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gtd(scheda): (quasi-)completa la sezione sulle geodetiche

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g.videtta
2025-12-03 12:55:38 +01:00
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf
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Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex
+1 -1
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@@ -105,7 +105,7 @@
\newcommand{\der}[2]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #1}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} #2}}
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\dertime}[1]{\frac{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d} t} \bigg|_{#1}}
\newcommand{\dertime}[2]{\left. \der{}{t} #1 \right|_{#2}}
\newcommand*\dif{\mathop{}\!\textnormal{\slshape d}}
Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex
+100 -9
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@@ -64,7 +64,7 @@
Pertanto:
\[
\begin{aligned}
(f \circ \alpha)'(0) & = \dertime{t=0} (f \circ x)(u(t), v(t)) \\[1em]
(f \circ \alpha)'(0) & = \dertime{(f \circ x)(u(t), v(t))}{t=0} \\[1em]
& = (f \circ x)_u u'(0) + (f \circ x)_v v'(0).
\end{aligned}
\]
@@ -616,7 +616,7 @@
Un piano e la sfera \underline{non} sono localmente isometrici.
\end{corollary}
\section{Trasporto parallelo e geodetiche}
\section{Trasporto parallelo e campi vettoriali}
\subsection{Campi vettoriali e derivata covariante}
@@ -729,7 +729,9 @@
$\varphi < 0$ su tutto $[0, 1]$, da cui la tesi.
\end{proof}
\subsection{Geodetiche}
\section{Geodetiche}
\subsection{Relazione tra geodetiche e trasporto parallelo}
\begin{definition}
Una curva $\alpha$ su una superficie $\Sigma$ si dice
@@ -752,6 +754,19 @@
\end{equation*}
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $\alpha$ una geodetica su $\Sigma$. Allora
$\norm{\alpha'}$ è costante.
\end{proposition}
\begin{proof}
Derivando $\alpha' \cdot \alpha'$ si ottiene
$2 (\alpha'' \cdot \alpha')$, che però è nullo dal momento
che $\alpha'' \perp T_{\alpha} \Sigma$, da cui la tesi.
\end{proof}
\subsection{Mappa esponenziale, coordinate normali e intorno normale}
\begin{proposition}
Sia $\Sigma$ una superficie e $q$ un suo punto. Allora per ogni $v \in T_q \Sigma$ esiste $\eps > 0$ e
un'unica geodetica $\gamma_v : (-\eps, \eps) \to \Sigma$ tale per cui $\gamma_v(0) = q$ e
@@ -776,27 +791,27 @@
$\gamma_v : [0, 1] \to \Sigma$. \smallskip
Dal Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali è ben definita e liscia allora l'applicazione
$v \mapsto \gamma_v(1)$, dove $v \in U_q$.
$v \mapsto \gamma_v(1)$, dove $\norm{v} < \eps_{\textnormal{min}}$.
\end{remark}
\begin{definition}[Mappa esponenziale]
Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$ e sia $\vec{x}$ una sua parametrizzazione.
Sia:
\[
U_q = \{ v \in T_P \Sigma \mid \norm{v} < \eps_{\textnormal{min}} \},
\boxed{U_P = \{ v \in T_P \Sigma \mid \norm{v} < \eps_{\textnormal{min}} \},}
\]
dove $\eps_{\textnormal{min}}$ è definito secondo l'Osservazione \ref{rmk:geodetiche}. \smallskip
Si definisce allora la \textbf{mappa esponenziale} $\exp_P : U_q \to \vec{x}(U_q)$ come l'applicazione
Si definisce allora la \textbf{mappa esponenziale} $\exp_P : U_P \to \vec{x}(U_P)$ come l'applicazione
con la seguente proprietà:
\[
\exp_P(v) = \gamma_v(1).
\boxed{\exp_P(v) = \gamma_v(1).}
\]
\end{definition}
\begin{definition}[Intorno normale]
Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$ e sia $\vec{x}$ una sua parametrizzazione.
Si dice che l'immagine $\exp_P(U_q)$ è un \textbf{intorno normale} di $P$.
Si dice che l'immagine $N_P \defeq \exp_P(U_P)$ è un \textbf{intorno normale} di $P$.
\end{definition}
\begin{remark}
@@ -805,6 +820,82 @@
\[
\vec{y}(u, v) = \exp_P(u \vec{e_1} + v \vec{e_2}),
\]
dove $\{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}$ è una base ortonormale di $T_P \Sigma$.
dove $\{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}$ è una base ortonormale di $T_P \Sigma$. \smallskip
Questa mappa, detta indotta dalle \textbf{coordinate normali}, soddisfa alcune
importanti proprietà:
\begin{itemize}
\item $\vec{y}(0, 0) = P$,
\item $\vec{y}_u(0, 0) = \dertime{\exp_P(t \vec{e_1})}{t=0} =
\dertime{\gamma_{t \vec{e_1}}(1)}{t=0} =
\dertime{\gamma_{\vec{e_1}} (u)}{t=0} = \vec{e_1}$,
\item $\vec{y}_v(0, 0) = \cdots = \vec{e_2}$.
\end{itemize}
\end{remark}
\subsection{Lemma di Gauss e minimizzazione locale delle distante}
\begin{lemma}[Gauss, le geodetiche sono ortogonali ai cerchi indotti dalla mappa esponenziale] \label{lem:gauss}
Sia $\{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}$ una base ortonormale di $T_P \Sigma$.
Sia $\eps$ lo stesso valore che definisce $U_P$.
Sia
$v_k : [0, 2\pi] \to U_P$ la curva definita come:
\[
v_k(t) = k(\cos(t) \vec{e_1} + \sin(t) \vec{e_2}), \quad k < \eps.
\]
Allora ogni geodetica
$\gamma_w$ è ortogonale a $\exp_P \circ \, v_k$ per $k < \eps$ e $w \in U_P$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sia $\vec{x} : [0, 1] \cdot \RR \to \Sigma$ definita come:
\[ \vec{x}(u, t) = \exp_P(u \cdot v_k(t)) = \gamma_{v_k(t)}(u). \]
Dimostriamo la tesi mostrando che $\vec{x}_u$ (che parametrizza le geodetiche) e $\vec{x}_t$ (che parametrizza
i cerchi) sono ortogonali. \smallskip
Osserviamo che:
\[ (\vec{x}_u \cdot \vec{x}_t)_u = \vec{x}_{uu} \cdot \vec{x}_t + \vec{x}_u \cdot \vec{x}_{tu}. \]
Inoltre $\vec{x}_{uu}(u, t_0) = (\gamma_{v_k(t_0)}(u))''$ è normale a $T_P \Sigma$ dacché
$\gamma_{v_k(t_0)}$ è una geodetica, e quindi $\vec{x}_{uu} \cdot \vec{x}_t = 0$. \smallskip
Ancora $\vec{x}_u \cdot \vec{x}_u = \norm{v_k(t)}^2 = k^2$ è costante, e quindi, derivando
$\vec{x}_u \cdot \vec{x}_u$ per $t$, si ottiene anche $\vec{x}_u \cdot \vec{x}_{ut} = 0$. \smallskip
Pertanto $\vec{x}_u \cdot \vec{x}_t$ è costante lungo $u$. È sufficiente allora mostrare la tesi per
$u = 0$:
\[
\vec{x}(0, t) = P \implies \vec{x}_t(0, t) = 0,
\]
e quindi $\vec{x}_u \cdot \vec{x}_t = 0$ lungo $u = 0$.
\end{proof}
\begin{corollary}[Le geodetiche minimizzano localmente le distanze]
Sia $P' = \gamma_v(1)$ con $v \in U_P$ un punto distinto da $P$. Se $\alpha : [0, 1] \to N_P$
è una curva liscia con $\alpha(0) = P$ e $\alpha(1) = P'$, allora:
\[
\boxed{\ell(\alpha) \geq \ell(\gamma_{v}).}
\]
\end{corollary}
\begin{proof}
Parametrizziamo $N_P$ usando $\vec{x}$ come definita nella dimostrazione del
Lemma di Gauss (\ref{lem:gauss}) per un $k = \norm{v}$. \smallskip
Per la Proposizione \ref{prop:coordinate_curva_parametrizzazione},
$\alpha$ si scrive come:
\[
\alpha(t) = \vec{x}(u(t), \tau(t)),
\]
con $u$ e $\tau$ lisce. Allora, derivando $\alpha$ e applicando il Lemma di Gauss
(\ref{lem:gauss}) si ottiene:
\[
\norm{\alpha'}^2 \geq (u')^2 \norm{v}^2.
\]
Allora:
\[
\ell(\alpha) = \int_0^1 \norm{\alpha'} \dt \geq \norm{v} (u(1) - u(0)) = \norm{v} = \ell(\gamma_v),
\]
dove si è usato che $u(0) = 0$ ($P$ nelle coordinate normali corrisponde a $(0, 0)$) e che
$u(1) = 1$ ($P'$ ha già raggio $k$).
\end{proof}
\end{multicols*}