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feat(algebrario): aggiunge nuovo capitolo e aggiorna evan.sty
This commit is contained in:
@@ -309,6 +309,7 @@ Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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\label{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}
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Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
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\end{corollary}
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@@ -0,0 +1,285 @@
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\section{Introduzione alla teoria dei campi}
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\subsection{La caratteristica di un campo}
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Si consideri il seguente omomorfismo:
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\[ \psi : \ZZ \to \KK, \]
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\vskip 0.1in
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completamente determinato dalla condizione $\psi(1) = 1$, dacché
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$\ZZ$ è generato da $1$. Si studia innanzitutto il caso in cui
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$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e per
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il \corref{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}, $\ZZ \cong \Imm \psi$. \\
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Pertanto, $\KK$ ammetterebbe come sottoanello una copia isomorfa di $\ZZ$.
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Inoltre, poiché $\KK$ è un campo, deve anche ammetterne gli inversi, e quindi
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ammetterebbe come sottocampo una copia isomorfa di $\QQ$. La seguente
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definizione classificherà questi tipi di campo. \\
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\begin{definition}
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Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica zero} ($\Char \KK = 0$),
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quando $\Ker \psi = (0)$.
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\end{definition}
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Altrimenti, se $\Ker \psi \neq (0)$, dacché $\ZZ$ è un anello euclideo,
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$\Ker \psi$ deve essere monogenerato da un intero $n$, ossia $\Ker \psi = (n)$. \\
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Tuttavia non tutti gli interi sono ammissibili. Sia infatti $n$ non primo, allora
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$n = ab$ con $a$, $b \neq \pm 1$. Si nota innanzitutto che $\psi(a) \neq 0$,
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se infatti fosse nullo, $n$ dovrebbe dividere $a$, impossibile dal momento
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che $\card{a} < \card{n}$, \Lightning{}. Analogamente anche $\psi(b) \neq 0$. \\
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Se $n$ fosse generatore di $\Ker \psi$ si ricaverebbe allora che:
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\[ \underbrace{\psi(a)}_{\neq\,0} \underbrace{\psi(b)}_{\neq\,0} = \psi(n) = 0, \]
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\vskip 0.1in
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che è assurdo, dal momento che $\KK$, in quanto campo, è anche un dominio.
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Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora, per
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il \nameref{th:primo_isomorfismo}, $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$,
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ossia $\KK$ contiene una copia isomorfa di $\ZZp$, a cui ci riferiremo
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semplicemente con $\FFpp$. \\
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Allora, poiché sia $\KK$ che $\FFpp$ sono campi, $\KK$ è uno spazio
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vettoriale su $\FFpp$. Si può dunque classificare quest'ultimo tipo di
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campi con la seguente definizione:
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\begin{definition}
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Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica $p$} ($\Char \KK = p$)
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quando $\Ker \psi = (p)$, con $p$ primo.
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\end{definition}
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\begin{remark*}
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La caratteristica di un campo \textbf{non} distingue i campi finiti
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dai campi infiniti. Esistono infatti campi infiniti di caratteristica
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$p$, come il campo delle funzioni razionali su $\ZZp$:
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\[ \ZZ_p(x) = \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \mid f(x),\, g(x) \in \ZZpx,\, g(x) \neq 0 \right\}. \]
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\vskip 0.1in
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Infatti $\psi(p) = p \, \psi(1) = 0$.
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\end{remark*}
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\subsection{Prime proprietà dei campi di caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}
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Come si è appena visto, un campo $\KK$ di caratteristica $p$ contiene
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al suo interno un sottocampo $\FFpp$ isomorfo a $\ZZp$, ed è per questo
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uno spazio vettoriale su di esso. A partire da questa informazione si
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può dimostrare la seguente proposizione.
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\begin{proposition}
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\label{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}
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Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$. Allora, per ogni
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elemento $v$ di $\KK$, $pv=0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Considerando ogni elemento di $\KK$ come vettore e $p$ come
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scalare, si ricava che:
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\[ pv=(\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ volte}})v=
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(\underbrace{\psi(1)+\ldots+\psi(1)}_{p\text{ volte}})v=
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||||
\psi(p)v=0v=0. \]
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\end{proof}
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Mentre, partendo da questa proposizione, si può dimostrare il
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seguente teorema.
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\begin{theorem}[\textit{Teorema del binomio ingenuo}]
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\label{th:binomio_ingenuo}
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Siano $a$ e $b$ elementi di un campo di caratteristica $p$. Allora
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$(a+b)^p = a^p + b^p$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per dimostrare la tesi si applica la formula del binomio di Newton
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nel seguente modo:
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\[ (a+b)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} a^{p-i}b^p. \]
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\vskip 0.1in
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||||
Tuttavia, dal momento che $p$ è un fattore di tutti i binomiali per
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$1 \leq i \leq p-1$, tutti i termini computati con queste $i$
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sono nulli per la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
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||||
Si desume così l'identità della tesi.
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\end{proof}
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||||
\subsection{L'omomorfismo di Frobenius}
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\begin{definition}
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||||
Dato un campo $\KK$ di caratteristica $p$, si definisce
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\textbf{omomorfismo di Frobenius} per il campo $\KK$
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la funzione:
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\[ \Frob : \KK \to \KK,\, a \mapsto a^p. \]
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\end{definition}
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\begin{remark*}
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||||
In effetti, l'omomorfismo di Frobenius è un omomorfismo. \\
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Infatti, $\Frob(1) = 1^p = 1$. Inoltre tale funzione
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rispetta la linearità per il \nameref{th:binomio_ingenuo}:
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\[ \Frob(a + b) = (a+b)^p = a^p + b^p = \Frob(a) + \Frob(b), \]
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\vskip 0.1in
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|
||||
e chiaramente anche la moltiplicatività:
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\[ \Frob(ab) = (ab)^p = a^p b^p = \Frob(a) \Frob(b). \]
|
||||
\end{remark*}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\label{prop:frobenius_monomorfismo}
|
||||
L'omomorfismo di Frobenius di un campo $\KK$ di caratteristica
|
||||
$p$ è un monomorfismo.
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si prenda in considerazione $\Ker \Frob$. Esso è sicuramente
|
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un ideale diverso da $\KK$, dacché $1 \notin \Ker \Frob$.
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||||
Tuttavia, se $\Ker \Frob \neq (0)$, $\Ker \Frob$, dal
|
||||
momento che $\KK$, in quanto campo, è un anello euclideo,
|
||||
e quindi un PID, è monogenerato da un invertibile. \\
|
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||||
Se però così fosse, $\Ker \Frob$ coinciderebbe con il
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||||
campo $\KK$ stesso, \Lightning{}. Quindi $\Ker \Frob = (0)$,
|
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da cui la tesi.
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||||
\end{proof}
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||||
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\begin{proposition}
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||||
Sia $\KK$ un campo finito di caratteristica $p$. Allora
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l'omomorfismo di Frobenius è un automorfismo.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Dalla \propref{prop:frobenius_monomorfismo} è noto che
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||||
$\Frob$ sia già un monomorfismo. Dal momento che
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||||
il dominio e il codominio sono lo stesso e constano
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||||
entrambi dunque di un numero finito di elementi,
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se $\Frob$ non fosse surgettivo, vi sarebbe un elemento
|
||||
di $\KK$ a cui non è associato nessun elemento di $\KK$
|
||||
mediante $\Frob$. \\
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Per il principio dei cassetti, allora, spartendo
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||||
$\card{\KK}$ elementi in $\card{\KK}-1$ elementi,
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||||
vi sarebbe almeno un elemento dell'immagine a cui
|
||||
sarebbero associati due elementi del dominio. Tuttavia
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questo è assurdo dal momento che $\Frob$ è un
|
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monomorfismo. Quindi $\Frob$ è un epimorfismo. \\
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||||
Dacché $\Frob$ è contemporaneamente un endomorfismo,
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un monomorfismo e un epimorfismo, è allora anche
|
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un automorfismo.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\label{prop:punti_fissi_frobenius_campo}
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||||
Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$ e si
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||||
definisca l'insieme dei punti fissi del suo
|
||||
omomorfismo di Frobenius:
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\[ \Fix(\Frobexp^n) = \{ a \in \KK \mid \Frobexp^n(a) = a \} .\]
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\vskip 0.1in
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||||
Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un sottocampo di $\KK$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Affinché $\Fix(\Frobexp^n)$ sia un sottocampo di $\KK$,
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la sua somma e la sua moltiplicazione devono essere ben
|
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definite, e ogni suo elemento deve ammettere un inverso
|
||||
sia additivo che moltiplicativo. \\
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||||
Siano allora $a$, $b \in \Fix(\Frobexp^n)$.
|
||||
$\Frobexp^n$ è un omomorfismo, in quanto è composizione
|
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di omomorfismi (in particolare, dello stesso omomorfismo
|
||||
$\Frobexp$). Sfruttando le proprietà
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degli omomorfismi si dimostra dunque
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che $a+b \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(a+b) = \Frobexp^n(a) + \Frobexp^n(b) = a+b, \]
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\vskip 0.1in
|
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|
||||
e che $ab \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(ab) = \Frobexp^n(a)\Frobexp^n(b) = ab. \]
|
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\vskip 0.1in
|
||||
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||||
Analogamente si dimostra che $-a \in \Fix(\Frobexp^n)$:
|
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\[ \Frobexp^n(-a) = -\Frobexp^n(a) = -a, \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
e che $a\inv \in \Fix(\Frobexp^n)$:
|
||||
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||||
\[ \Frobexp^n(a\inv) = \Frobexp^n(a)\inv = a\inv. \]
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||||
\end{proof}
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\subsection{Classificazione dei campi finiti}
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\begin{theorem}
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Ogni campo finito $\KK$ di caratteristica $p$ consta
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||||
di $p^n$ elementi, con $n \in \NN^+$.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Come già detto precedentemente, $\KK$ è uno
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||||
spazio vettoriale su una copia isomorfa di $\ZZp$,
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$\FFpp$. \\
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||||
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||||
Si consideri allora il grado $[\KK : \FFpp]$. Sicuramente
|
||||
questo grado non è infinito, dal momento che $\KK$ non
|
||||
ha infiniti elementi. Quindi $[\KK : \FFpp] = n \in \NN$. \\
|
||||
|
||||
Sia dunque $(k_1, k_2, \ldots, k_n)$ una base di $\KK$
|
||||
su $\FFpp$. Ogni elemento $a$ di $\KK$ si potrà dunque scrivere
|
||||
come:
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||||
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||||
\[ a = \alpha_1 k_1 + \ldots + \alpha_n k_n, \quad \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \FFpp,\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
e dunque vi saranno in totale $p^n$
|
||||
elementi, dove ogni $p$ è contato dal numero di elementi che è
|
||||
possibile associare ad ogni coefficiente, ossia $\card{\FFpp} = p$,
|
||||
per il numero di elementi appartenenti alla base, ossia $[\KK : \FFpp] =
|
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n$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
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\begin{theorem}
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||||
Per ogni $n \in \NN^+$ e per ogni numero primo $p$ esiste un
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campo finito con $p^n$ elementi.
|
||||
\end{theorem}
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||||
\begin{proof}
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Si consideri il polinomio $x^{p^n}-x$ su $\ZZp$ e un suo
|
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campo di spezzamento $A$. $\Fix(\Frobexp^n)$, per
|
||||
la \propref{prop:punti_fissi_frobenius_campo}, è
|
||||
un sottocampo, e
|
||||
contiene esattamente le radici di $x^{p^n}-x$, che
|
||||
in $A$ si spezza in fattori lineari, per definizione. \\
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||||
|
||||
La derivata di $x^{p^n}-x$ è $p^n x^{p^n - 1}-1 \equiv -1$,
|
||||
dacché $A$ è uno spazio vettoriale su $\ZZp$, e pertanto
|
||||
vale ancora la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
|
||||
Dal momento che $-1$ e $x^{p^n}-x$ non hanno fattori lineari
|
||||
in comune, per il \textit{Criterio della derivata},
|
||||
$x^{p^n}-x$ non ammette radici multiple. \\
|
||||
|
||||
Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un campo con $p^n$ elementi,
|
||||
ossia tutte le radici di $x^{p^n}-x$ (e coincide quindi
|
||||
con il campo di spezzamento $A$), da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
+2
-2
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
\section{Teoremi rilevanti sui campi finiti}
|
||||
|
||||
\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in $\FFpp$}
|
||||
\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
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||||
Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ e sia
|
||||
@@ -97,7 +97,7 @@
|
||||
\Lightning{}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{L'inclusione $\FFpm \subseteq \FFpn$ e il polinomio $x^{p^n}-x$}
|
||||
\subsection{L'inclusione \texorpdfstring{$\FFpm \subseteq \FFpn$}{F\_(p\string^m) in F\_(p\string^n)} e il polinomio \texorpdfstring{$x^{p^n}-x$}{x\string^(p\string^n)-x}}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:alpha_radice}
|
||||
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
\section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
|
||||
|
||||
\subsection{I numeri interi: $\ZZ$}
|
||||
\subsection{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}
|
||||
|
||||
Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
|
||||
l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
|
||||
@@ -20,7 +20,7 @@ Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Te
|
||||
fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
|
||||
\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
|
||||
|
||||
\subsection{I campi: $\KK$}
|
||||
\subsection{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
|
||||
|
||||
Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
|
||||
per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
|
||||
@@ -36,7 +36,7 @@ Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
|
||||
poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
|
||||
necessario verificare nessun'altra proprietà.
|
||||
|
||||
\subsection{I polinomi di un campo: $\KK[x]$}
|
||||
\subsection{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KK[x]$}{K[x]}}
|
||||
|
||||
I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
|
||||
nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
|
||||
@@ -62,7 +62,7 @@ euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli u
|
||||
$\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Gli interi di Gauss: $\ZZ[i]$}
|
||||
\subsection{Gli interi di Gauss: \texorpdfstring{$\ZZ[i]$}{Z[i]}}
|
||||
|
||||
Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
|
||||
|
||||
@@ -109,8 +109,6 @@ di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$
|
||||
sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
|
||||
di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
$\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
@@ -138,7 +136,7 @@ di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Gli interi di Eisenstein: $\ZZ[\omega]$}
|
||||
\subsection{Gli interi di Eisenstein: \texorpdfstring{$\ZZ[\omega]$}{Z[ω]}}
|
||||
|
||||
Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
|
||||
interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
|
||||
|
||||
@@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in $\ZZi$}
|
||||
\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
|
||||
|
||||
Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
|
||||
funzione grado:
|
||||
@@ -10,7 +10,7 @@ importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
|
||||
che discende direttamente come corollario di un teorema più
|
||||
generale riguardante $\ZZi$.
|
||||
|
||||
\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in $\ZZi$}
|
||||
\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:riducibile_due_quadrati}
|
||||
|
||||
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
\section{Irriducibilità in $\ZZx$ e in $\QQx$}
|
||||
\section{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
|
||||
|
||||
\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in $\ZZpx$}
|
||||
\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}
|
||||
|
||||
Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
|
||||
alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
|
||||
@@ -178,7 +178,7 @@ verrà ripresa anche in seguito
|
||||
irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Alcuni irriducibili di $\ZZ_2[x]$}
|
||||
\subsection{Alcuni irriducibili di \texorpdfstring{$\ZZ_2[x]$}{Z\_2[x]}}
|
||||
|
||||
Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
|
||||
un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
|
||||
|
||||
@@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
\section{I polinomi di un campo: $\KKx$}
|
||||
\section{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}}
|
||||
|
||||
\subsection{Elementi preliminari}
|
||||
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||||
@@ -89,7 +89,7 @@ ora invece la definizione di radice.
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quindi un UFD, \Lightning{}. Quindi le radici sono esattamente $k \leq n$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di $\KK$}
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\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
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Si illustra adesso un teorema che riguarda i sottogruppi
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moltiplicativi finiti di $\KK$, da cui conseguirà,
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@@ -203,7 +203,7 @@ qualsiasi $p$ primo. \\
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Quindi $\card{X_d}>0$, e $G$ è ciclico.
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\end{proof}
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\subsection{Il quoziente $\KKx/(f(x))$}
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\subsection{Il quoziente \texorpdfstring{$\KKx/(f(x))$}{K[x]/(f(x))}}
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Nell'ambito dello studio delle radici di un polinomio,
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il quoziente $\KKx/(f(x))$ gioca un ruolo fondamentale.
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@@ -1,4 +1,4 @@
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\section{Estensioni algebriche di $\KK$}
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\section{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
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\subsection{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
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@@ -50,4 +50,26 @@ Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamen
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In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
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isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
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si rimanda a TODO}.
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\end{remark*}
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\end{remark*}
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\begin{theorem}
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Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
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di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
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Allora $[B : A] \leq n!$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
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di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
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$\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
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Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
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$\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
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\[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
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\vskip 0.1in
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da cui la tesi.
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\end{proof}
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@@ -1,4 +1,4 @@
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\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in $\QQx$}
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\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[]}}
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Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
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fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
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Binary file not shown.
@@ -1,6 +1,6 @@
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\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
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\documentclass[11pt]{scrartcl}
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\usepackage{evan}
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\usepackage[italian]{babel}
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\usepackage{algorithm2e}
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@@ -19,96 +19,6 @@
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\addbibresource{bibliography.bib}
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\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
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\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
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\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
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\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
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\newcommand{\corref}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
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\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}}
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\newcommand{\exmplref}[1]{\textit{Esempio \ref{#1}}}
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\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}}
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\newcommand{\lemref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
|
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\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
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\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
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\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p}
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||||
\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}}
|
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\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
|
||||
\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
|
||||
\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
|
||||
\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
|
||||
\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
|
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\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
|
||||
\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
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||||
\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
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\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
|
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\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
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||||
\renewcommand{\ii}{\mathbf{i}}
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\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
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\newcommand{\valalpha}{\varphi_\alpha}
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\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
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\newcommand{\Frobexp}{\mathcal{F}{\mkern 1.5mu}}
|
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||||
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
|
||||
\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
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\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
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\theoremstyle{definition}
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\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
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\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
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\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
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\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
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||||
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\let\emptyset\varnothing
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||||
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\let\circ\undefined
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||||
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||||
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|
||||
|
||||
\let\oldforall\forall
|
||||
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||||
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|
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\let\oldland\land
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|
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\let\oldlor\lor
|
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\let\lor\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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||||
\setlength\parindent{0pt}
|
||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\title{L'Algebrario}
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@@ -192,7 +102,13 @@
|
||||
\thispagestyle{empty}
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||||
~\newpage
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||||
\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
|
||||
\include{10. Introduzione a teoria dei campi}
|
||||
|
||||
\newpage
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||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
~\newpage
|
||||
|
||||
\include{11. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
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||||
+23
-23
@@ -6,7 +6,7 @@
|
||||
year={2013},
|
||||
publisher={Pisa University Press},
|
||||
shorthand={DM}
|
||||
},
|
||||
}
|
||||
@book{herstein2010algebra,
|
||||
title={Algebra},
|
||||
author={Herstein, I.N.},
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||||
@@ -14,28 +14,28 @@
|
||||
year={2010},
|
||||
publisher={Editori Riuniti University Press},
|
||||
shorthand={H}
|
||||
},
|
||||
}
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||||
@Inbook{Remmert1991,
|
||||
author="Remmert, R.",
|
||||
title="The Fundamental Theorem of Algebra",
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year="1991",
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address="New York, NY",
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pages="97--122",
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isbn="978-1-4612-1005-4",
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doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
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url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
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||||
},
|
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@article{10.2307/2315810,
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ISSN = {00029890, 19300972},
|
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URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
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||||
author = {M. A. Jodeit},
|
||||
journal = {The American Mathematical Monthly},
|
||||
number = {7},
|
||||
pages = {835--836},
|
||||
publisher = {Mathematical Association of America},
|
||||
title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
|
||||
volume = {74},
|
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year = {1967}
|
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publisher = {Mathematical Association of America},
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volume = {74},
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||||
}
|
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+341
-696
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