dell'atlante massimale di $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$ e mostriamo che $\varphi$
|
||||
e $\psi$ sono compatibili mostrando che la funzione di transizione $[\psi \to \varphi]$ è un diffeomorfismo. \smallskip
|
||||
|
||||
Essendo diffeomorfismo, $\phi$ si legge tramite le carte $\psi$ per $U \cap V$ e $\id$ per $\varphi(U \cap V)$ proprio come la funzione
|
||||
di transizione $[\psi \to \varphi]$, che quindi è diffeomorfismo in quanto uguale a
|
||||
$\restr{\id}{\varphi(U \cap V)} \circ \restr{\varphi}{U \cap V} \circ \restr{\psi\inv}{\psi(U \cap V)}$, composizione di diffeomorfismi.
|
||||
|
||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
{U \cap V} && {\varphi(U \cap V)} \\
|
||||
\\
|
||||
{\psi(U \cap V)} && {\varphi(U \cap V)}
|
||||
\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
|
||||
\arrow["\psi"', from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
|
||||
\arrow["{[\psi \to \varphi]}"', from=3-1, to=3-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}{$S^2$ è diffeomorfo a $\CC \PP^1$-- esercizio 1.4}{problem-3}
|
||||
Mostra che la funzione costruita a lezione $S^2 \to \CC \PP^1$ è un diffeomorfismo.
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Ricordiamo che la funzione costruita era $\gamma : S^2 \to \CC \PP^1$ per cui, posto
|
||||
$N = (0, 0, 1)$, vale:
|
||||
\[
|
||||
\gamma(P) = \begin{cases}
|
||||
[1, 0] & \se P = N, \\
|
||||
[\pi_N(P), 1] & \altrimenti,
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
dove $\pi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \CC$ è la proiezione stereografica da $S^2 \setminus \{N\}$
|
||||
a $\CC$ (identificato come $\RR^2$). \smallskip
|
||||
|
||||
Sia $U_i = \{ [z_0, z_1] \mid z_i \neq 0 \} \subseteq \CC \PP^1$ e $\varphi_i : U_i \to \CC \cong \RR^2$ la carta
|
||||
affine con $\varphi_0([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_1}{z_0}$ e $\varphi_1([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_0}{z_1}$. Sia
|
||||
$S = (0, 0, -1)$ il punto diametralmente opposto a $N$ su $S^2$. \smallskip
|
||||
|
||||
Se $P \in S^2 \setminus \{N\}$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come l'identità $\id : \CC \to \CC$ (che è diffeomorfismo) come segue:
|
||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
{S^2 \setminus \{N\} \ni P} && {U_1 \subseteq \CC \PP^1} \\
|
||||
\\
|
||||
{\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
|
||||
\arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
|
||||
\arrow["{\pi_N}"{description}, from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["{\varphi_1}"{description}, from=1-3, to=3-3]
|
||||
\arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
|
||||
Se invece $P = N$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come il complesso coniugato $z \mapsto \overline{z}$ (che è diffeomorfismo) come segue:
|
||||
\[\begin{tikzcd}
|
||||
{S^2 \setminus \{S\} \ni N} && {U_0 \subseteq \CC \PP^1} \\
|
||||
\\
|
||||
{\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
|
||||
\arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
|
||||
\arrow["{\pi_S}"{description}, from=1-1, to=3-1]
|
||||
\arrow["{\varphi_0}"{description}, from=1-3, to=3-3]
|
||||
\arrow["{\overline{z}}", from=3-1, to=3-3]
|
||||
\end{tikzcd}\]
|
||||
dove si è usato che $\pi_N \circ \pi_S\inv$ corrisponde a $\nicefrac{1}{\overline{z}}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
@@ -0,0 +1,62 @@
|
||||
% \usepackage{fontspec}
|
||||
|
||||
% ==================================================
|
||||
|
||||
\usepackage[italian]{babel}
|
||||
\usepackage[margin = 1in]{geometry}
|
||||
|
||||
% ==================================================
|
||||
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{physics}
|
||||
\usepackage{dsfont}
|
||||
\usepackage{esint}
|
||||
\usepackage{marvosym}
|
||||
\usepackage{kpfonts}
|
||||
\usepackage{quiver}
|
||||
\usepackage{nicefrac}
|
||||
|
||||
% ==================================================
|
||||
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage[shortlabels, inline]{enumitem}
|
||||
\usepackage{framed}
|
||||
\usepackage{csquotes}
|
||||
|
||||
% ==================================================
|
||||
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{tabularx}
|
||||
\usepackage{xcolor}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
\usepackage{caption}
|
||||
\captionsetup{format = hang, margin = 10pt, font = small, labelfont = bf}
|
||||
|
||||
\usepackage[round, authoryear]{natbib}
|
||||
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\definecolor{links}{rgb}{0.36,0.54,0.66}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks = true,
|
||||
linkcolor = black,
|
||||
urlcolor = blue,
|
||||
citecolor = blue,
|
||||
filecolor = blue,
|
||||
pdfauthor = {Author},
|
||||
pdftitle = {Title},
|
||||
pdfsubject = {subject},
|
||||
pdfkeywords = {one, two},
|
||||
pdfproducer = {LaTeX},
|
||||
pdfcreator = {pdfLaTeX},
|
||||
}
|
||||
|
||||
\usepackage{lmodern}
|
||||
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
|
||||
|
||||
\usepackage{sfmath}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
@@ -0,0 +1,40 @@
|
||||
% *** quiver ***
|
||||
% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app.
|
||||
%
|
||||
% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ
|
||||
% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height.
|
||||
%
|
||||
% Version: 1.5.2
|
||||
% Authors:
|
||||
% - varkor (https://github.com/varkor)
|
||||
% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c)
|
||||
|
||||
\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
|
||||
\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
|
||||
|
||||
% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
|
||||
\RequirePackage{tikz-cd}
|
||||
% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
|
||||
\RequirePackage{amssymb}
|
||||
% `calc` is necessary to draw curved arrows.
|
||||
\usetikzlibrary{calc}
|
||||
% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
|
||||
|
||||
% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
|
||||
\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
|
||||
.. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
|
||||
.. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
|
||||
settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
|
||||
\def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
|
||||
quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
|
||||
|
||||
% TikZ arrowhead/tail styles.
|
||||
\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
|
||||
\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
|
||||
\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
|
||||
% TikZ arrow styles.
|
||||
\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
|
||||
|
||||
\endinput
|
||||
@@ -0,0 +1,5 @@
|
||||
# [Istituzioni di geometria](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
|
||||
|
||||
- [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
|
||||
- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11082629::::&ri=80361)
|
||||
- [Pagina web del corso 🌐](https://people.dm.unipi.it/martelli/didattica/matematica/2026/ist_geo.html)
|
||||
Reference in New Issue
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