\item$\{f \operatorname{op} a\}$ -- data una funzione $f : X \to\RR$ a valori reali, $\{f \operatorname{op} a\}$ denota
l'insieme $\{ x \in X \mid f(x)\operatorname{op} a\}$, dove $a \in\RR$.
\item$f \times g$ -- date due funzioni $f : A \to C$, $g : B \to D$, la funzione $f \times g : (A \times B)\to(C \times D)$ è
definita in modo tale che $(f \times g)(a, b)=(f(a), g(b))$.
\item$\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
\item$f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to\RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
$\pi_i \circ f : \RR^n \to\RR$.
\item$\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq\RR\to\RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
\item$\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
di una funzione $f : \RR^n \to\RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
derivate successive.
\item$\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
$((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
\item$\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to\RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
\item$J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to\RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
\item$J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m}\times\RR^{n}\to\RR^{n}$,
la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
con $J (\pi_{\RR^n}\circ f)(\vec{p})$.
\item$C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n =0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
\item$C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item$\{f \operatorname{op} a\}$ -- data una funzione $f : X \to\RR$ a valori reali, $\{f \operatorname{op} a\}$ denota
l'insieme $\{ x \in X \mid f(x)\operatorname{op} a\}$, dove $a \in\RR$.
\item$f \times g$ -- date due funzioni $f : A \to C$, $g : B \to D$, la funzione $f \times g : (A \times B)\to(C \times D)$ è
definita in modo tale che $(f \times g)(a, b)=(f(a), g(b))$.
\item$\restr{f}{A}$ -- restrizione di una funzione $f$ al sottinsieme $A$ del dominio.
\item$f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to\RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
$\pi_i \circ f : \RR^n \to\RR$.
\item$\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$, $\dot{f}$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq\RR\to\RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
\item$\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
di una funzione $f : \RR^n \to\RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
derivate successive.
\item$\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia
$((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$.
\item$\nabla f(\vec{x})$, $\nabla f_{\vec{x}}$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to\RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
\item$J f(\vec{x})$, $J f_\vec{x}$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to\RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
\item$J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m}\times\RR^{n}\to\RR^{n}$,
la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
con $J (\pi_{\RR^n}\circ f)(\vec{p})$.
\item$C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n =0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
\item$C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
\end{itemize}
\section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\section*{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale delle curve e delle superfici}
\begin{itemize}
\item$B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
\item$S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x}\in\RR^{i+1}\mid\norm{\vec{x}- P}= a\}$.
\item$\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
\item$\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$.
\item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria.
\item$\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto.
\item$\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto.
\item$T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto.
\item$N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto.
\item$B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto.
\item$\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto.
\item$R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto.
\item$T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$.
\item$\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare.
\item$D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie.
\item$S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie.
\item$\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
\item$\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
\item$E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P =\begin{pmatrix}
E & F \\ F & G
\end{pmatrix}$.
\item$\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P =\begin{pmatrix}
\ell& m \\ m & n
\end{pmatrix}$.
\item$a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P =\begin{pmatrix}
a & c \\ b & d
\end{pmatrix}$.
\item$\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario.
\item$\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie.
\item$\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto.
\item$\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto.
\item$H$ -- curvatura media di una superficie in un punto.
\item$\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$.
\item$\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$.
\item$(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$.
\item$\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$.
\item$U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$.
\item$\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$.
\item$v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t)\vec{e_1}+\sin(t)\vec{e_2})$.
\item$N_P$ -- intorno normale di un punto $P$.
\item$\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$.
\item$r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione.
\item$k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$.
\item$A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$.
\item$\int_R \varphi\dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)}(\varphi\circ\vec{x})\,\norm{\vec{x_u}\times\vec{x_v}}\du\dv$.
\item$\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
\item$\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
\item$\partial\Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza.
\item$\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item$B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto.
\item$S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x}\in\RR^{i+1}\mid\norm{\vec{x}- P}= a\}$.
\item$\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$.
\item$\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$.
\item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria.
\item$\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto.
\item$\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto.
\item$T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto.
\item$N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto.
\item$B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto.
\item$\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto.
\item$R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto.
\item$T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$.
\item$\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare.
\item$D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie.
\item$S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie.
\item$\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
\item$\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie.
\item$E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P =\begin{pmatrix}
E & F \\ F & G
\end{pmatrix}$.
\item$\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P =\begin{pmatrix}
\ell& m \\ m & n
\end{pmatrix}$.
\item$a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P =\begin{pmatrix}
a & c \\ b & d
\end{pmatrix}$.
\item$\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario.
\item$\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie.
\item$\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto.
\item$\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto.
\item$H$ -- curvatura media di una superficie in un punto.
\item$\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$.
\item$\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$.
\item$(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$.
\item$\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$.
\item$U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$.
\item$\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$.
\item$v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t)\vec{e_1}+\sin(t)\vec{e_2})$.
\item$N_P$ -- intorno normale di un punto $P$.
\item$\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$.
\item$r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione.
\item$k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$.
\item$A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$.
\item$\int_R \varphi\dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)}(\varphi\circ\vec{x})\,\norm{\vec{x_u}\times\vec{x_v}}\du\dv$.
\item$\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
\item$\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo.
\item$\partial\Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza.
\item$\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo.
\end{itemize}
\section*{Teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
\section*{Teoria della misura}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
\begin{itemize}
\item$\vol$ -- applicazione per calcolare il volume di un rettangolo in $\RR^n$; tale per cui
