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$ [ K ( \gamma ) : K ] = n = [ K ( \alpha , \beta ) : K ] $ ,
da cui $ K ( \alpha , \beta ) = K ( \gamma ) $ , ossia la tesi.
\end { itemize}
\end { proof} \medskip
Si illustrano adesso i prerequisiti per dimostrare
il Teorema di corrispondenza di Galois:
\begin { definition}
Sia $ \faktor { L } { K } $ un'estensione di Galois. Allora,
se $ H \leq \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ , si definisce
$ L ^ H = \Fix ( H ) $ come la sottoestensione di $ L $ su
$ K $ degli elementi fissati da ogni $ \varphi \in H $ ,
ossia:
\[ L ^ H = \{ \alpha \in L \mid \varphi ( \alpha ) = \alpha \, \forall \varphi \in H \} . \]
\end { definition}
\begin { nlemma}
Sia $ \faktor { L } { K } $ un'estensione di Galois. Allora,
se $ H \leq \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ vale che:
\[ L ^ H = K \iff H = \Gal ( \faktor { L } { K } ) . \]
\end { nlemma}
\begin { proof}
Sia $ H = \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . Allora sicuramente
$ K \subseteq L ^ H $ . Si mostra che non può valere
$ K \subsetneq L ^ H $ . Se infatti $ K \subsetneq L ^ H $ ,
varrebbe che $ [ L ^ H : K ] > 1 $ , e quindi esisterebbe
una $ K $ -immersione non banale di $ L ^ H $ , detta
$ \varphi : L ^ H \to \overline { K } $ . In particolare
$ \varphi $ può estendersi a una $ K $ -immersione di
$ L $ , detta $ \tilde { \varphi } $ . In particolare
$ \tilde { \varphi } \in \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ , e
quindi $ \tilde { \varphi } $ deve fissare $ L ^ H $ per
ipotesi. Tuttavia $ \tilde { \varphi } $ ristretta
a $ L ^ H $ non fissa $ L ^ H $ per ipotesi, \Lightning .
Pertanto $ L ^ H = K $ . \medskip
Sia adesso $ L ^ H = K $ . Per il Teorema dell'elemento
primitivo, $ \exists \alpha \in L ^ H $ tale per cui
$ L = K ( \alpha ) $ . Si consideri allora il
polinomio $ p $ a coefficienti in $ \overline { K } $ tale
per cui:
\[ p ( x ) = \prod _ { \varphi \in H } ( x - \varphi ( \alpha ) ) . \]
Poiché l'identità di $ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ appartiene
ad $ H $ , $ ( x - \alpha ) \mid p ( x ) $ , e quindi
$ p ( \alpha ) = 0 $ . Inoltre $ p $ è in realtà un polinomio
a coefficienti in $ L ^ H $ . Se infatti $ \rho \in H $ ,
\[ \rho ( p ( x ) ) = \prod _ { \varphi \in H } ( x - \rho ( \varphi ( \alpha ) ) ) = p ( x ) , \]
dove l'uguaglianza è dovuta al fatto\footnote {
In particolare è stato applicato l'\textit { embedding} di Cayley su $ H $
attraverso l'elemento $ \rho \in H $ , e
quest'azione si è rivelata essere transitiva.
} che le
mappe $ \{ \rho \circ \varphi \} $ sono esattamente le
mappe $ \{ \varphi \} $ . Pertanto $ \abs { \Gal ( \faktor { L } { K } ) } = [ L : K ] =
[K(\alpha ) : K] \leq \deg p(x) = \abs { H} $ dal
momento che $ \alpha $ è radice di $ p ( x ) $ . Dal momento
che vale anche che $ \abs { \Gal ( \faktor { L } { K } ) } \geq \abs { H } $ , allora
$ H = \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ , da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { proposition}
Sia $ \sigma \in \Gal { \faktor { L } { K } } $ . Allora,
se $ H \leq \faktor { L } { K } $ , vale che
$ \sigma ( L ^ H ) = L ^ { \sigma H \sigma \inv } $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Si osserva che:
\[ \sigma ( L ^ H ) = \{ \sigma ( \alpha ) \mid \alpha \in L, \, \varphi ( \alpha ) = \alpha \, \forall \varphi \in H \} = \{ \beta \in L \mid \varphi ( \sigma \inv ( \beta ) ) = \sigma \inv ( \beta ) \, \forall \varphi \in H \} , \]
dove si è sfruttato in modo cruciale il fatto che $ \varphi \in H $ è bigettiva. Si
conclude allora che:
\[ \varphi ( L ^ H ) = \{ \beta \in L \mid \sigma ( \varphi ( \sigma \inv ( \beta ) ) ) = \beta \, \forall \varphi \in H \} = L ^ { \sigma H \sigma \inv } . \]
\end { proof}
% TODO: aggiungere corrispondenza di Galois
Si può adesso dimostrare il Teorema di corrispondenza di
Galois:
\begin { theorem} [di corrispondenza di Galois]
Sia $ \mathcal { E } $ l'insieme delle sottoestensioni
di $ \faktor { L } { K } $ estensione di Galois. Sia
$ \mathcal { G } $ l'insieme dei sottogruppi di
$ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . Allora $ \mathcal { E } $ è
in bigezione con $ \mathcal { G } $ attraverso
la mappa $ \alpha : \mathcal { E } \to \mathcal { G } $
tale per cui:
\[ F \xmapsto { \alpha } \Gal ( \faktor { L } { F } ) \leq
\Gal (\faktor { L} { K} ), \]
la cui inversa $ \beta : \mathcal { G } \to \mathcal { E } $
è tale per cui:
\[ H \xmapsto { \beta } L ^ H \subseteq L. \]
Inoltre, una sottoestensione $ \faktor { F } { K } $ di
$ \faktor { L } { K } $ è normale su $ K $ se e solo se
il corrispondente sottogruppo di $ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $
è normale. Infine, se $ \faktor { F } { K } $ è normale,
$ F $ è in particolare di Galois\footnote {
Si ricorda che si considera $ K $ un campo perfetto.
} e vale che:
\[ \Gal ( \faktor { F } { K } ) \cong \faktor { \Gal ( \faktor { L } { K } ) } { \Gal ( \faktor { L } { F } ) } . \]
\end { theorem}
\begin { proof}
Le mappe $ \alpha $ e $ \beta $ sono ovviamente ben definite. Si mostra direttamente che sono l'una
l'inversa dell'altra. Sia $ H \leq \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ .
Si osserva che:
\[ \alpha ( \beta ( H ) ) = \alpha ( L ^ H ) = \Gal ( \faktor { L } { L ^ H } ) . \]
Sia $ L ^ H = M $ . Se si pone $ K = \Gal ( \faktor { L } { L ^ H } ) $ , vale chiaramente che $ H \leq K $ dal momento che $ H $
fissa per definizione tutti gli elementi di
$ L ^ H $ . Dacché allora $ L ^ H = M $ , per il lemma precedente
$ H = K $ , e quindi $ \alpha ( \beta ( H ) ) = H $ . \medskip
Analogamente si osserva che per $ K \subseteq F \subseteq K $ vale che:
\[ \beta ( \alpha ( F ) ) = \beta ( \Gal ( \faktor { L } { F } ) ) =
L^ { \Gal (\faktor { L} { F} )} . \]
Pertanto, detto $ H = \Gal ( \faktor { L } { F } ) $ ,
per il lemma precedente vale che $ L ^ H = F $ ,
e quindi $ \beta ( \alpha ( F ) ) = F $ , dimostrando
la prima parte del teorema. \medskip
Sia ora $ \faktor { F } { K } $ una sottoestensione normale
di $ \faktor { L } { K } $ . Allora, se $ \varphi \in \Gal ( \faktor { L } { F } ) $ e $ \sigma \in \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ ,
$ \tau = \sigma \circ \varphi \circ \sigma \inv $ è ancora
un elemento di $ \faktor { L } { K } $ . Pertanto,
$ \tau $ si può restringere ad una $ K $ -immersione di $ F $ .
Poiché allora $ F $ è normale su $ K $ , $ \tau ( F ) = F $ , e
quindi $ \tau \in \Gal ( \faktor { L } { F } ) $ , e dunque
$ \Gal ( \faktor { L } { F } ) \nsgeq \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . \medskip
Sia adesso $ \Gal ( \faktor { L } { F } ) \nsgeq \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . Sia $ \varphi $ una $ K $ -immersione
di $ F $ su $ \overline { K } $ . Allora $ \varphi $ può essere
estesa ad un elemento $ \tilde { \varphi } \in \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . In particolare,
se $ H = \Gal ( \faktor { L } { F } ) $ , $ \varphi ( F ) =
\tilde { \varphi } (F) = L^ { \varphi H \varphi \inv } = L^ H = F$ , dove si è sfruttata la normalità di $ H$ in
$ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . Pertanto $ F $ è normale su $ K $ ,
e dunque, in quanto separabile per ipotesi, di Galois. \medskip
Si consideri adesso l'omomorfismo $ \tau : \Gal ( \faktor { L } { K } ) \to \Gal ( \faktor { F } { K } ) $ dato
dalla restrizione delle immersioni di $ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ su $ F $ . Chiaramente $ \tau $
è una mappa surgettiva, dal momento che ogni $ K $ -immersione di $ \Gal ( \faktor { F } { K } ) $ può estendersi
a $ K $ -immersione di $ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ . Inoltre
vale che $ \Ker \tau $ è esattamente il sottogruppo
di $ \Gal ( \faktor { L } { K } ) $ che fissa $ F $ , ossia
$ \Gal ( \faktor { L } { F } ) $ . Applicando allora il Primo
teorema di isomorfismo vale che:
\[ \Gal ( \faktor { F } { K } ) \cong \faktor { \Gal ( \faktor { L } { K } ) } { \Gal ( \faktor { L } { F } ) } , \]
da cui la tesi.
\end { proof}
\begin { example} [studio dei sottocampi di $ \QQ ( \sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } ) \quot \QQ $ ]
Dal momento che $ L : = \QQ ( \sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } ) $ è
il campo di spezzamento dei polinomi $ x ^ 2 - 2 $
e $ x ^ 2 - 3 $ , tale estensione è normale su $ \QQ $ ,
e quindi di Galois. Inoltre, dal momento che
$ \sqrt { 3 } \notin \QQ ( \sqrt { 2 } ) $ ,
$ [ L : \QQ ] = 2 \cdot 2 = 4 $ , dal Teorema delle
torri algebriche. Pertanto $ \Gal ( \faktor { L } { \QQ } ) $
è un gruppo di ordine $ 4 $ . \medskip
Si definisce $ \varphi _ { ij } $ con $ i $ , $ j \in \{ 0 , 1 \} $
come le $ \QQ $ -immersioni di $ L $
tali per cui $ \sqrt { 2 } \xmapsto { \varphi _ { ij } } ( - 1 ) ^ i \sqrt { 2 } $ e analogamente $ \sqrt { 3 } \xmapsto { \varphi _ { ij } } ( - 1 ) ^ j \sqrt { 3 } $ . Dal momento
che le varie $ \varphi _ { ij } $ sono distinte,
che ogni $ \varphi _ { ij } $ ha ordine $ 2 $ e che ogni
gruppo di ordine $ 4 $ è abeliano (o, più semplicemente,
le varie $ \varphi _ { ij } $ commutano tra loro),
vale che $ \Gal ( \faktor { L } { \QQ } ) \cong \ZZmod 2 \times \ZZmod 2 $ . \medskip
Ogni sottoestensione di $ L $ ha
grado su $ \QQ $ divisore di $ [ L : \QQ ] $ , e quindi
ha grado $ 1 $ , $ 2 $ o $ 4 $ . Se il grado è $ 4 $ ,
la sottoestensione considerata è proprio $ L $ , mentre
se il grado è $ 1 $ la sottoestensione è $ \QQ $ stesso.
Si studiano ora le sottoestensioni di grado $ 2 $ .
Tali sottoestensioni corrispondono ai sottogruppi
di $ \Gal ( \faktor { L } { \QQ } ) $ di ordine $ 4 / 2 = 2 $ . Inoltre,
a priori, essendo $ \Gal ( \faktor { L } { \QQ } ) $ abeliano, tutte
le sottoestensioni sono normali su $ \QQ $ . \medskip
Ogni sottogruppo di ordine $ 2 $ è ciclico e generato
da elementi di ordine $ 2 $ , e quindi, mantenendo
la corrispondenza con $ \ZZmod 2 \times \ZZmod 2 $ ,
da $ ( 1 , 0 ) $ , $ ( 0 , 1 ) $ o $ ( 1 , 1 ) $ . Pertanto esistono
esattamente $ 3 $ sottoestensioni distinte di grado $ 2 $
su $ \QQ $ . \medskip
In particolare queste sottoestensioni corrispondono
ai sottocampi di $ L $ fissati da $ \varphi _ { 10 } $ ,
$ \varphi _ { 01 } $ e $ \varphi _ { 11 } $ , ossia
$ \QQ ( \sqrt { 3 } ) $ , $ \QQ ( \sqrt { 2 } ) $ e $ \QQ ( \sqrt { 6 } ) $ . \medskip
Inoltre $ \alpha : = \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } $ è un elemento primitivo
di $ L $ , dal momento che non può appartenere né a
$ \QQ ( \sqrt { 3 } ) $ né a $ \QQ ( \sqrt { 2 } ) $ (altrimenti
tali sottoestensioni coinciderebbero con $ L $ , \Lightning ), e così nemmeno a $ \QQ ( \sqrt { 6 } ) $ (altrimenti $ \alpha $ si scriverebbe
come combinazione lineare di $ 1 $ e $ \sqrt { 6 } $ ,
\Lightning ). Alternativamente $ \alpha $
ha esattamente $ 4 $ coniugati tramite
le varie\footnote {
Tali $ 4 $ coniugati sono distinti dal momento
che $ \{ 1 , \sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 } \} $ è
una base di $ L $ come $ \QQ $ -spazio.
} $ \varphi _ { ij } $ , e quindi ha grado $ 4 $ su
$ \QQ $ . In particolare vale che:
\[ \mu _ \alpha ( x ) = \prod _ { i = 0 } ^ 1 \prod _ { j = 0 } ^ 1 ( x + ( - 1 ) ^ i \sqrt { 2 } + ( - 1 ) ^ j \sqrt { 3 } ) = x ^ 4 - 10 x ^ 2 + 1 . \]
Tutte le informazioni sono infine raccolte nel seguente
diagramma di estensioni: % TODO: terminare esempio
\[ \begin { tikzcd } [ column sep = 2 . 25 em ]
& & { \overbrace { \mathbb { Q} (\sqrt { 2} , \sqrt { 3} )} ^ { \mathbb { Q} (\sqrt { 2} + \sqrt 3)} } \\
\\
{ \mathbb { Q} (\sqrt { 2} )} & & { \mathbb { Q} (\sqrt 6)} & & { \mathbb { Q} (\sqrt 3)} \\
\\
& & { \mathbb { Q} }
\arrow ["2"{pos=0.3}, no head, from=1-3, to=3-1]
\arrow ["2"', no head, from=1-3, to=3-3]
\arrow ["2"', no head, from=1-3, to=3-5]
\arrow ["2"', no head, from=3-3, to=5-3]
\arrow ["2"{description}, no head, from=3-5, to=5-3]
\arrow ["2"{description}, no head, from=3-1, to=5-3]
\arrow ["{\small x^4 - 10x^2 + 1}", curve={height=-24pt}, no head, from=1-3, to=5-3]
\arrow ["{x^2-3}", curve={height=-12pt}, no head, from=3-5, to=5-3]
\arrow ["{x^2-2}"', curve={height=12pt}, no head, from=3-1, to=5-3]
\arrow ["{x^2-6}"'{pos=0.3}, shift left, curve={height=12pt}, no head, from=3-3, to=5-3]
\arrow ["{x^2+2\sqrt3\,x+1}", curve={height=-18pt}, no head, from=1-3, to=3-5]
\arrow ["{x^2+2\sqrt2\,x-1}"', curve={height=18pt}, no head, from=1-3, to=3-1]
\arrow ["{\small x^2-2\sqrt6-5}"'{pos=0.8}, curve={height=12pt}, no head, from=1-3, to=3-3]
\end { tikzcd} \]
\end { example}
\end { document}
