Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v\in V^\perp$.
Sia $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v\in V^\perp$.
Siano $a_1$, ..., $a_n \in\KK$ tali che $\v= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$. Allora, poiché $\v\in V$, $0=\varphi(\vv i, \v)=
Siano $a_1$, ..., $a_n \in\KK$ tali che $\v= a_1\vv1+\ldots+ a_n \vv n$. Allora, poiché $\v\in V$, $0=\varphi(\vv i, \v)
= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp\subseteq [\cdot]_\basis\inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp\subseteq [\cdot]_\basis\inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
Sia ora $\v\in V$ tale che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$.
Sia ora $\v\in V$ tale che $[\v]_\basis\in\Ker M_\basis(\varphi)$.
Si può dunque definire un'applicazione $f_g$, che, dato $g \in X$,
\begin{remark}\nl
è tale che $f_g(x)= g.x$$\forall x \in X$. Tale applicazione è
\li Data un'azione di $G$ su $X$, si può definire un'applicazione
bigettiva, dacché $f_{g\inv}$ è una sua inversa, sia destra che sinistra.
$f_g : X \to X$ tale che, dato $g \in G$, $f_g(x)= g \cdot x$. \\
La definizione equivale a dare un omomorfismo da $G$ a $S_X$ associando
\li Tale applicazione $f_g$ è bigettiva, dal momento che $f_{g\inv}$ è una sua
a $g$ l'applicazione $f_g$, dove $S_X$ è il gruppo delle bigezioni
inversa, sia destra che sinistra. Infatti $(f_g \circ f_{g\inv})(x)=
di $X$ con la composizione. \\
g \cdot (g\inv\cdot x) = (g g\inv) \cdot x = e \cdot x = x$, e così il viceversa.
\end{remark}
L'azione di $G$ si dice \textit{fedele} se $g \mapsto f_g$ è iniettivo
\begin{definition}
(ossia se $f_g(x)= x \forall x \in X \implies g=e$).
L'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ si dice \textbf{fedele} se
l'omomorfismo $\varphi_G$ da $G$ in $S(G)$, ossia nel gruppo delle bigezioni su $G$, che
associa $g$ a $f_g$ è iniettiva.
\end{definition}
\begin{enumerate}[(i)]
\begin{remark}
\item Per ogni insieme $X$, $G = S_X$ agisce su $X$ in modo tale
Si osserva che dire che un'azione di un gruppo è fedele è equivalente
che $g.x = g(x)$$\forall x \in X$,
a dire che $\Ker\varphi_G =\{ e \}$, ossia che $f_g =\Id\iff g = e$.
\end{remark}
\item$\forall$ gruppo $G$, $G$ agisce su $X = G$ tramite
\begin{example}
$g.g' = gg'$,
Si possono fare alcuni esempi di azioni classiche su alcuni gruppi.
\begin{enumerate}[(i)]
\item$S(X)$ agisce su $X$ in modo tale che $f \cdot x = f(x)$$\forall f \in S(X), x \in X$.
\item Si può chiaramente definire un'azione destra in modo
\item$G$ agisce su $G$ stesso tramite l'operazione del gruppo, ossia $g \cdot g' = gg'$$\forall g$, $g' \in G$.
analogo, con la notazione $(g, x)\mapsto x.g$.
\end{enumerate}
Se $X$ subisce un'azione di $G$, si dice che $X$ è un $G$-insieme.
\item Data un'azione sinistra di $G$ su $X$ tale che $(g, x)\mapsto g \cdot x$, si può definire
Si introduce la relazione di equivalenza $x \sim_G y \defiff\exists g \in G \mid g.x = y$. Le classi di equivalenza si chiamano \textbf{orbite}
naturalmente un'azione destra da $X \times G$ in $X$ in modo tale che $(x, g)\mapsto x \cdot g = g\inv\cdot x$.
di $G$ (i.e.~$O_X =\{ g.x \mid g \in G \}$). \\
Infatti $x \cdot e = e\inv\cdot x = e \cdot x = x$, e $(x \cdot g)\cdot g' =(g\inv\cdot x)\cdot g' =
{g'}\inv\cdot (g\inv\cdot x) = ({g'}\inv g\inv) \cdot x = (g g')\inv\cdot x = x \cdot (g g')$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{example}
\begin{definition} [$G$-insieme]
\begin{enumerate}[(i)]
Se esiste un azione di $G$ su $X$, si dice che $X$ è un $G$\textit{-insieme}.
\item Se $G =\GL(n, \KK)$, $G$ opera su $M(n, \KK)$ tramite
\end{definition}
la similitudine. Le orbite sono le classi di similitudine
della matrici.
\item Se $G =\GL(n, \KK)$, $G$ opera su $\Sym(n, \KK)$
\begin{definition} [orbita di $x$]
tramite la congruenza. Le orbite sono le classi di congruenza
Sia $\sim_G$ la relazione d'equivalenza tale che $x \sim_G y \defiff\exists g \in G \mid g \cdot x = y$.
delle matrici simmetriche. Analogamente si può fare per la
Allora le classi di equivalenza si dicono \textbf{orbite}, ed in particolare si indica l'orbita a cui
appartiene un dato $x \in X$ come $\Orb(x)= O_x$, ed è detta \textit{orbita di}$x$.
\end{definition}
\begin{example} Si possono individuare facilmente alcune orbite per alcune azioni classiche.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $G =\GL(n, \KK)$ è il gruppo delle matrici invertibili su $\KK$ di taglia $n$ rispetto
all'operazione di moltiplicazione matriciale, $G$ opera naturalmente su $M(n, \KK)$ tramite
la similitudine, ossia $G$ agisce in modo tale che $P \cdot M = P M P\inv$$\forall P \in\GL(n, \KK)$,
$M \in M(n, \KK)$. In particolare, data $M \in M(n, \KK)$, $\Orb(M)$ coincide esattamente
con la classe di similitudine di $M$.
\item Se $G =\GL(n, \KK)$, $G$ opera naturalmente anche su $\Sym(n, \KK)$
tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A)\mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in\Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le
matrici hermitiane.
matrici hermitiane.
\item Se $G = O_n$, esso opera su $\RR^n$ tramite la
\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot\vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{x}$.
moltiplicazione. Le orbite sono le sfere di raggio $\norm x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{example}
\end{example}
\begin{definition}
\begin{definition} [stabilizzatore di $x$]
Lo \textbf{stabilizzatore} di un punto $x \in X$ è
Lo \textbf{stabilizzatore} di un punto $x \in X$ è l'insieme degli elementi di $G$ che
$\Stab_G(X)=\{g \in G \mid g.x = x \}$, sottogruppo
agiscono su $x$ lasciandolo invariato, ossia lo stabilizzatore $\Stab_G(X)$ è il sottogruppo
