geometria: aggiunge i primi assiomi

Fisica/fisica.tex

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 \newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
 \newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
 
-% \renewcommand{\times}{\wedge}
-
 \begin{document}
 
 \author{Gabriel Antonio Videtta}

Geometria/geometria.tex

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+\documentclass{article}
+
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+\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
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+
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+
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+
+\newtheorem{axiom}{Assioma}[section]
+\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
+\newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
+
+\begin{document}
+
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\title{Appunti di Geometria}
+
+\maketitle
+\newpage
+
+\tableofcontents
+\newpage
+
+\section{Assiomi della geometria}
+
+\subsection{I concetti primitivi}
+
+La geometria euclidea dispone di tre principali concetti primitivi,
+ossia concetti inesprimibili per definizione, ma assunti come
+definiti e chiari. Essi sono:
+
+\begin{itemize}[noitemsep]
+    \item il punto;
+    \item la retta;
+    \item il piano.
+\end{itemize}
+
+Per indicare questi tre concetti sono in atto alcune convenzioni
+stilistiche:
+
+\begin{itemize}[noitemsep]
+    \item i punti vengono indicati con le lettere
+          maiuscole dell'alfabeto latino (\emph{A}, \emph{B}, \emph{C}, ...);
+    \item le rette vengono indicate con le lettere
+          minuscole dell'alfabeto latino (\emph{a}, \emph{b}, \emph{c}, ...);
+    \item i piani vengono indicati con le lettere
+          minuscole dell'alfabeto greco ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ...).
+\end{itemize}
+
+A partire da questi concetti è possibile stabilire gli assiomi
+della geometria euclidea.
+
+\subsection{Gli assiomi di appartenenza}
+
+Gli assiomi di appartenenza stabiliscono le relazioni tra i
+tre concetti primitivi prima elencati.
+
+\begin{axiom}[Primo assioma di relazione di insieme]
+    Ogni piano è un insieme infinito di punti
+    ($\forall \alpha, |\alpha| = \infty$).
+\end{axiom}
+
+\begin{axiom}[Secondo assioma di relazione di insieme]
+    Ogni retta è un sottoinsieme di un piano
+    ($\forall r \, \exists! \, \alpha : r \in \alpha$).
+\end{axiom}
+
+\begin{axiom}[Primo assioma di appartenenza della retta]
+    A ogni retta appartengono almeno due punti distinti
+    ($\forall r \, \exists \, A, B : A \neq B \land A, B \in r$).
+\end{axiom}
+
+\begin{axiom}[Secondo assioma di appartenenza della retta]
+    \label{retta:secondo_assioma_appartenenza}
+    Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta a cui
+    essi appartengano contemporaneamente
+    ($A \neq B \Rightarrow \exists! \, r : A, B \in r$).
+\end{axiom}
+
+\begin{theorem}
+    Date due rette distinte, esse possono incontrarsi
+    in al più un punto
+    ($r \neq s \Rightarrow |r \cap s| \leq 1$).
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Qualora le due rette dovessero incontrarsi in più di un punto, esisterebbero
+    allora due punti appartenenti ad
+    ambo le rette. Tuttavia, per
+    l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_appartenenza}},
+    attraverso la congiunzione di tali due punti
+    si può determinare una e una sola retta,
+    generando una contraddizione.
+\end{proof}
+
+A partire da questo teorema si possono definire tre combinazioni di rette:
+
+\begin{itemize}[noitemsep]
+    \item due rette che hanno in comune più di un
+          punto sono dette \textbf{coincidenti} e condividono
+          il medesimo sottoinsieme del piano, ossia i suoi
+          stessi punti;
+    \item due rette che hanno in comune un solo punto
+          sono dette \textbf{incidenti};
+    \item due rette che non hanno in comune alcun punto
+          sono dette \textbf{parallele}.
+\end{itemize}
+
+\begin{axiom}
+    \label{piano:tre_punti}
+    Ogni piano è ben definito da almeno tre punti non
+    appartenenti alla medesima retta,
+    ossia non allineati.
+\end{axiom}
+
+\subsection{Gli assiomi di ordine}
+
+Un verso di percorrenza in una retta $r$ viene istituito come
+un sistema mediante il quale è sempre possibile stabilire una
+relazione di ordine tra due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti
+alla medesima retta in modo tale che $A>B$ o $A<B$.
+
+Stabilito un verso di percorrenza di una retta, vengono
+postulati due assiomi detti di ordine che fanno riferimento
+a tale verso di percorrenza.
+
+\begin{axiom}[Primo assioma di ordine della retta]
+    Presi due punti distinti $A$ e $B$ appartenenti alla retta $r$
+    tali che $A<B$, allora esiste un punto $C$, sempre
+    appartenente alla retta $r$, tale che $A<C<B$
+    ($A,B \in r : A<B \Rightarrow \exists \, C \in r : A<C<B$).
+\end{axiom}
+
+\begin{axiom}[Secondo assioma di ordine della retta]
+    \label{retta:secondo_assioma_ordine}
+    Dato un punto $C$ appartenente alla retta $r$, esistono
+    sempre due punti $A$ e $B$, sempre appartenenti a $r$,
+    tali che $A<C<B$.
+    ($C \in r \Rightarrow \exists \, A,B \in r : A<C<B$).
+\end{axiom}
+
+\begin{theorem}
+    \label{retta:infiniti_punti}
+    Ad ogni retta appartengono infiniti punti.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Qualora ad una retta appartenesse un numero finito di punti,
+    stabilito un verso di percorrenza, sarebbe possibile enumerare
+    tali punti in ordine. Presi i primi due punti minori $A$ e $B$,
+    ossia tali che non esista alcun punto $C$ tale che $A<C<B$, per
+    l'\textbf{Assioma \ref{retta:secondo_assioma_ordine}} tra di essi deve
+    esistere un punto $C$ tale che $A<C<B$, entrando
+    in piena contraddizione con l'assunto.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Ogni punto $P$ del piano appartiene ad un numero infinito di rette.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per l'\textbf{Assioma \ref{piano:tre_punti}}, per ogni
+    punto $P$ del piano devono esistere altri due punti $A$ e $B$
+    tali che la retta che li congiunge non contenga $P$.
+
+    Si considerino le rette $a$, che congiunge $P$ e $A$, e $d$,
+    che congiunge $A$ e $B$. Per conseguenza del
+    \textbf{Teorema \ref{retta:infiniti_punti}},
+    per $d$ passano infiniti punti, i quali, presi singolarmente
+    e congiunti a $P$, definiscono allo stesso modo infinite
+    rette.
+\end{proof}
+\end{document}