istgeo: aggiunge appunti e primi esercizi

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/commands.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+\newcommand{\eu}{\mathrm{e}}
+\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
+
+\newcommand{\degree}{\,^{\circ}}
+
+\newcommand{\transpose}[1]{{#1}^{\mathsf{T}}}
+
+\newcommand{\Int}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
+
+\newcommand{\rint}[2]{\int{#1}\dd{#2}}
+
+\newcommand{\Rint}[4]{\int\limits_{#1}^{#2}{#3}\dd{#4}}
+
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+\DeclareMathOperator{\ot}{ot}
+\DeclareMathOperator{\cof}{cof}
+\DeclareMathOperator{\TC}{TC}
+\newcommand{\ORD}{\text{ORD}}
+
+\makeatletter
+\newcommand*\bigcdot{\mathpalette\bigcdot@{.5}}
+\newcommand*\bigcdot@[2]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#2}{$\m@th#1\bullet$}}}}}
+\makeatother
+
+\newcommand{\Ham}{\hat{\mathcal{H}}}
+
+\renewcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
+
+\newcommand{\christoffelsecond}[4]{\dfrac{1}{2}g^{#3 #4}(\partial_{#1} g_{#2 #4} + \partial_{#2} g_{#1 #4} - \partial_{#4} g_{#1 #2})}
+
+\newcommand{\riemanncurvature}[5]{\partial_{#3} \Gamma_{#4 #2}^{#1} - \partial_{#4} \Gamma_{#3 #2}^{#1} + \Gamma_{#3 #5}^{#1} \Gamma_{#4 #2}^{#5} - \Gamma_{#4 #5}^{#1} \Gamma_{#3 #2}^{#5}}
+
+\newcommand{\covariantriemanncurvature}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
+
+\newcommand{\riccitensor}[5]{g_{#1 #5} R^{#5}{}_{#2 #3 #4}}
+
+\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
+
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+
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+
+\newcommand{\AC}{$\mathsf{AC}$}
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+
+\newcommand{\OO}{\mathfrak{O}}
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+
+\newcommand{\restr}[2]{
+	#1\arrowvert_{#2}
+}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/format.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\usepackage{titlesec}
+\usepackage[many]{tcolorbox}
+\usepackage{environ}
+
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+\setlength{\parindent}{0pt}
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+\newtcbtheorem[list inside={prob}]{problem}{Problema}%
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+    breakable,
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+
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+
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+  {\end{proof}}
+
+\newif\ifhideproofs
+% \hideproofstrue
+
+\ifhideproofs
+  \usepackage{environ}
+  \NewEnviron{hide}{}
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+  \let\endsolution\endhide
+  \let\altsolution\hide
+  \let\endaltsolution\endhide
+\fi
+
+\tcbuselibrary{skins, breakable}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/main.tex

@@ -0,0 +1,158 @@
+\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle}
+
+\input{preamble}
+\input{format}
+\input{commands}
+
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{tasks}
+\usepackage{setspace}
+
+\begin{document}
+
+\begin{LARGE}
+    \textsf{\textbf{Esercizi di Istituzioni di Geometria}}
+\end{LARGE}
+
+\vspace{0.2ex}
+
+\begin{Large}
+    \textsf{\textbf{Anno accademico 2025-26}}
+\end{Large}
+
+\vspace{1.5ex}
+
+\begin{large}
+    \textsf{\textbf{Studente:}} \text{Gabriel Antonio Videtta (matricola \texttt{654839})} --  \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}
+\end{large}
+
+\vspace{-0.5ex}
+
+\tcblistof[\section*]{prob}{Indice dei problemi}
+
+\vspace{1ex}
+
+\linespread{1.3}
+
+\begin{problem}{Atlanti non compatibili su \texorpdfstring{$\RR$}{ℝ} -- esercizio 1.1}{problem-1}
+Costruisci due atlanti lisci non compatibili su $\RR$.
+Mostra che le due varietà lisce che ne risultano sono però diffeomorfe.
+
+
+(Nota: Per teoremi profondi, due strutture lisce sulla stessa varietà topologica
+di dimensione $n \leq 3$ sono sempre diffeomorfe. Questo fatto spesso non
+è vero in dimensione $n \geq 4$.)
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Siano $\varphi$, $\psi : \RR \to \RR$ le funzioni continue
+    tali per cui $\varphi(x) = x^3$ e $\psi(x) = \sqrt[3]{x}$.
+    Allora $\varphi$ è un omeomorfismo con inversa $\psi$, che però \underline{non} è diffeomorfismo liscio su (infatti $0$ \underline{non} è
+    regolare, dacché $\varphi'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \notin \RR^*$). \smallskip
+
+    Considerando allora come atlanti $\mathcal{A} = \{ \id : \RR \to \RR \}$ e $\mathcal{A}' = \{ \varphi \}$, questi
+    atlanti \underline{non} sono compatibili dal momento che la funzione di transizione $\id \circ \varphi = \varphi$ \underline{non}
+    è liscia. \smallskip
+
+    Tuttavia, $(\RR, \mathcal{A'})$ è diffeomorfo a $(\RR, \mathcal{A})$ tramite la mappa $\phi$, che in carte è
+    letta come l'identità $\id$.
+
+    \[\begin{tikzcd}
+            {(\RR, \mathcal{A}')} && {(\RR, \mathcal{A})} \\
+            \\
+            \RR && \RR
+            \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["\varphi"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["\id"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["\psi"{description}, shift left=3, curve={height=-12pt}, from=3-1, to=1-1]
+            \arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+\end{solution}
+
+\begin{problem}{$\varphi : U \subseteq M \to \RR^n$ carta se e solo se diffeomorfismo -- esercizio 1.2}{problem-2}
+Sia $U \subseteq M$ un aperto in una varietà liscia $M$. Mostra che un
+omeomorfismo $\varphi : U \to \RR^n$ è una carta compatibile con la struttura liscia di
+$M$ se e solo se è un diffeomorfismo.
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Dimostriamo separatamente le due implicazioni.
+
+    \begin{itemize}
+        \item[$\boxed{\implies}$] Leggendo $\varphi$ in ogni punto di $U$ tramite le carte $\varphi$ per $U$ e $\id$ per $\RR$, otteniamo proprio l'identità, e quindi $\varphi$
+              è banalmente un diffeomorfismo.
+
+              \[\begin{tikzcd}
+                      U && {\RR^n} \\
+                      \\
+                      {\RR^n} && {\RR^n}
+                      \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+                      \arrow["\varphi"', from=1-1, to=3-1]
+                      \arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
+                      \arrow["\id"', from=3-1, to=3-3]
+                  \end{tikzcd}\]
+
+        \item[$\boxed{\impliedby}$] Sia $\psi : V \to Z \subseteq \RR^n$ una carta dell'atlante massimale di $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$ e mostriamo che $\varphi$
+              e $\psi$ sono compatibili mostrando che la funzione di transizione $[\psi \to \varphi]$ è un diffeomorfismo. \smallskip
+
+              Essendo diffeomorfismo, $\phi$ si legge tramite le carte $\psi$ per $U \cap V$ e $\id$ per $\varphi(U \cap V)$ proprio come la funzione
+              di transizione $[\psi \to \varphi]$, che quindi è diffeomorfismo in quanto uguale a
+              $\restr{\id}{\varphi(U \cap V)} \circ \restr{\varphi}{U \cap V} \circ \restr{\psi\inv}{\psi(U \cap V)}$, composizione di diffeomorfismi.
+
+              \[\begin{tikzcd}
+                      {U \cap V} && {\varphi(U \cap V)} \\
+                      \\
+                      {\psi(U \cap V)} && {\varphi(U \cap V)}
+                      \arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+                      \arrow["\psi"', from=1-1, to=3-1]
+                      \arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
+                      \arrow["{[\psi \to \varphi]}"', from=3-1, to=3-3]
+                  \end{tikzcd}\]
+    \end{itemize}
+\end{solution}
+
+\begin{problem}{$S^2$ è diffeomorfo a $\CC \PP^1$-- esercizio 1.4}{problem-3}
+Mostra che la funzione costruita a lezione $S^2 \to \CC \PP^1$ è un diffeomorfismo.
+\end{problem}
+
+\begin{solution}
+    Ricordiamo che la funzione costruita era $\gamma : S^2 \to \CC \PP^1$ per cui, posto
+    $N = (0, 0, 1)$, vale:
+    \[
+        \gamma(P) = \begin{cases}
+            [1, 0]        & \se P = N,   \\
+            [\pi_N(P), 1] & \altrimenti,
+        \end{cases}
+    \]
+    dove $\pi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \CC$ è la proiezione stereografica da $S^2 \setminus \{N\}$
+    a $\CC$ (identificato come $\RR^2$). \smallskip
+
+    Sia $U_i = \{ [z_0, z_1] \mid z_i \neq 0 \} \subseteq \CC \PP^1$ e $\varphi_i : U_i \to \CC \cong \RR^2$ la carta
+    affine con $\varphi_0([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_1}{z_0}$ e $\varphi_1([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_0}{z_1}$. Sia
+    $S = (0, 0, -1)$ il punto diametralmente opposto a $N$ su $S^2$. \smallskip
+
+    Se $P \in S^2 \setminus \{N\}$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come l'identità $\id : \CC \to \CC$ (che è diffeomorfismo) come segue:
+    \[\begin{tikzcd}
+            {S^2 \setminus \{N\} \ni P} && {U_1 \subseteq \CC \PP^1} \\
+            \\
+            {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
+            \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["{\pi_N}"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["{\varphi_1}"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+
+    Se invece $P = N$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come il complesso coniugato $z \mapsto \overline{z}$ (che è diffeomorfismo) come segue:
+    \[\begin{tikzcd}
+            {S^2 \setminus \{S\} \ni N} && {U_0 \subseteq \CC \PP^1} \\
+            \\
+            {\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
+            \arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
+            \arrow["{\pi_S}"{description}, from=1-1, to=3-1]
+            \arrow["{\varphi_0}"{description}, from=1-3, to=3-3]
+            \arrow["{\overline{z}}", from=3-1, to=3-3]
+        \end{tikzcd}\]
+    dove si è usato che $\pi_N \circ \pi_S\inv$ corrisponde a $\nicefrac{1}{\overline{z}}$.
+\end{solution}
+
+\end{document}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/preamble.tex

@@ -0,0 +1,62 @@
+% \usepackage{fontspec}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage[margin = 1in]{geometry}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{physics}
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{esint}
+\usepackage{marvosym}
+\usepackage{kpfonts}
+\usepackage{quiver}
+\usepackage{nicefrac}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage[shortlabels, inline]{enumitem}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{csquotes}
+
+% ==================================================
+
+\usepackage{float}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{format = hang, margin = 10pt, font = small, labelfont = bf}
+
+\usepackage[round, authoryear]{natbib}
+
+\usepackage{hyperref}
+\definecolor{links}{rgb}{0.36,0.54,0.66}
+\hypersetup{
+   colorlinks = true,
+   linkcolor = black,
+   urlcolor = blue,
+   citecolor = blue,
+   filecolor = blue,
+   pdfauthor = {Author},
+   pdftitle = {Title},
+   pdfsubject = {subject},
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+   pdfcreator = {pdfLaTeX},
+}
+
+\usepackage{lmodern}
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+\usepackage{sfmath}
+\usepackage{hyperref}

Corsi/Istituzioni di geometria/Esercizi/quiver.sty

@@ -0,0 +1,40 @@
+% *** quiver ***
+% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app.
+%
+% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ
+% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height.
+%
+% Version: 1.5.2
+% Authors:
+% - varkor (https://github.com/varkor)
+% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c)
+
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
+
+% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
+\RequirePackage{tikz-cd}
+% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
+\RequirePackage{amssymb}
+% `calc` is necessary to draw curved arrows.
+\usetikzlibrary{calc}
+% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
+\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+
+% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
+\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
+    .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
+    settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
+        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
+    quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
+
+% TikZ arrowhead/tail styles.
+\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
+\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
+\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
+% TikZ arrow styles.
+\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
+
+\endinput

Corsi/Istituzioni di geometria/README.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+# [Istituzioni di geometria](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
+
+- [Programma del corso 📘](https://unipi.coursecatalogue.cineca.it/corsi/2024/10455/insegnamenti/2025/52843_694881_77459/2015/52843?coorte=2024&schemaid=9153)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=11082629::::&ri=80361)
+- [Pagina web del corso 🌐](https://people.dm.unipi.it/martelli/didattica/matematica/2026/ist_geo.html)