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gtd(scheda): varietà bordate a partire da valori regolari
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Binary file not shown.
@@ -31,6 +31,7 @@
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%\usetikzlibrary{intersections}
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\DeclareMathOperator{\Int}{int}
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\renewcommand{\vec}[1]{{\underline{#1}}}
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+123
-120
@@ -4,136 +4,139 @@
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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||||
Cercheremo di impiegare caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
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curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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Cercheremo di impiegare caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
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curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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\section*{Algebra lineare}
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\addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
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\section*{Algebra lineare}
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\addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
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\begin{itemize}
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\item $\rk$ -- rango di un'applicazione lineare o di una matrice.
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\item $M(n)$ -- matrici $n \times n$ a elementi reali.
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\item $S(n)$ -- matrici simmetriche $n \times n$ a elementi reali.
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\end{itemize}
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\begin{itemize}
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\item $\rk$ -- rango di un'applicazione lineare o di una matrice.
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\item $M(n)$ -- matrici $n \times n$ a elementi reali.
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\item $S(n)$ -- matrici simmetriche $n \times n$ a elementi reali.
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\end{itemize}
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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||||
\item $\{f \operatorname{op} a\}$ -- data una funzione $f : X \to \RR$ a valori reali, $\{f \operatorname{op} a\}$ denota
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||||
l'insieme $\{ x \in X \mid f(x) \operatorname{op} a\}$, dove $a \in \RR$.
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||||
\item $f \times g$ -- date due funzioni $f : A \to C$, $g : B \to D$, la funzione $f \times g : (A \times B) \to (C \times D)$ è
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||||
definita in modo tale che $(f \times g)(a, b) = (f(a), g(b))$.
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||||
\item $\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
|
||||
\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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||||
\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
|
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
|
||||
\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
|
||||
di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
|
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derivate successive.
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||||
\item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
|
||||
$((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
|
||||
\item $\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
|
||||
\item $J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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||||
$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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||||
\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
|
||||
la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
|
||||
con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
|
||||
\item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
|
||||
\item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
|
||||
\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
|
||||
\end{itemize}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\{f \operatorname{op} a\}$ -- data una funzione $f : X \to \RR$ a valori reali, $\{f \operatorname{op} a\}$ denota
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||||
l'insieme $\{ x \in X \mid f(x) \operatorname{op} a\}$, dove $a \in \RR$.
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||||
\item $f \times g$ -- date due funzioni $f : A \to C$, $g : B \to D$, la funzione $f \times g : (A \times B) \to (C \times D)$ è
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definita in modo tale che $(f \times g)(a, b) = (f(a), g(b))$.
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||||
\item $\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
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\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
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\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
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di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
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derivate successive.
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\item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
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$((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
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\item $\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
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\item $J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
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la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
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con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
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\item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
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\item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
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\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
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\end{itemize}
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\section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
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\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
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\section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
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\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
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\begin{itemize}
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||||
\item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
|
||||
\item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - P} = a\}$.
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||||
\item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
|
||||
\item $\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$.
|
||||
\item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria.
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||||
\item $\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto.
|
||||
\item $\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto.
|
||||
\item $T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto.
|
||||
\item $N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto.
|
||||
\item $B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto.
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||||
\item $\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto.
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||||
\item $R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto.
|
||||
\item $T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$.
|
||||
\item $\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare.
|
||||
\item $D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie.
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||||
\item $S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie.
|
||||
\item $\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
|
||||
\item $\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
|
||||
\item $E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P = \begin{pmatrix}
|
||||
E & F \\ F & G
|
||||
\end{pmatrix}$.
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||||
\item $\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P = \begin{pmatrix}
|
||||
\ell & m \\ m & n
|
||||
\end{pmatrix}$.
|
||||
\item $a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P = \begin{pmatrix}
|
||||
a & c \\ b & d
|
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\end{pmatrix}$.
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||||
\item $\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario.
|
||||
\item $\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie.
|
||||
\item $\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto.
|
||||
\item $\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto.
|
||||
\item $H$ -- curvatura media di una superficie in un punto.
|
||||
\item $\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$.
|
||||
\item $\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$.
|
||||
\item $(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$.
|
||||
\item $\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$.
|
||||
\item $U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$.
|
||||
\item $\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$.
|
||||
\item $v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t) \vec{e_1} + \sin(t) \vec{e_2})$.
|
||||
\item $N_P$ -- intorno normale di un punto $P$.
|
||||
\item $\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$.
|
||||
\item $r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione.
|
||||
\item $k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$.
|
||||
\item $A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$.
|
||||
\item $\int_R \varphi \dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)} (\varphi \circ \vec{x}) \, \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv$.
|
||||
\item $\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
|
||||
\item $\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
|
||||
\item $\partial \Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza.
|
||||
\item $\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
|
||||
\item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - P} = a\}$.
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||||
\item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
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||||
\item $\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$.
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\item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria.
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\item $\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto.
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\item $\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto.
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\item $T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto.
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\item $N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto.
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\item $B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto.
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\item $\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto.
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\item $R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto.
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||||
\item $T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$.
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||||
\item $\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare.
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||||
\item $D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie.
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\item $S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie.
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\item $\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
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\item $\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
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||||
\item $E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P = \begin{pmatrix}
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E & F \\ F & G
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\end{pmatrix}$.
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\item $\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P = \begin{pmatrix}
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\ell & m \\ m & n
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\end{pmatrix}$.
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\item $a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P = \begin{pmatrix}
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a & c \\ b & d
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\end{pmatrix}$.
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\item $\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario.
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\item $\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie.
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\item $\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto.
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\item $\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto.
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\item $H$ -- curvatura media di una superficie in un punto.
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\item $\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$.
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\item $\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$.
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\item $(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$.
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\item $\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$.
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\item $U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$.
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\item $\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$.
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\item $v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t) \vec{e_1} + \sin(t) \vec{e_2})$.
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||||
\item $N_P$ -- intorno normale di un punto $P$.
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||||
\item $\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$.
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||||
\item $r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione.
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\item $k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$.
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\item $A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$.
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||||
\item $\int_R \varphi \dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)} (\varphi \circ \vec{x}) \, \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv$.
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||||
\item $\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
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||||
\item $\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
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||||
\item $\partial \Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza.
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||||
\item $\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo.
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\end{itemize}
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\section*{Teoria della misura}
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\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
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\section*{Teoria della misura}
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\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
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\begin{itemize}
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||||
\item $\vol$ -- applicazione per calcolare il volume di un rettangolo in $\RR^n$; tale per cui
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||||
$\vol([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n]) = \prod_i {(b_i - a_i)}$.
|
||||
\item $m$ -- misura di Lebesgue su $\RR^n$.
|
||||
\end{itemize}
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\begin{itemize}
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||||
\item $\vol$ -- applicazione per calcolare il volume di un rettangolo in $\RR^n$; tale per cui
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||||
$\vol([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n]) = \prod_i {(b_i - a_i)}$.
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||||
\item $m$ -- misura di Lebesgue su $\RR^n$.
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\end{itemize}
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||||
\section*{Teoria delle varietà}
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||||
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria delle varietà}
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||||
\section*{Teoria delle varietà}
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||||
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria delle varietà}
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||||
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\begin{itemize}
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||||
\item $\dim M$ -- dimensione di una varietà $M$.
|
||||
\item $(f, W \cap M)$ -- carta locale di una varietà $M$; si sottintende che $W$ sia un aperto dello spazio ambiente in cui è contenuto $M$ e
|
||||
che $f$ sia un diffeomorfismo con dominio $W \cap M$ verso un aperto di $\RR^{\dim M}$.
|
||||
\item $T_x M$ -- spazio tangente di un punto $x$ di una varietà $M$.
|
||||
\item $\dif f_x$ -- differenziale di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà nel punto $x$.
|
||||
\item $\crit(f)$ -- insieme dei punti critici di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà.
|
||||
\item $S^n$ -- sfera $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n+1} \mid \norm{\vec{x}} = 1\}$.
|
||||
\item $D^n$ -- disco $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n} \mid \norm{\vec{x}} \leq 1\}$.
|
||||
\item $H^n$ -- semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$.
|
||||
\item $\partial H^n$ -- bordo del semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$, ovverosia $\{ x \in \RR^n \mid x_m = 0 \} \cong \RR^{n-1}$.
|
||||
\item $\partial M$ -- bordo di una varietà bordata $M$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\dim M$ -- dimensione di una varietà $M$.
|
||||
\item $(f, W \cap M)$ -- carta locale di una varietà $M$; si sottintende che $W$ sia un aperto dello spazio ambiente in cui è contenuto $M$ e
|
||||
che $f$ sia un diffeomorfismo con dominio $W \cap M$ verso un aperto di $\RR^{\dim M}$.
|
||||
\item $T_x M$ -- spazio tangente di un punto $x$ di una varietà $M$.
|
||||
\item $\dif f_x$ -- differenziale di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà nel punto $x$.
|
||||
\item $\crit(f)$ -- insieme dei punti critici di una mappa liscia $f : M \to N$ tra varietà.
|
||||
\item $S^n$ -- sfera $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n+1} \mid \norm{\vec{x}} = 1\}$.
|
||||
\item $D^n$ -- disco $n$-dimensionale reale, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{n} \mid \norm{\vec{x}} \leq 1\}$.
|
||||
\item $H^n$ -- semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$.
|
||||
\item $\partial H^n$ -- bordo del semispazio $\{ x \in \RR^n \mid x_m \geq 0 \}$, ovverosia $\{ x \in \RR^n \mid x_m = 0 \} \cong \RR^{n-1}$.
|
||||
\item $\partial M$ -- bordo di una varietà bordata $M$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section*{Topologia}
|
||||
\addcontentsline{toc}{section}{Topologia}
|
||||
\section*{Topologia}
|
||||
\addcontentsline{toc}{section}{Topologia}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
|
||||
\item T1 -- spazio topologico i cui singoletti sono insiemi chiusi.
|
||||
\item T2 -- spazio topologico per cui due punti distinti ammettono l'esistenza di una coppia di intorni disgiunti.
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\end{itemize}
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\begin{itemize}
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\item II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile.
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\item T1 -- spazio topologico i cui singoletti sono insiemi chiusi.
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\item T2 -- spazio topologico per cui due punti distinti ammettono l'esistenza di una coppia di intorni disgiunti.
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\item $\overline{X}$ -- chiusura di un insieme.
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\item $\Int(X)$ -- parte interna di un insieme.
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\item $\partial X$ -- frontiera di un insieme, ovverosia $\overline{X} \setminus \Int(X)$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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+21
-7
@@ -4,9 +4,17 @@
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section*{Algebra lineare}
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\addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
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\section*{Analisi matematica e teoria della misura}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica e teoria della misura}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Caratterizzazione del rango di una matrice} -- Sia $M \in \RR^{m \times n}$ una matrice. Allora $\rk(M) = k$ se e solo se
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i minori di taglia superiore a $k$ in $M$ hanno tutti determinante nullo ed esiste un minore di
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taglia $k$ con determinante \underline{non} nullo.
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\end{itemize}
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
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@@ -72,6 +80,17 @@
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\]
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è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.
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\item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
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liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
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\item \textbf{Teorema di approssimazione di Weierstrass} -- Sia $K \subseteq \RR^n$ un compatto, e sia $f : K \to \RR$ una mappa
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continua. Allora per ogni $\eps > 0$ esiste una funzione polinomiale $P : K \to \RR$ tale per cui $\norm{f-P}_\infty < \eps$.
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\end{itemize}
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\section*{Teoria della misura}
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\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
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$A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
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di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
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@@ -80,11 +99,6 @@
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\item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
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||||
è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.
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\item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
|
||||
liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.
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||||
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||||
\item \textbf{Teorema di approssimazione di Weierstrass} -- Sia $K \subseteq \RR^n$ un compatto, e sia $f : K \to \RR$ una mappa
|
||||
continua. Allora per ogni $\eps > 0$ esiste una funzione polinomiale $P : K \to \RR$ tale per cui $\norm{f-P}_\infty < \eps$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{multicols*}
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+81
-7
@@ -337,6 +337,27 @@
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$f$ è esattamente $f(\crit(f))$.
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\end{remark}
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\begin{remark}[I punti regolari formano un aperto] \label{rmk:punti_regolari_formano_aperto}
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Se $x$ è un punto regolare di una mappa liscia
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$f : M \to N$, esiste sempre un intorno aperto $U$
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di $x$ in $M$ composto di soli punti regolari. \smallskip
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Scelta una parametrizzazione locale $g : U \to g(U)$ di un intorno aperto di $x$,
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||||
si può scegliere infatti una base ``comune'' per ogni $T_y M$ al
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variare di $y$ in $g(U)$, e così si può rappresentare
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$\dif f_y$ matricialmente. \smallskip
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||||
Poiché $x$ è regolare, $\dif f_x$ è surgettiva. Allora
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$\dif f_x$ ammette un minore di taglia massima di
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determinante \underline{non} nullo. Il determinante di questo minore,
|
||||
al variare di $y \in g(U)$, varia continuamente; in particolare, per
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||||
il Teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x$
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||||
in cui continua a essere \underline{non} nullo. \smallskip
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||||
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Equivalentemente esiste un intorno aperto di $x$ in cui tutti i punti
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sono regolari.
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\end{remark}
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\subsection{Teorema di invertibilità locale per varietà e lemma della pila di dischi}
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\begin{theorem}[di invertibilità locale per varietà] \label{thm:invertibilità_locale_varietà}
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@@ -537,7 +558,7 @@
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per cui $f \circ \iota$ è costante. Tuttavia una mappa costante
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ha differenziale nullo, e dunque:
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\[
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||||
\dif f_x \circ \underbrace{\iota_{T_x P}}_{= \dif \iota^P_x} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
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||||
\dif f_x \circ \underbrace{\iota_{T_x P}}_{\mathclap{= \, \dif \iota^P_x}} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
|
||||
\]
|
||||
Poiché $\dim T_x P = m - n = \ker(\dif f_x)$, si ottiene
|
||||
l'uguaglianza $T_x P = \ker(\dif f_x)$. \smallskip
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@@ -751,7 +772,7 @@
|
||||
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||||
\subsection{Varietà con bordo da valori regolari}
|
||||
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\begin{theorem} \label{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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||||
\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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||||
Sia $f : M \to \RR$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà senza bordo. Se
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||||
$0$ è un valore regolare per $f$, allora $\{ f \geq 0 \}$ è una
|
||||
$m$-varietà con bordo $f\inv(0)$.
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@@ -781,7 +802,7 @@
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{remark}
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||||
Chiaramente il Lemma \ref{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R} si generalizza
|
||||
Chiaramente il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R} si generalizza
|
||||
a qualsiasi insieme della forma $\{ f \operatorname{op} a \}$ con $\operatorname{op} \in \{\leq, \geq\}$
|
||||
e $a$ valore regolare di $f$.
|
||||
\end{remark}
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||||
@@ -797,21 +818,74 @@
|
||||
\]
|
||||
Allora, come visto per il Corollario \ref{cor:sn_è_varietà},
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||||
$1$ è valore regolare di $f$, e quindi $D^n = \{ f \leq 1 \}$ è
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||||
una $n$-varietà con bordo $S^{n-1}$.
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||||
una $n$-varietà con bordo $S^{n-1}$ per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}.
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{lemma} \label{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_caso_particolare}
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||||
Sia $f : H^m \to \RR^n$ con $m > n$ una mappa liscia. Se $y \in \RR^n$ è un valore regolare
|
||||
Sia $f : H^m \to \RR^n$ con $m > n$ una mappa liscia. \smallskip
|
||||
|
||||
Se $y \in \RR^n$ è un valore regolare
|
||||
sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial H^m}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$, allora $f\inv(y)$ è una $(m-n)$-varietà con bordo
|
||||
$\partial f\inv(y) = f\inv(y) \cap \partial H^m$.
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||||
\end{lemma}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
...
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||||
Sia $x \in f\inv(y)$. Supponiamo valga $x \in \Int(H^m) = H^m \setminus \partial H^m$. Possiamo
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||||
restringerci a un intorno aperto $U$ di $x$ in $\RR^m$, per il quale $\restr{f}{U}$ diventa una mappa tra
|
||||
varietà senza bordo. Allora $\restr{f}{U}\inv(y)$ è una $(m-n)$ varietà senza bordo per il
|
||||
Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$;
|
||||
inoltre $x$ \underline{non} potrà appartenere al bordo di $f\inv(y)$, essendo nell'immagine di una parametrizzazione
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||||
di un aperto di $\RR^{m-n}$. \smallskip
|
||||
|
||||
Supponiamo valga adesso $x \in \partial H^m$. Poiché $f$ è liscia, esistono un intorno aperto $W$
|
||||
di $x$ in $\RR^m$ e un'estensione liscia $F : W \to \RR^n$ per cui:
|
||||
\[
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||||
\restr{F}{W \cap H^m} = \restr{f}{W \cap H^m}.
|
||||
\]
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||||
Dal momento che $\dif F_x = \dif f_x$, e $x$ è un punto regolare per $f$, allora $\dif F_x$ è surgettiva,
|
||||
e $x$ è punto regolare anche per $F$. Dal momento che i punti regolari formano un aperto (vd. Osservazione
|
||||
\ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto}), possiamo supporre, a meno di restringere $W$, che \underline{non}
|
||||
vi siano punti critici in $W$. Pertanto, $y$ sarà valore regolare per $F$ e $F\inv(y)$ è dunque una $(m-n)$-varietà
|
||||
senza bordo per il Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. \smallskip
|
||||
|
||||
Sia $\pi : \RR^m \to \RR$ la proiezione tale per cui $x \mapsto x_m$. Allora $\pi$ è una mappa liscia. \smallskip
|
||||
|
||||
Mostriamo che $0$ è un valore regolare per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$. Osserviamo innanzitutto che:
|
||||
\[
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||||
(\restr{\pi}{F\inv(y)})\inv(0) = F\inv(y) \cap \partial H^m \underbrace{=}_{\mathclap{(W \setminus H^m) \cap \partial H^m = \emptyset}} f\inv(y) \cap \partial H^m.
|
||||
\]
|
||||
Sia $y^* \in f\inv(y) \cap \partial H^m$. Osserviamo che:
|
||||
\begin{enumerate}[(i.)]
|
||||
\item $T_{y^*} F\inv(y) = \ker \dif F_{y^*} = \ker \dif f_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}, e questo spazio
|
||||
ha dimensione $m-n$.
|
||||
\item $T_{y^*} \partial H^m = \ker \dif \pi_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}.
|
||||
\item $\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = \ker \restr{\dif f_{y^*}}{T_{y^*} \partial H^m}$ ha dimensione
|
||||
$m-n-1$ dal momento che $y$ è per ipotesi un valore regolare di $\restr{f}{\partial H^m}$, dove per l'uguaglianza
|
||||
dei due nuclei si è utilizzato che:
|
||||
\[
|
||||
\restr{f}{\partial H^m} = f \circ \iota^{\partial H^m},
|
||||
\]
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||||
e successivamente la \textit{chain rule}.
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||||
\item Grazie a (i.), (ii.) e (iii.), possiamo scrivere:
|
||||
\[
|
||||
\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y) \cap (\ker \dif \pi_{y^*}).
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Osserviamo che $y^*$ è un punto critico per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$ se e solo se $\dif (\restr{\pi}{F\inv(y)})_{y^*}$ è nullo,
|
||||
dacché $\pi$ è una mappa in una $1$-varietà.
|
||||
Questo accade se e solo se $T_{y^*} F\inv(y) \subseteq \ker \dif \pi_{y^*}$. Tuttavia, se vi fosse questa inclusione, si avrebbe per (iv.)
|
||||
$\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y)$, che è assurdo dal momento che il primo spazio ha dimensione $m-n-1$ per (iii.)
|
||||
e il secondo ha dimensione $m-n$ per (i.). Quindi $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$. \smallskip
|
||||
|
||||
Dal momento che $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$, per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
|
||||
$\{\pi \geq 0\} = f\inv(y) \cap H^m$ è una $(m-n)$-varietà con bordo $\{\pi = 0\} = f\inv(y) \cap \partial H^m \ni x$.
|
||||
Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$; inoltre $x$ appartiene al bordo di $f\inv(y)$,
|
||||
essendo immagine di un punto di bordo tramite una parametrizzazione locale.
|
||||
\end{proof}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}
|
||||
Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà,
|
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà con bordo $\partial M$ \underline{non} vuoto,
|
||||
$N$ è una $n$-varietà senza bordo e $m > n$. \smallskip
|
||||
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||||
Se $y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial M}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$,
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