modificata, per $D \cap D' \neq\emptyset$) utilizzando questa osservazione, così come si sarebbe
potuto dimostrare che $(D + D')_0= D_0+ D_0'$.
\end{remark}
\hr
\begin{remark} [punti fissi di un'applicazione affine]
Si consideri un'applicazione affine $f$ di $\AnK$. Allora esistono $A \in M(n, \KK)\setminus\{0\}$ e $\vec b \in\AnK$ tali
per cui $f(\x)= A \x+\vec b$$\forall\x\in\AnK$. In particolare, $f$ ammette punti fissi se
esiste $\x\in\AnK\mid f(\x)=\x\iff A \x+\vec b =\x\iff(A-I)\x=-\vec b \iff\vec b \in\Im(A-I)$. \\
Ciò è sicuramente vero se $A$ non ammette $1$ come autovalore (infatti in tal caso $A-I$ è invertibile, e quindi
in particolare è surgettiva).
\end{remark}
\begin{example}
Si consideri $f \in A(\Aa_1(\KK))$. Allora esistono $a$, $b \in\Aa_1(\KK)$ tali per cui $f(x)= ax+b$$\forall x \in\Aa_1(\KK)$. \\
Se $a \neq1$ (ossia se non ammette $1$ come autovalore), $f$ ammette un punto fisso, ossia
$x =-\frac{b}{a-1}$. Altrimenti, se $a =1$ e $b \neq0$, $f$ è una traslazione (e quindi non ammette punti fissi).
Allora, indicando con $\Fix(f)=\{ x \in\Aa_1(\KK)\mid f(x)= x \}$ l'insieme dei punti fissi
di $f$, vale sicuramente che $\abs{\Fix(f)}\leq1$, escludendo il caso in cui $a =1$ e $b =0$. \\
Inoltre, vale che $A(\Aa_1(\KK))$ agisce transitivamente su $\Aa_1(\KK)$, ossia esiste sempre un'applicazione
affine tale per cui $x \mapsto y$, dati $x$, $y \in\Aa_1(\KK)$. Ciononostante $A(\Aa_1(\KK))$ non agisce
liberamente su $\Aa_1(\KK)$, ed in particolare vale che $\Stab(x)\cong\GL(1, \KK)$\footnote{È sufficiente
mappare ogni affinità alla propria matrice $A$, dal momento che $\vec b$ è già univocamente determinante.}.
Un risultato analogo vale anche per gli altri spazi affini: per esempio vale ancora che
$\Stab(\x)\cong\GL(2, \KK)$$\forall\x\in\Aa_2(\KK)$, sull'azione generata da $A(\Aa_2(\KK))$ su $\Aa_2(\KK)$. \\
Infine, date due coppie di punti $(P, P')$ e $(Q, Q')$ con $P$, $P'$, $Q$, $Q' \in\Aa_1(\KK)$,
$P \neq P'$ e $Q \neq Q'$, $A(\Aa_1(\KK))$ agisce in maniera semplicemente transitiva mappando una coppia
di punti all'altra\footnote{Infatti l'unica applicazione affine che manda una coppia di punti nella stessa coppia di punti è obbligatoriamente l'identità, come visto sopra nello studio di $\Fix(f)$. Infine si osserva che esiste sempre un'applicazione che manda una coppia di punti nell'altra.}.
\end{example}
\begin{remark} [rapporto semplice] Siano $P_1$, $P_2$, $P_3$, $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$ punti di $\Aa_1(\KK)$ con
$P_1$, $P_2$, $P_3$ distinti e $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ distinti. Allora esiste un'unica applicazione affine $f$
tale per cui $f(P_1)= Q_1$ e $f(P_2)= Q_2$, dacché $P_1$ e $P_2$ formano un riferimento affine di $\Aa_1(\KK)$. \\
In particolare $f$ è tale che $f(P_3)= Q_3$ se e solo se, detto $\lambda\in\KK$ il parametro tale per
cui $P_3=(1-\lambda) P_1+\lambda P_2$, $Q_3= f(P_3)=(1-\lambda) f(P_1)+\lambda f(P_2)=
(1-\lambda) Q_1 + \lambda Q_2$, ossia se e solo se $\lambda$ è lo stesso parametro con cui si scrive $Q_2$ rispetto
al riferimento affine dato da $Q_1$ e $Q_2$. In particolare ciò è vero se e solo se vale che $\frac{P_3- P_1}{P_2- P_1}=\lambda=\frac{Q_3- Q_1}{Q_2- Q_1}$. \\
Il rapporto $\frac{P_3- P_1}{P_2- P_1}$ si dice \textbf{rapporto semplice} della terna di punti $P_1$, $P_2$ e $P_3$.
Si conclude dunque che tale $f$ esiste (ed è unica) se e solo se i rapporti semplici delle due terne di punti
