è mai unione finita di sottospazi propri. Un insieme linearmente
indipendente di $V$ con esattamente $\dim V$ elementi è una
base di $V$. Analogamente, un insieme generatore di $V$ con esattamente
$\dim V$ elementi è una base di $V$.
$\dim V$ elementi è una base di $V$. In generale, quando il campo su
cui fonda lo spazio vettoriale è ambiguo, si scrive $\dim_\KK V$ o $[V : \KK]$
per indicarne la dimensione relativa al campo $\KK$ (per esempio un $\CC$-spazio è
compatibilmente anche un $\RR$-spazio).
Sia $\basis=\{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$ una base ordinata dello spazio vettoriale $V$.
@ -233,7 +236,8 @@
$\Ker\dual{\vec{t}}$),
\item un iperpiano $\Pi$, rappresentato da un'equazione cartesiana $\alpha_1 x_1+\ldots+\alpha_n x_n =0$, è esattamente il sottospazio ortogonale a $\Span(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^\perp$ tramite il prodotto scalare standard,
\item in generale, un sistema di equazioni omogenee è l'intersezione di più
sottospazi ortogonali.
sottospazi ortogonali,
\item se $\mathbb{F}$ è un'estensione di campo di $\KK$, allora vale $[V : \KK]=[V : \mathbb{F}][\mathbb{F} : \KK]$ (\textit{teorema delle torri algebriche}).
\end{itemize}
@ -464,6 +468,16 @@
\det(\lambda I_n - A)$(\textit{teorema di
Hamilton-Cayley}).
Si elencano adesso i tipi principali di matrici:
\begin{itemize}
\item$A$ è simmetrica $\defiff A^\top= A$,
\item$A$ è antisimmetrica $\defiff A^\top=-A$,
\item$A$ è hermitiana $\defiff A^* :=\left(\overline{A\,}\right)^\top= A$,
\item$A$ è ortogonale ($A \in O(n)$ o $O_n$) $\defiff AA^\top= A^\top A = I_n$,
\item$A$ è unitaria ($A \in U(n)$ o $U_n$) $\defiff AA^*= A^*A = I_n$.
\end{itemize}
\subsection{Rango di una matrice}
Si definisce rango di una matrice $A$ il numero di colonne linearmente
@ -527,6 +541,10 @@
\dim\Span(A^1, \ldots, A^n) \iff
\dim\Im (A \mid B) = \dim\Im A \iff\rg (A \mid B) = \rg (A)$
(\textit{teorema di Rouché-Capelli}),
\item Data un'applicazione lineare $f : \KK^n \to\KK^m$ determinata
dalla matrice $M$, il sistema di equazioni cartesiane che rappresenta
$\Im f$ si ottiene imponendo la validità del teorema di Rouché-Capelli
sul vettore $\vec x =(x_1, \ldots, x_m)$, ossia imponendo $\rg(M)=\rg(M \mid\vec x)$,
\item$A\vec{x}= B$, se la ammette, ha un'unica soluzione
se e solo se $\Ker A =\zerovecset\iff\rg A = n$.
\end{itemize}
@ -764,7 +782,7 @@
\[\Ann_{\mathcal{L}(V, W)}(U)=\left\{ f \in\mathcal{L}(V, W)\mid f(U)=\zerovecset\right\}. \]
Se $V$ è a dimensione finita, la dimensione di
$\Ann(U)$ è pari a $(\dim V -\dim U)\cdot\dim W$ (è sufficiente
$\Ann_{\mathcal{L}(V, W)}(U)$ è pari a $(\dim V -\dim U)\cdot\dim W$ (è sufficiente
prendere una base di $U$, completarla a base di $V$ e
notare che $f(U)=\zerovecset\iff$ ogni valutazione
in $f$ degli elementi della base di $U$ è nullo $\iff$ la matrice
Se $U$ è un sottospazio di $V$, $\varphi$ induce un prodotto scalare $\hat\varphi : V/U \times V/U \times\KK$ tale che $\hat\varphi([\vv1]_U, [\vv2]_U)=\varphi(\vv1, \vv2)$ se e solo se $U \subseteq V^\perp$. In particolare, se $U = V^\perp$,
$\hat\varphi$ è anche non degenere.
Due esempi classici di prodotto scalare sono $\varphi(A, B)=\tr(AB)$ e
$\psi(A, B)=\tr(AB^\top)$, entrambi su $M(n, \KK)$. I due prodotti sono
entrambi non degeneri, e vale che:
@ -1793,8 +1814,10 @@
una base ortogonale e se ne normalizzino i vettori anisotropi, facendo infine eventuali considerazioni
dimensionali per dimostrare la seconda parte dell'enunciato),
\item$\varphi > 0\iff\sigma=(n, 0, 0)$ e $\varphi < 0\iff\sigma=(0, n, 0)$,
\item$\varphi\geq0\iff\sigma=(n - k, 0, k)$ e $\varphi\leq0\iff\sigma=(0, n - k, k)$,
\item$\varphi > 0\iff\sigma=(n, 0, 0)$,
\item$\varphi < 0\iff\sigma=(0, n, 0)$,
\item$\varphi\geq0\iff\sigma=(n - k, 0, k)$,
\item$\varphi\leq0\iff\sigma=(0, n - k, k)$,
con $0\leq k \leq n$ tale che $k =\dim V^\perp$,
\item I vettori isotropi di una base ortogonale sono una base di $V^\perp$,
@ -1826,31 +1849,66 @@
un piano iperbolico ed esistono $\lambda_1$, $\lambda_2\in\RR$ tali per
cui $\lambda_1\v+\lambda_2\w$ è isotropo.
\subsection{Prodotto hermitiano}
Sia $V$ un $\CC$-spazio. Allora una mappa $\varphi : V \times V \to\CC$ si
dice prodotto hermitiano (e quindi si dice che $\varphi\in\PH(V)$, l'$\RR$-spazio dei
prodotti hermitiani\footnote{Infatti, se $\lambda\in\CC\setminus\RR$ e $\varphi\in\PH(V)$, $\lambda\varphi$\underline{non} è un prodotto hermitiano, mancando della proprietà del coniugio.}) se è una forma sesquilineare, ossia se è antilineare
nel primo argomento ed è lineare nel secondo\footnote{In realtà questa convenzione è spesso e volentieri implementata nelle ricerche di Fisica, mentre in Matematica si tende in realtà a mettere l'antilinearità nel secondo argomento. Il corso ha comunque implementato la prima delle due convenzioni, e così si è riportato in queste schede la convenzione scelta.}, e se il coniugio applicato a $\varphi$ ne inverte gli argomenti. In particolare $\varphi$ è un prodotto hermitiano se:
Un prodotto hermitiano $\varphi$ si comporta pressoché come un prodotto
scalare su $\RR$. Infatti tale prodotto soddisfa le seguenti proprietà:
\begin{itemize}
\item
\end{itemize}
\subsubsection{Funzionali rappresentabili}
Un funzionale $f \in\dual V$ si dice rappresentabile tramite $\varphi$ se
$f \in\Im\alpha_\varphi$, ossia se $\exists\v\in V \mid f =\varphi(\v, \cdot)$.
Dal momento che $\Im(\alpha_\varphi)=\Ann(V^\perp)$, $f$ è rappresentabile
Dal momento che $\Im(\alpha_\varphi)=\Ann(V^\perp)$ (l'inclusione verso destra è facile da dimostrare e l'uguaglianza è data dall'uguaglianza dimensione), $f$ è rappresentabile
se e solo se $V^\perp\subseteq\Ker f$.
Se $\varphi$ è non degenere, ogni funzionale $f$ è rappresentabile in modo unico (teorema
di rappresentazione di Riesz; infatti $\alpha_\varphi$ sarebbe in tal caso
un isomorfismo).
Se $\varphi$ è non degenere, ogni funzionale $f$ è rappresentabile in modo unico (\textit{teorema
di rappresentazione di Riesz}; infatti $\alpha_\varphi$ sarebbe in tal caso
un isomorfismo). In particolare, se $\varphi$ è un prodotto scalare, tale
vettore $\v$, data una base ortogonale $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n\}$, è
determinato nel seguente modo:
\[\v=\sum_{i=1}^n \frac{f(\vv i)}{\varphi(\vv i, \vv i)}\,\vv i. \]
In particolare, $f$ è rappresentabile se e solo se, scelta una base $\basis$ di
Se invece $\varphi$ è un prodotto hermitiano, tale vettore $\v$ si determina
nel seguente altro modo:
\[\v=\sum_{i=1}^n \conj{\left(\frac{f(\vv i)}{\varphi(\vv i, \vv i)}\right)}\,\vv i. \]
In generale, $f$ è rappresentabile se e solo se, scelta una base $\basis$ di
$V$, il sistema $M_\basis(\varphi)\x=[f]_{\dual\basis}$ è risolvibile.
Se $W$ è un supplementare di $V^\perp$, e dunque $V = W \oplus V^\perp$, allora
$\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, e dunque $\alpha_{\restr{\varphi}{W}}$ è
$\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, e dunque $\restr{\alpha_{\varphi}}{W} : W \to\Im\alpha_\varphi$ è
un isomorfismo da $W$ a $\Im\alpha_\varphi$ (quindi se $f$ è rappresentabile,
lo è tramite un unico vettore di $W$).
In particolare, se $\v$ rappresenta $f$, allora $\Ker f =\v^\perp$; da cui
segue che $\v\in(\Ker f)^\perp=\Span(\v)+ V^\perp$. Inoltre
$\dim(\Ker f)^\perp=\dim V -\dim\Ker f +\dim(\Ker f \cap V^\perp)
= \dim V - \dim\Ker f + \dim V^\perp$. Se $f$ non è l'applicazione nulla,
$\v\notin\CI(\varphi)$, e quindi $\dim(\Ker f)^\perp=\dim V^\perp+1$, da
cui segue che $\Ker f^\perp=\Span(\v)\oplus^\perp V^\perp$.
segue che $(\Ker f)^\perp=\v^\dperp=\Span(\v)+ V^\perp$. Se $f$ non è
l'applicazione nulla, $\vec v \notin V^\perp$, e quindi $\Span(\v)\cap V^\perp=\zerovecset\implies(\Ker f)^\perp=\Span(\v)\oplus^\perp V^\perp$. Quindi,
per computare un vettore $\vv0$ che rappresenti $f$ è sufficiente prendere
un supplementare $\Span(\U)$ di $V^\perp$ in $(\Ker f)^\perp$ (infatti l'aggiunta
di un vettore di $V^\perp$ non varierebbe l'immagine secondo $\alpha_\varphi$) e
computare $\lambda\in\KK\mid\vv0=\lambda\U$ nel seguente
\subsubsection{Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt}
@ -1896,13 +1954,13 @@
\begin{itemize}
\item$V^\perp$ è un sottospazio isotropo,
\item Se $W$ è isotropo, allora $\dim W \leq\frac{\dim V +\dim\Rad(\varphi)}{2}$,
\item Se $W$ è isotropo e $\varphi$ è non degenere, allora $\dim W \leq\frac{1}{2}\dim V$,
\item Se $W$ è isotropo, allora $\dim W \leq\lfloor\frac{\dim V +\dim\Rad(\varphi)}{2}\rfloor$,
\item Se $W$ è isotropo e $\varphi$ è non degenere, allora $\dim W \leq\lfloor\frac{1}{2}\dim V\rfloor$,
\item Se $\KK=\RR$, allora $W(\varphi)=\min\{ i_+, i_-\}+ i_0$ (è sufficiente considerare
una base di Sylvester e creare una nuova base i cui i vettori sono o isotropi o della forma $\vv i -\ww i$, dove $q(\vv i)=1$ e $q(\ww i)=1$, concludendo con discussioni dimensionali),
\item Se $\KK=\CC$, allora $W(\varphi)=\lfloor\frac{\dim V +\dim V^\perp}{2}\rfloor$,
\item Se $\varphi$ è definito, allora $W(\varphi)=0$,
\item Se $\varphi$ è semidefinito, allora $W(\varphi)= i_0$ (e $W = V^\perp$ è un sottospazio
una base di Sylvester e costruire un nuovo insieme linearmente indipendente $\basis_W$ i cui i vettori sono o isotropi o della forma $\vv i -\ww i$, dove $q(\vv i)=1$ e $q(\ww i)=1$, mostrando che $W =\Span(\basis_W)$ è isotropo, concludendo con discussioni dimensionali),
\item Se $\KK=\CC$, allora $W(\varphi)=\lfloor\frac{\dim V +\dim V^\perp}{2}\rfloor$ (è sufficiente considerare una base di Sylvester per $\varphi$, costruire un nuovo insieme linearmente indipendente $\basis_W$ prendendo quante più coppie $(\vv i, \vv j)$ possibili di vettori della base non isotropi poi associate al vettore $\vv i + i \vv j$, mostrando infine che $W =\Span(\basis_W)$ è isotropo e che è sicuramente massimale perché realizza la dimensione massima possibile secondo le precedenti proposizioni),
\item Se $\KK=\RR$ e $\varphi$ è definito, allora $W(\varphi)=0$,
\item Se $\KK=\RR$ e $\varphi$ è semidefinito, allora $W(\varphi)= i_0$ (e $W = V^\perp$ è un sottospazio
