\subsection{Caso reale e segnatura di \texorpdfstring{$\varphi$}{φ}}
\begin{definition} [segnatura di un prodotto scalare]
Data una base ortogonale $\basis$ di $V$ rispetto al prodotto
@ -623,6 +623,49 @@
$\restr{(\restr{\varphi}{W})}{U} > 0$, allora $U$ è in particolare un sottospazio di $V$ tale che $\restr{\varphi}{U} > 0$. Pertanto, per definizione, essendo $\iota_+(\varphi)$ la dimensione del massimo sottospazio su cui $\varphi$, ristretto ad esso, è definito positivo, deve valere che $\iota_+(\varphi)\geq\iota_+(\restr{\varphi}{W})$. Analogamente, $\iota_-(\varphi)\geq\iota_-(\restr{\varphi}{W})$.
\end{remark}
\subsubsection{Classificazione delle segnature per $n =1$, $2$, $3$}
Sia $\basis$ una base di Sylvester per $\varphi$. Sia $A = M_\basis(\varphi)$. Si indica con $x$, $y$ e $z$
le tre coordinate di $\v\in V$ secondo la base $\basis$. \\
\mbox{($n =1$)} Vi sono solo tre possibili matrici per $A$:
\begin{itemize}
\item$A =(0)$, con $\sigma=(0, 0, 1)$, $\rg(\varphi)=0$ e $\CI(\varphi)= V$,
\item$A =(1)$, con $\sigma=(1, 0, 0)$, $\rg(\varphi)=1$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$,
\item$A =(-1)$, con $\sigma=(0, 1, 0)$, $\rg(\varphi)=1$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$.
\end{itemize}
\vskip 0.1in
\mbox{($n =2$)} Vi sono sei possibili matrici per $A$:
\begin{itemize}
\item$A =0$, con $\sigma=(0, 0, 2)$, $\rg(\varphi)=0$ e $\CI(\varphi)= V$,
\item$A =\Matrix{1&0\\0&0}$, con $\sigma=(1, 0, 1)$, $\rg(\varphi)=1$ e $\CI(\varphi)=\{x =0\mid\v\in V\}= V^\perp$,
\item$A =\Matrix{-1&0\\0&0}$, con $\sigma=(0, 1, 1)$, $\rg(\varphi)=1$ e $\CI(\varphi)=\{x =0\mid\v\in V\}= V^\perp$,
\item$A =\Matrix{1&0\\0&-1}$, con $\sigma=(1, 1, 0)$, $\rg(\varphi)=2$ e $\CI(\varphi)=\{x^2= y^2\mid\v\in V\}$,
\item$A = I_2$, con $\sigma=(2, 0, 0)$, $\rg(\varphi)=2$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$,
\item$A =-I_2$, con $\sigma=(0, 2, 0)$, $\rg(\varphi)=2$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$.
\end{itemize}
Si osserva in particolare che $\det(A)=-1\iff\sigma=(1, 1, 0)$. Pertanto se $M$ è una matrice associata
al prodotto scalare $\varphi$ in una base $\basis'$, $\det(M) < 0\iff\sigma=(1, 1, 0)$. \\
\mbox{($n =3$)} Se $A$ contiene almeno uno zero nella diagonale, si può studiare $A$ riconducendosi al caso $n =2$,
considerando la matrice $A^{1,2}_{1,2}$, e incrementando di uno l'indice di nullità di $\varphi$ (eventualmente
considerando anche come varia il cono isotropo). Altrimenti $A$
può essere rappresentato dalle seguenti quattro matrici:
\begin{itemize}
\item$A = I_3$, con $\sigma=(3, 0, 0)$, $\rg(\varphi)=3$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$,
\item$A =-I_3$, con $\sigma=(0, 3, 0)$, $\rg(\varphi)=3$ e $\CI(\varphi)=\zerovecset$,
\item$A =\Matrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}$, con $\sigma=(2, 1, 0)$, $\rg(\varphi)=3$ e $\CI(\varphi)=\{ x^2+ y^2= z^2\mid\v\in V \}$,
\item$A =\Matrix{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}$, con $\sigma=(1, 2, 0)$, $\rg(\varphi)=3$ e $\CI(\varphi)=\{ y^2+ z^2= x^2\mid\v\in V \}$.
\end{itemize}
Si osserva infine che, se $V =\RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni isotropi delle ultime due matrici rappresentano proprio due coni nello spazio tridimensionale.
\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
\begin{proposition}\label{prop:pre_metodo_jacobi} Sia $\KK$ un campo ordinato
@ -639,7 +682,7 @@
\end{proposition}
\begin{proof}
Dalla precedente osservazione, vale che $\iota_+(\restr{\varphi}{W'})\geq\iota_+(\restr{\varphi}{W})$
Dalle precedenti osservazioni, vale che $\iota_+(\restr{\varphi}{W'})\geq\iota_+(\restr{\varphi}{W})$
e che $\iota_-(\restr{\varphi}{W'})\geq\iota_-(\restr{\varphi}{W})$. Inoltre $\restr{\varphi}{W}$
è non degenere dal momento che $\iota_0(\restr{\varphi}{W})=0$, e pertanto
