feat(algebrario): aggiunge nuovo capitolo e aggiorna evan.sty

Aritmetica/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex

@@ -309,6 +309,7 @@ Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}
+    \label{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}
     Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
 \end{corollary}
 

Aritmetica/10. Introduzione a teoria dei campi.tex

@@ -0,0 +1,285 @@
+\section{Introduzione alla teoria dei campi}
+
+\subsection{La caratteristica di un campo}
+
+Si consideri il seguente omomorfismo:
+
+\[ \psi : \ZZ \to \KK, \]
+
+\vskip 0.1in
+
+completamente determinato dalla condizione $\psi(1) = 1$, dacché
+$\ZZ$ è generato da $1$. Si studia innanzitutto il caso in cui
+$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e per
+il \corref{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}, $\ZZ \cong \Imm \psi$. \\
+
+Pertanto, $\KK$ ammetterebbe come sottoanello una copia isomorfa di $\ZZ$.
+Inoltre, poiché $\KK$ è un campo, deve anche ammetterne gli inversi, e quindi
+ammetterebbe come sottocampo una copia isomorfa di $\QQ$. La seguente
+definizione classificherà questi tipi di campo. \\
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica zero} ($\Char \KK = 0$),
+    quando $\Ker \psi = (0)$.
+\end{definition}
+
+Altrimenti, se $\Ker \psi \neq (0)$, dacché $\ZZ$ è un anello euclideo,
+$\Ker \psi$ deve essere monogenerato da un intero $n$, ossia $\Ker \psi = (n)$. \\
+
+Tuttavia non tutti gli interi sono ammissibili. Sia infatti $n$ non primo, allora
+$n = ab$ con $a$, $b \neq \pm 1$. Si nota innanzitutto che $\psi(a) \neq 0$,
+se infatti fosse nullo, $n$ dovrebbe dividere $a$, impossibile dal momento
+che $\card{a} < \card{n}$, \Lightning{}. Analogamente anche $\psi(b) \neq 0$. \\
+
+Se $n$ fosse generatore di $\Ker \psi$ si ricaverebbe allora che:
+
+\[ \underbrace{\psi(a)}_{\neq\,0} \underbrace{\psi(b)}_{\neq\,0} = \psi(n) = 0, \]
+
+\vskip 0.1in
+
+che è assurdo, dal momento che $\KK$, in quanto campo, è anche un dominio.
+Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora, per
+il \nameref{th:primo_isomorfismo}, $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$,
+ossia $\KK$ contiene una copia isomorfa di $\ZZp$, a cui ci riferiremo
+semplicemente con $\FFpp$. \\
+
+Allora, poiché sia $\KK$ che $\FFpp$ sono campi, $\KK$ è uno spazio
+vettoriale su $\FFpp$. Si può dunque classificare quest'ultimo tipo di
+campi con la seguente definizione:
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica $p$} ($\Char \KK = p$)
+    quando $\Ker \psi = (p)$, con $p$ primo.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    La caratteristica di un campo \textbf{non} distingue i campi finiti
+    dai campi infiniti. Esistono infatti campi infiniti di caratteristica
+    $p$, come il campo delle funzioni razionali su $\ZZp$:
+
+    \[ \ZZ_p(x) =  \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \mid f(x),\, g(x) \in \ZZpx,\, g(x) \neq 0 \right\}. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Infatti $\psi(p) = p \, \psi(1) = 0$.
+\end{remark*}
+
+\subsection{Prime proprietà dei campi di caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}
+
+Come si è appena visto, un campo $\KK$ di caratteristica $p$ contiene
+al suo interno un sottocampo $\FFpp$ isomorfo a $\ZZp$, ed è per questo
+uno spazio vettoriale su di esso. A partire da questa informazione si
+può dimostrare la seguente proposizione.
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}
+    Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$. Allora, per ogni
+    elemento $v$ di $\KK$, $pv=0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Considerando ogni elemento di $\KK$ come vettore e $p$ come
+    scalare, si ricava che:
+
+    \[ pv=(\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ volte}})v=
+        (\underbrace{\psi(1)+\ldots+\psi(1)}_{p\text{ volte}})v=
+        \psi(p)v=0v=0. \]
+
+\end{proof}
+
+Mentre, partendo da questa proposizione, si può dimostrare il
+seguente teorema.
+
+\begin{theorem}[\textit{Teorema del binomio ingenuo}]
+    \label{th:binomio_ingenuo}
+    Siano $a$ e $b$ elementi di un campo di caratteristica $p$. Allora
+    $(a+b)^p = a^p + b^p$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per dimostrare la tesi si applica la formula del binomio di Newton
+    nel seguente modo:
+
+    \[ (a+b)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} a^{p-i}b^p. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Tuttavia, dal momento che $p$ è un fattore di tutti i binomiali per
+    $1 \leq i \leq p-1$, tutti i termini computati con queste $i$
+    sono nulli per la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
+    Si desume così l'identità della tesi.
+\end{proof}
+
+\subsection{L'omomorfismo di Frobenius}
+
+\begin{definition}
+    Dato un campo $\KK$ di caratteristica $p$, si definisce
+    \textbf{omomorfismo di Frobenius} per il campo $\KK$
+    la funzione:
+
+    \[ \Frob : \KK \to \KK,\, a \mapsto a^p. \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    In effetti, l'omomorfismo di Frobenius è un omomorfismo. \\
+
+    Infatti, $\Frob(1) = 1^p = 1$. Inoltre tale funzione
+    rispetta la linearità per il \nameref{th:binomio_ingenuo}:
+
+    \[ \Frob(a + b) = (a+b)^p = a^p + b^p = \Frob(a) + \Frob(b), \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    e chiaramente anche la moltiplicatività:
+
+    \[ \Frob(ab) = (ab)^p = a^p b^p = \Frob(a) \Frob(b). \]
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:frobenius_monomorfismo}
+    L'omomorfismo di Frobenius di un campo $\KK$ di caratteristica
+    $p$ è un monomorfismo.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Si prenda in considerazione $\Ker \Frob$. Esso è sicuramente
+    un ideale diverso da $\KK$, dacché $1 \notin \Ker \Frob$.
+    Tuttavia, se $\Ker \Frob \neq (0)$, $\Ker \Frob$, dal
+    momento che $\KK$, in quanto campo, è un anello euclideo,
+    e quindi un PID, è monogenerato da un invertibile. \\
+
+    Se però così fosse, $\Ker \Frob$ coinciderebbe con il
+    campo $\KK$ stesso, \Lightning{}. Quindi $\Ker \Frob = (0)$,
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $\KK$ un campo finito di caratteristica $p$. Allora
+    l'omomorfismo di Frobenius è un automorfismo.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Dalla \propref{prop:frobenius_monomorfismo} è noto che
+    $\Frob$ sia già un monomorfismo. Dal momento che
+    il dominio e il codominio sono lo stesso e constano
+    entrambi dunque di un numero finito di elementi,
+    se $\Frob$ non fosse surgettivo, vi sarebbe un elemento
+    di $\KK$ a cui non è associato nessun elemento di $\KK$
+    mediante $\Frob$. \\
+
+    Per il principio dei cassetti, allora, spartendo
+    $\card{\KK}$ elementi in $\card{\KK}-1$ elementi,
+    vi sarebbe almeno un elemento dell'immagine a cui
+    sarebbero associati due elementi del dominio. Tuttavia
+    questo è assurdo dal momento che $\Frob$ è un
+    monomorfismo. Quindi $\Frob$ è un epimorfismo. \\
+
+    Dacché $\Frob$ è contemporaneamente un endomorfismo,
+    un monomorfismo e un epimorfismo, è allora anche
+    un automorfismo.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:punti_fissi_frobenius_campo}
+    Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$ e si
+    definisca l'insieme dei punti fissi del suo
+    omomorfismo di Frobenius:
+
+    \[ \Fix(\Frobexp^n) = \{ a \in \KK \mid \Frobexp^n(a) = a \} .\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un sottocampo di $\KK$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Affinché $\Fix(\Frobexp^n)$ sia un sottocampo di $\KK$,
+    la sua somma e la sua moltiplicazione devono essere ben
+    definite, e ogni suo elemento deve ammettere un inverso
+    sia additivo che moltiplicativo. \\
+
+    Siano allora $a$, $b \in \Fix(\Frobexp^n)$.
+    $\Frobexp^n$ è un omomorfismo, in quanto è composizione
+    di omomorfismi (in particolare, dello stesso omomorfismo
+    $\Frobexp$). Sfruttando le proprietà
+    degli omomorfismi si dimostra dunque
+    che $a+b \in \Fix(\Frobexp^n)$:
+
+    \[ \Frobexp^n(a+b) = \Frobexp^n(a) + \Frobexp^n(b) = a+b, \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    e che $ab \in \Fix(\Frobexp^n)$:
+
+    \[ \Frobexp^n(ab) = \Frobexp^n(a)\Frobexp^n(b) = ab. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Analogamente si dimostra che $-a \in \Fix(\Frobexp^n)$:
+
+    \[ \Frobexp^n(-a) = -\Frobexp^n(a) = -a, \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    e che $a\inv \in \Fix(\Frobexp^n)$:
+
+    \[ \Frobexp^n(a\inv) = \Frobexp^n(a)\inv = a\inv. \]
+
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Classificazione dei campi finiti}
+
+\begin{theorem}
+    Ogni campo finito $\KK$ di caratteristica $p$ consta
+    di $p^n$ elementi, con $n \in \NN^+$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Come già detto precedentemente, $\KK$ è uno
+    spazio vettoriale su una copia isomorfa di $\ZZp$,
+    $\FFpp$. \\
+
+    Si consideri allora il grado $[\KK : \FFpp]$. Sicuramente
+    questo grado non è infinito, dal momento che $\KK$ non
+    ha infiniti elementi. Quindi $[\KK : \FFpp] = n \in \NN$. \\
+
+    Sia dunque $(k_1, k_2, \ldots, k_n)$ una base di $\KK$
+    su $\FFpp$. Ogni elemento $a$ di $\KK$ si potrà dunque scrivere
+    come:
+
+    \[ a = \alpha_1 k_1 + \ldots + \alpha_n k_n, \quad \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \FFpp,\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    e dunque vi saranno in totale $p^n$
+    elementi, dove ogni $p$ è contato dal numero di elementi che è
+    possibile associare ad ogni coefficiente, ossia $\card{\FFpp} = p$,
+    per il numero di elementi appartenenti alla base, ossia $[\KK : \FFpp] =
+        n$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Per ogni $n \in \NN^+$ e per ogni numero primo $p$ esiste un
+    campo finito con $p^n$ elementi.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si consideri il polinomio $x^{p^n}-x$ su $\ZZp$ e un suo
+    campo di spezzamento $A$. $\Fix(\Frobexp^n)$, per
+    la \propref{prop:punti_fissi_frobenius_campo}, è
+    un sottocampo, e
+    contiene esattamente le radici di $x^{p^n}-x$, che
+    in $A$ si spezza in fattori lineari, per definizione. \\
+
+    La derivata di $x^{p^n}-x$ è $p^n x^{p^n - 1}-1 \equiv -1$,
+    dacché $A$ è uno spazio vettoriale su $\ZZp$, e pertanto
+    vale ancora la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
+    Dal momento che $-1$ e $x^{p^n}-x$ non hanno fattori lineari
+    in comune, per il \textit{Criterio della derivata},
+    $x^{p^n}-x$ non ammette radici multiple. \\
+
+    Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un campo con $p^n$ elementi,
+    ossia tutte le radici di $x^{p^n}-x$ (e coincide quindi
+    con il campo di spezzamento $A$), da cui la tesi.
+\end{proof}

Aritmetica/11. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Teoremi rilevanti sui campi finiti}
 
-\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in $\FFpp$}
+\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in \texorpdfstring{$\FFpp$}{F\_p}}
 
 \begin{theorem}
     Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ e sia
@@ -97,7 +97,7 @@
     \Lightning{}.
 \end{proof}
 
-\subsection{L'inclusione $\FFpm \subseteq \FFpn$ e il polinomio $x^{p^n}-x$}
+\subsection{L'inclusione \texorpdfstring{$\FFpm \subseteq \FFpn$}{F\_(p\string^m) in F\_(p\string^n)} e il polinomio \texorpdfstring{$x^{p^n}-x$}{x\string^(p\string^n)-x}}
 
 \begin{lemma}
     \label{lem:alpha_radice}

Aritmetica/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
 
-\subsection{I numeri interi: $\ZZ$}
+\subsection{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}
 
 Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
 l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
@@ -20,7 +20,7 @@ Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Te
     fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
 \textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
 
-\subsection{I campi: $\KK$}
+\subsection{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
 
 Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
 per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
@@ -36,7 +36,7 @@ Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
 poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
 necessario verificare nessun'altra proprietà.
 
-\subsection{I polinomi di un campo: $\KK[x]$}
+\subsection{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KK[x]$}{K[x]}}
 
 I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
 nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
@@ -62,7 +62,7 @@ euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli u
     $\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
 \end{example}
 
-\subsection{Gli interi di Gauss: $\ZZ[i]$}
+\subsection{Gli interi di Gauss: \texorpdfstring{$\ZZ[i]$}{Z[i]}}
 
 Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
 
@@ -109,8 +109,6 @@ di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$
 sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
 di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
 
-\newpage
-
 \begin{theorem}
     $\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
 \end{theorem}
@@ -138,7 +136,7 @@ di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
     \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
 \end{proof}
 
-\subsection{Gli interi di Eisenstein: $\ZZ[\omega]$}
+\subsection{Gli interi di Eisenstein: \texorpdfstring{$\ZZ[\omega]$}{Z[ω]}}
 
 Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
 interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica

Aritmetica/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in $\ZZi$}
+\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
 
 Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
 funzione grado:
@@ -10,7 +10,7 @@ importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
 che discende direttamente come corollario di un teorema più
 generale riguardante $\ZZi$.
 
-\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in $\ZZi$}
+\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
 
 \begin{lemma}
     \label{lem:riducibile_due_quadrati}

Aritmetica/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex

@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Irriducibilità in $\ZZx$ e in $\QQx$}
+\section{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
 
-\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in $\ZZpx$}
+\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}
 
 Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
 alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
@@ -178,7 +178,7 @@ verrà ripresa anche in seguito
     irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
 \end{example}
 
-\subsection{Alcuni irriducibili di $\ZZ_2[x]$}
+\subsection{Alcuni irriducibili di \texorpdfstring{$\ZZ_2[x]$}{Z\_2[x]}}
 
 Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
 un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso

Aritmetica/6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{I polinomi di un campo: $\KKx$}
+\section{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KKx$}{K[x]}}
 
 \subsection{Elementi preliminari}
 
@@ -89,7 +89,7 @@ ora invece la definizione di radice.
     quindi un UFD, \Lightning{}. Quindi le radici sono esattamente $k \leq n$, da cui la tesi.
 \end{proof}
 
-\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di $\KK$}
+\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
 
 Si illustra adesso un teorema che riguarda i sottogruppi
 moltiplicativi finiti di $\KK$, da cui conseguirà,
@@ -203,7 +203,7 @@ qualsiasi $p$ primo. \\
     Quindi $\card{X_d}>0$, e $G$ è ciclico.
 \end{proof}
 
-\subsection{Il quoziente $\KKx/(f(x))$}
+\subsection{Il quoziente \texorpdfstring{$\KKx/(f(x))$}{K[x]/(f(x))}}
 
 Nell'ambito dello studio delle radici di un polinomio,
 il quoziente $\KKx/(f(x))$ gioca un ruolo fondamentale.

Aritmetica/7. Estensioni algebriche di K.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Estensioni algebriche di $\KK$}
+\section{Estensioni algebriche di \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
 
 \subsection{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
 

Aritmetica/8. Campi di spezzamento.tex

@@ -51,3 +51,25 @@ Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamen
     isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
         si rimanda a TODO}.
 \end{remark*}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $A$ un campo e sia $B \supseteq A$ un campo di spezzamento
+    di $f(x) \in A[x]$ su $A$, con $f(x)$ non costante. Sia $\deg f(x) = n$.
+    Allora $[B : A] \leq n!$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $\lambda_1$, $\lambda_2,\,\ldots,$ $\lambda_n$ le radici
+    di $f(x)$. Allora $[\KK(\lambda_1) : \KK] \leq n$, dacché
+    $\lambda_1$ è radice di $f(x)$. \\
+    
+    Sia ora $f(x)=(x-\lambda_1)g(x)$, con $\deg g(x) = n-1$. Sicuramente
+    $\lambda_2$ è radice di $g(x)$, pertanto $[\KK(\lambda_1, \lambda_2) : \KK(\lambda_1)] \leq n-1$. Reiterando il ragionamento si può applicare infine il \nameref{th:torri}:
+    
+    \[ [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK] = [\KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) : \KK(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1})] \cdots [\KK(\lambda_1) : \KK] \leq 1 \cdot 2 \cdots n = n!, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+

Aritmetica/9. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in $\QQx$}
+\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[]}}
 
 Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
 fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda

Aritmetica/aritmetica.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
 \documentclass[11pt]{scrartcl}
-\usepackage[sexy]{evan}
+\usepackage{evan}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
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 \usepackage{algorithm2e}
@@ -19,96 +19,6 @@
 
 \addbibresource{bibliography.bib}
 
-\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
-\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
-
-\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
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-\newcommand{\corref}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
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-
-\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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-
-\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
-\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
-\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
-\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
-\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
-
-\let\oldemptyset\emptyset
-\let\emptyset\varnothing
-
-\let\oldcirc\circ
-\let\circ\undefined
-\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
-
-\let\oldexists\exists
-\let\exists\undefined
-\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
-
-\let\oldforall\forall
-\let\forall\undefined
-\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
-
-\let\oldnexists\nexists
-\let\nexists\undefined
-\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
-
-\let\oldland\land
-\let\land\undefined
-\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
-
-\let\oldlnot\lnot
-\let\lnot\undefined
-\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
-
-\let\oldlor\lor
-\let\lor\undefined
-\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
-
-\setlength\parindent{0pt}
-
 \begin{document}
 
 \title{L'Algebrario}
@@ -192,7 +102,13 @@
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage
 
-\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
+\include{10. Introduzione a teoria dei campi}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{11. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
 
 \newpage
 \thispagestyle{empty}

Aritmetica/bibliography.bib

@@ -6,7 +6,7 @@
   year={2013},
   publisher={Pisa University Press},
   shorthand={DM}
-},
+}
 @book{herstein2010algebra,
   title={Algebra},
   author={Herstein, I.N.},
@@ -14,19 +14,19 @@
   year={2010},
   publisher={Editori Riuniti University Press},
   shorthand={H}
-},
+}
 @Inbook{Remmert1991,
-author="Remmert, R.",
+  author="Remmert, R.",
-title="The Fundamental Theorem of Algebra",
+  title="The Fundamental Theorem of Algebra",
-bookTitle="Numbers",
+  bookTitle="Numbers",
-year="1991",
+  year="1991",
-publisher="Springer New York",
+  publisher="Springer New York",
-address="New York, NY",
+  address="New York, NY",
-pages="97--122",
+  pages="97--122",
-isbn="978-1-4612-1005-4",
+  isbn="978-1-4612-1005-4",
-doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
+  doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
-url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
+  url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
-},
+}
 @article{10.2307/2315810,
   ISSN = {00029890, 19300972},
   URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},

Aritmetica/evan.sty

@@ -12,16 +12,9 @@
 %                                                             \▓▓▓▓▓▓   %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
+% Original file:
 % https://github.com/vEnhance/dotfiles/blob/main/texmf/tex/latex/evan/evan.sty
 
-% ░█▄█░▄▀▄░█░░▒█░░░▀█▀░▄▀▄░░░█▒█░▄▀▀▒██▀
-% ▒█▒█░▀▄▀░▀▄▀▄▀▒░░▒█▒░▀▄▀▒░░▀▄█▒▄██░█▄▄
-%
-% If you don't know how to use this file, read:
-% +--------------------------------------------+
-% | https://web.evanchen.cc/faq-latex.html#L-4 |
-% +--------------------------------------------+
-%
 % TL;DR of the Boost license conditions are as follows:
 %
 % 1. Any SOURCE VERSIONS must cite evan.sty and the Boost license below.
@@ -62,145 +55,88 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \ProvidesPackage{evan}
-%%fakesection Argument processing
-% Default Arguments
-% We include "Evan" in all of these to make sure
-% that they don't collide with anything in external packages
-\newif\ifevanfancy\evanfancytrue
-\newif\ifevanhdr\evanhdrtrue
-\newif\ifevanhref\evanhreftrue
-\newif\ifevansetup\evansetuptrue
-\newif\ifevanthm\evanthmtrue
-\newif\ifevansecthm\evansecthmfalse
-\newif\ifevanht\evanhtfalse
-\newif\ifevanpkg\evanpkgtrue
-\newif\ifevanpdf\evanpdftrue
-\newif\ifevanauthor\evanauthortrue
-\newif\ifevanchinese\evanchinesefalse
-\newif\ifevanmdthm\evanmdthmfalse
-\newif\ifevandiagrams\evandiagramsfalse
-\newif\ifevanpatchasy\evanpatchasyfalse
-\newif\ifevanhints\evanhintsfalse
-\newif\ifevanasy\evanasytrue
-\newif\ifevancolorsec\evancolorsecfalse
-\newif\ifevantitlemark\evantitlemarktrue
-\newif\ifevanvonenabled\evanvonenabledfalse
-\newif\ifevanbritish\evanbritishtrue
-
-%Receive Arguments
-\DeclareOption{chinese}{\evanhreffalse\evanchinesetrue} % Chinese support
-% allow href to override this one
-
-\DeclareOption{sexy}{\evansecthmtrue\evanmdthmtrue\evancolorsectrue} % long docs
-
-\DeclareOption{fancy}{\evanfancytrue}
-\DeclareOption{nofancy}{\evanfancyfalse}
-\DeclareOption{hdr}{\evanhdrtrue}
-\DeclareOption{nohdr}{\evanhdrfalse}
-\DeclareOption{href}{\evanhreftrue}
-\DeclareOption{nohref}{\evanhreffalse}
-
-\DeclareOption{nosetup}{\evansetupfalse}
-\DeclareOption{thm}{\evanthmtrue}
-\DeclareOption{nothm}{\evanthmfalse}
-\DeclareOption{secthm}{\evansecthmtrue}
-\DeclareOption{nosecthm}{\evansecthmfalse}
-
-\DeclareOption{ht}{\evanhttrue}
-\DeclareOption{nopdf}{\evanpdffalse}
-\DeclareOption{nopkg}{\evanpkgfalse}
-\DeclareOption{noauthor}{\evanauthorfalse}
-\DeclareOption{titlemark}{\evantitlemarktrue} % Sets title in ohead, not \rightmark
-\DeclareOption{sectionmark}{\evantitlemarkfalse} % Uses \rightmark not title in ohead
-
-\DeclareOption{mdthm}{\evanmdthmtrue}
-\DeclareOption{nomdthm}{\evanmdthmfalse}
-\DeclareOption{diagrams}{\evandiagramstrue}
-\DeclareOption{nodiagrams}{\evandiagramsfalse}
-\DeclareOption{colorsec}{\evancolorsectrue}
-\DeclareOption{nocolorsec}{\evancolorsecfalse}
-
-\DeclareOption{patchasy}{\evanpatchasytrue}
-\DeclareOption{noasy}{\evanasyfalse}
-
-\DeclareOption{hints}{\evanhintstrue}
-\DeclareOption{von}{\evanvonenabledtrue}
-
-\DeclareOption{british}{\evanbritishtrue}
-\DeclareOption{american}{\evanbritishfalse}
 
 \ProcessOptions\relax
 
-% if packages not loaded, turn off mdthm and asy
-\ifevanpkg\else\evanmdthmfalse\fi
-\ifevanpkg\else\evanasyfalse\fi
-
-% If no setup, turn off theorems
-\ifevansetup\else\evanthmfalse\fi
-
-%%fakesection Some macros
-%Small commands
 \usepackage{amsmath,amssymb}
 \usepackage{iftex}
-\ifevanpkg
+\usepackage[minimal]{yhmath}
-  \usepackage[minimal]{yhmath}
+
-\fi
+\setlength\parindent{0pt}
+
+% Personal commands
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
+
+\newcommand{\corref}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
+\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}}
+\newcommand{\exmplref}[1]{\textit{Esempio \ref{#1}}}
+\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}}
+\newcommand{\lemref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
+\newcommand{\FFpp}{\mathbb{F}_p}
+\newcommand{\FFpd}{\mathbb{F}_{p^d}}
+\newcommand{\FFpm}{\mathbb{F}_{p^m}}
+\newcommand{\FFpn}{\mathbb{F}_{p^n}}
+\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_{p^{#1}}}
+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
+\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
+\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
+\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
+\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
+\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
+\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
+
+\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
+\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
+\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
+
+\newcommand{\valalpha}{\varphi_\alpha}
+\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
+\newcommand{\Frobexp}{\mathcal{F}{\mkern 1.5mu}}
+
+\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
+\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
+\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
+\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
+\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
+
+\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
+\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
+
+% evan.sty original commands
 \newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
 \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
 \newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
 \newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
-\newcommand{\ol}{\overline}
-\newcommand{\ul}{\underline}
-\newcommand{\wt}{\widetilde}
-\newcommand{\wh}{\widehat}
 \newcommand{\eps}{\varepsilon}
-%\renewcommand{\iff}{\Leftrightarrow}
-%\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}
 \newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
 \providecommand{\alert}{\vocab}
-\providecommand{\half}{\frac{1}{2}}
 \newcommand{\catname}{\mathsf}
-\newcommand{\hrulebar}{
-  \par\hspace{\fill}\rule{0.95\linewidth}{.7pt}\hspace{\fill}
-  \par\nointerlineskip \vspace{\baselineskip}
-}
 \providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
 
-%For use in author command
+% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
-\newcommand{\plusemail}[1]{\\ \normalfont \texttt{\mailto{#1}}}
-
-%More commands and math operators
-\DeclareMathOperator{\cis}{cis}
-\DeclareMathOperator*{\lcm}{lcm}
-\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg min}
-\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg max}
-
-%Convenient Environments
-\newenvironment{soln}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
-\newenvironment{parlist}{\begin{inparaenum}[(i)]}{\end{inparaenum}}
-\newenvironment{gobble}{\setbox\z@\vbox\bgroup}{\egroup}
-
-%Inequalities
-\newcommand{\cycsum}{\sum_{\mathrm{cyc}}}
-\newcommand{\symsum}{\sum_{\mathrm{sym}}}
-\newcommand{\cycprod}{\prod_{\mathrm{cyc}}}
-\newcommand{\symprod}{\prod_{\mathrm{sym}}}
-
-%From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
 \newcommand{\CC}{\mathbb C}
 \newcommand{\FF}{\mathbb F}
 \newcommand{\NN}{\mathbb N}
 \newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
 \newcommand{\RR}{\mathbb R}
 \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
-\newcommand{\charin}{\text{ char }}
-\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
 \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
 \DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
 \DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
 \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
-\DeclareMathOperator{\GL}{GL} % General linear group
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
-\DeclareMathOperator{\SL}{SL} % Special linear group
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
 
 %From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
 \newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
@@ -209,188 +145,82 @@
 \newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
 \newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
 
-%From M275 "Topology" at SJSU
+% From M275 "Topology" at SJSU
 \newcommand{\id}{\mathrm{id}}
 \newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
 \newcommand{\inv}{^{-1}}
 
-%From M170 "Introduction to Graph Theory" at SJSU
-\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
 \DeclareMathOperator{\ord}{ord}
 \newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
 
-%From the USAMO .tex files
+% From the USAMO .tex files
-\newcommand{\ts}{\textsuperscript}
 \newcommand{\dg}{^\circ}
-\newcommand{\ii}{\item}
-
-% From Math 55 and Math 145 at Harvard
-\newenvironment{subproof}[1][Proof]{%
-\begin{proof}[#1] \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}}%
-{\end{proof}}
 
 \newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
 \newcommand{\lthen}{\rightarrow}
 \newcommand{\opname}{\operatorname}
 \newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
 \newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
-\newcommand{\On}{\mathrm{On}} % ordinals
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
-\DeclareMathOperator{\img}{im} % Image
+\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
-\DeclareMathOperator{\Img}{Im} % Image
+\DeclareMathOperator{\Fix}{\textit{Fix}\,}
-\DeclareMathOperator{\coker}{coker} % Cokernel
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
-\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} % Cokernel
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
-\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} % Kernel
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
+\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
 \DeclareMathOperator{\rank}{rank}
-\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} % spectrum
+\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
-\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} % trace
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
-\DeclareMathOperator{\pr}{pr} % projection
+\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
-\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % extension
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
-\DeclareMathOperator{\pred}{pred} % predecessor
+
-\DeclareMathOperator{\dom}{dom} % domain
+\let\oldemptyset\emptyset
-\DeclareMathOperator{\ran}{ran} % range
+\let\emptyset\varnothing
-\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} % homomorphism
+
-\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} % morphisms
+\let\oldcirc\circ
-\DeclareMathOperator{\End}{End} % endomorphism
+\let\circ\undefined
-
+\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
-% Things Lie
+
-\newcommand{\kb}{\mathfrak b}
+\let\oldexists\exists
-\newcommand{\kg}{\mathfrak g}
+\let\exists\undefined
-\newcommand{\kh}{\mathfrak h}
+\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
-\newcommand{\kn}{\mathfrak n}
+
-\newcommand{\ku}{\mathfrak u}
+\let\oldforall\forall
-\newcommand{\kz}{\mathfrak z}
+\let\forall\undefined
-\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} % Ext functor
+\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
-\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} % Tor functor
+
-\newcommand{\gl}{\opname{\mathfrak{gl}}} % frak gl group
+\let\oldnexists\nexists
-\def\sl{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
+\let\nexists\undefined
-
+\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
-% More script letters etc.
+
-\newcommand{\SA}{\mathcal A}
+\let\oldland\land
-\newcommand{\SB}{\mathcal B}
+\let\land\undefined
-\newcommand{\SC}{\mathcal C}
+\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
-\newcommand{\SF}{\mathcal F}
+
-\newcommand{\SG}{\mathcal G}
+\let\oldlnot\lnot
-\newcommand{\SH}{\mathcal H}
+\let\lnot\undefined
-\newcommand{\OO}{\mathcal O}
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
-
+
-\newcommand{\SCA}{\mathscr A}
+\let\oldlor\lor
-\newcommand{\SCB}{\mathscr B}
+\let\lor\undefined
-\newcommand{\SCC}{\mathscr C}
+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
-\newcommand{\SCD}{\mathscr D}
+
-\newcommand{\SCE}{\mathscr E}
+\title{}
-\newcommand{\SCF}{\mathscr F}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\newcommand{\SCG}{\mathscr G}
+\date{\today}
-\newcommand{\SCH}{\mathscr H}
+
-
+\PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
-% Mathfrak primes
+\usepackage{xcolor}
-\newcommand{\km}{\mathfrak m}
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
-\newcommand{\kp}{\mathfrak p}
+\hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
-\newcommand{\kq}{\mathfrak q}
+\usepackage[nameinlink]{cleveref}
-
+
-%% Napkin commands
+\usepackage{amsthm}
-\newcommand{\prototype}[1]{
+\usepackage{thmtools}
-  \emph{{\color{red} Prototypical example for this section:} #1} \par\medskip
+\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
-}
+
-\newenvironment{moral}{%
+\mdfdefinestyle{mdbluebox}{%
-  \begin{mdframed}[linecolor=green!70!black]%
-  \bfseries\color{green!70!black}}%
-  {\end{mdframed}}
-
-%%fakesection Asymptote setup
-\ifevanasy
-  \ifevanpatchasy
-    \usepackage{patchasy}
-  \else
-    \usepackage{asymptote}
-  \fi
-  \begin{asydef}
-    defaultpen(fontsize(10pt));
-    size(8cm); // set a reasonable default
-    usepackage("amsmath");
-    usepackage("amssymb");
-    settings.tex="pdflatex";
-    settings.outformat="pdf";
-    // Replacement for olympiad+cse5 which is not standard
-    import geometry;
-    // recalibrate fill and filldraw for conics
-    void filldraw(picture pic = currentpicture, conic g, pen fillpen=defaultpen, pen drawpen=defaultpen)
-      { filldraw(pic, (path) g, fillpen, drawpen); }
-    void fill(picture pic = currentpicture, conic g, pen p=defaultpen)
-      { filldraw(pic, (path) g, p); }
-    // some geometry
-    pair foot(pair P, pair A, pair B) { return foot(triangle(A,B,P).VC); }
-    pair orthocenter(pair A, pair B, pair C) { return orthocentercenter(A,B,C); }
-    pair centroid(pair A, pair B, pair C) { return (A+B+C)/3; }
-    // cse5 abbreviations
-    path CP(pair P, pair A) { return circle(P, abs(A-P)); }
-    path CR(pair P, real r) { return circle(P, r); }
-    pair IP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[0]; }
-    pair OP(path p, path q) { return intersectionpoints(p,q)[1]; }
-    path Line(pair A, pair B, real a=0.6, real b=a) { return (a*(A-B)+A)--(b*(B-A)+B); }
-    // cse5 more useful functions
-    picture CC() {
-      picture p=rotate(0)*currentpicture;
-      currentpicture.erase();
-      return p;
-    }
-    pair MP(Label s, pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
-      Label L = s;
-      L.s = "$"+s.s+"$";
-      label(L, A, B, p);
-      return A;
-    }
-    pair Drawing(Label s = "", pair A, pair B = plain.S, pen p = defaultpen) {
-      dot(MP(s, A, B, p), p);
-      return A;
-    }
-    path Drawing(path g, pen p = defaultpen, arrowbar ar = None) {
-      draw(g, p, ar);
-      return g;
-    }
-  \end{asydef}
-\fi
-
-%%fakesection BEGIN MAIN SETUP
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\ifevansetup
-  %%fakesection Set up author and date
-  \ifevanauthor
-    \title{} % empty title to avoid crashes
-    \ifluatex
-      \author{Gabriel Antonio Videtta}
-    \else
-      \author{Gabriel Antonio Videtta}
-    \fi
-    \date{\today}
-  \fi
-  %%fakesection Hyperref
-  \ifevanpkg
-    \PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
-    \usepackage{xcolor}
-    \ifevanhref
-      \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
-      \hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
-    \fi
-    \usepackage[nameinlink]{cleveref}
-  \fi
-
-  %%fakesection New theorem styles
-  \ifevanthm
-    \usepackage{amsthm}
-    \usepackage{thmtools}
-  \fi
-  \ifevanmdthm
-    \ifevanthm
-      %% theorem packages loaded already
-    \else
-      \usepackage{amsthm}
-      \usepackage{thmtools}
-    \fi
-    \usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed}
-
-    \mdfdefinestyle{mdbluebox}{%
   roundcorner=10pt,
   linewidth=1pt,
   skipabove=12pt,
@@ -399,15 +229,15 @@
   linecolor=blue,
   nobreak=true,
   backgroundcolor=TealBlue!5,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\sffamily\bfseries\color{MidnightBlue},
   mdframed={style=mdbluebox},
   headpunct={\\[3pt]},
   postheadspace={0pt}
-    ]{thmbluebox}
+]{thmbluebox}
 
-    \mdfdefinestyle{mdbluebox2}{%
+\mdfdefinestyle{mdbluebox2}{%
   roundcorner=10pt,
   linewidth=1pt,
   skipabove=12pt,
@@ -416,15 +246,15 @@
   linecolor=blue,
   nobreak=true,
   backgroundcolor=BlueViolet!9,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\sffamily\bfseries\color{RoyalPurple},
   mdframed={style=mdbluebox2},
   headpunct={\\[3pt]},
   postheadspace={0pt}
-    ]{thmbluebox2}
+]{thmbluebox2}
 
-    \mdfdefinestyle{mdredbox}{%
+\mdfdefinestyle{mdredbox}{%
   linewidth=0.5pt,
   skipabove=12pt,
   frametitleaboveskip=5pt,
@@ -436,15 +266,15 @@
   nobreak=true,
   backgroundcolor=Salmon!5,
   linecolor=RawSienna,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\bfseries\color{RawSienna},
   mdframed={style=mdredbox},
   headpunct={\\[3pt]},
   postheadspace={0pt},
-    ]{thmredbox}
+]{thmredbox}
 
-    \mdfdefinestyle{mdredbox2}{%
+\mdfdefinestyle{mdredbox2}{%
   roundcorner=10pt,
   linewidth=1pt,
   skipabove=12pt,
@@ -453,15 +283,15 @@
   linecolor=red,
   nobreak=true,
   backgroundcolor=WildStrawberry!5,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\sffamily\bfseries\color{Maroon},
   mdframed={style=mdredbox2},
   headpunct={\\[3pt]},
   postheadspace={0pt}
-    ]{thmredbox2}
+]{thmredbox2}
 
-    \mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
+\mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
   skipabove=8pt,
   linewidth=2pt,
   rightline=false,
@@ -470,17 +300,17 @@
   bottomline=false,
   linecolor=ForestGreen,
   backgroundcolor=ForestGreen!5,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\bfseries\sffamily\color{ForestGreen!70!black},
   bodyfont=\normalfont,
   spaceabove=2pt,
   spacebelow=1pt,
   mdframed={style=mdgreenbox},
   headpunct={ --- },
-    ]{thmgreenbox}
+]{thmgreenbox}
 
-    \mdfdefinestyle{mdgreenbox2}{%
+\mdfdefinestyle{mdgreenbox2}{%
   roundcorner=10pt,
   linewidth=1pt,
   skipabove=12pt,
@@ -489,15 +319,15 @@
   linecolor=ForestGreen,
   nobreak=true,
   backgroundcolor=ForestGreen!5,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\sffamily\bfseries\color{ForestGreen!70!black},
   mdframed={style=mdgreenbox2},
   headpunct={\\[3pt]},
   postheadspace={0pt}
-    ]{thmgreenbox2}
+]{thmgreenbox2}
 
-    \mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
+\mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
   skipabove=8pt,
   linewidth=3pt,
   rightline=false,
@@ -506,16 +336,16 @@
   bottomline=false,
   linecolor=black,
   backgroundcolor=RedViolet!5!gray!10,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\bfseries,
   bodyfont=\normalfont\small,
   spaceabove=0pt,
   spacebelow=0pt,
   mdframed={style=mdblackbox}
-    ]{thmblackbox}
+]{thmblackbox}
 
-    \mdfdefinestyle{mdblackbox2}{%
+\mdfdefinestyle{mdblackbox2}{%
   skipabove=8pt,
   linewidth=3pt,
   rightline=false,
@@ -524,137 +354,69 @@
   bottomline=false,
   linecolor=gray,
   backgroundcolor=RedViolet!5!gray!10,
-    }
+}
-    \declaretheoremstyle[
+\declaretheoremstyle[
   headfont=\bfseries,
   bodyfont=\normalfont\small,
   spaceabove=0pt,
   spacebelow=0pt,
   mdframed={style=mdblackbox2}
-    ]{thmblackbox2}
+]{thmblackbox2}
-
+
-    \newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
+\newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
-  \fi
+
-
+\declaretheorem[%
-  %%fakesection Theorem setup
-  \ifevanthm
-    \theoremstyle{definition}
-    %Branching here: the option secthm changes theorems to be labelled by section
-    \ifevanmdthm
-      \ifevansecthm
-        \declaretheorem[%
   style=thmbluebox,name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
-      \else
+
-        \declaretheorem[%
+\declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
-        style=thmbluebox,name=Teorema]{theorem}
+\declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
-      \fi
+\declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+\declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
-      \declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+\declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
+\declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
-      \declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+\declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,sibling=theorem]{example}
-    \else
+\declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
-      \ifevansecthm
+\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
-        \declaretheorem[name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
+\declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,numbered=no]{definition*}
-      \else
+\declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
-        \declaretheorem[name=Teorema]{theorem}
+\declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
-      \fi
+\declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
-      \declaretheorem[name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+\declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
-      \declaretheorem[name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+\declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
-      \declaretheorem[name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+\declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
-      \declaretheorem[name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
+\declaretheorem[name=Asserzione,sibling=theorem]{fact}
-      \declaretheorem[name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+\declaretheorem[name=Asserzione,numbered=no]{fact*}
-      \declaretheorem[name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+\declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
-      \declaretheorem[name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+\declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
-    \fi
+\declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
-
+\declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
-    \ifevanmdthm
+
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
+\Crefname{claim}{Claim}{Claim}
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
+\Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
-    \else
+\Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizi}
-      \declaretheorem[name=Claim,sibling=theorem]{claim}
+\Crefname{fact}{Asserzione}{Asserzioni}
-      \declaretheorem[name=Claim,numbered=no]{claim*}
+\Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
-    \fi
+\Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
-
+
-    \ifevanmdthm
+\addtokomafont{partprefix}{\rmfamily}
-      \declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,sibling=theorem]{example}
+\renewcommand*{\partformat}{\color{purple}
-      \declaretheorem[style=thmredbox,name=Esempio,numbered=no]{example*}
-    \else
-      \declaretheorem[name=Esempio,sibling=theorem]{example}
-      \declaretheorem[name=Esempio,numbered=no]{example*}
-    \fi
-
-    % Remark-style theorems
-    %\theoremstyle{remark}
-    \ifevanmdthm
-      \declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
-      \declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,numbered=no]{definition*}
-      \declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
-      \declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
-    \else
-      \declaretheorem[name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
-      \declaretheorem[name=Definizione,numbered=no]{definition*}
-      \declaretheorem[name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
-      \declaretheorem[name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
-    \fi
-
-    \declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
-    \declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
-    \declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
-    \declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
-    \declaretheorem[name=Asserzione,sibling=theorem]{fact}
-    \declaretheorem[name=Asserzione,numbered=no]{fact*}
-    \declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
-    \declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
-    \declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
-    \declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
-
-    \ifevanpkg
-      \Crefname{claim}{Claim}{Claim}
-      \Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
-      \Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizi}
-      \Crefname{fact}{Asserzione}{Asserzioni}
-      \Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
-      \Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
-    \fi
-  \fi
-
-  %%fakesection Fancy section and chapter heads
-  \ifevancolorsec
-    \@ifundefined{KOMAClassName}{}{
-      \@ifundefined{chapter}{}{
-        \addtokomafont{partprefix}{\rmfamily}
-        \renewcommand*{\partformat}{\color{purple}
   \scalebox{2.5}{\thepart}\enlargethispage{2em}}
-        \addtokomafont{chapterprefix}{\raggedleft}
+
-        \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0.5em]{chapter}
+\renewcommand*{\sectionformat}%
-        \renewcommand*{\chapterformat}{\mbox{%
+{\color{purple}\S\thesection\enskip}
-          \scalebox{1.5}{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}}%
+\renewcommand*{\subsectionformat}%
-          \scalebox{2.718}{\color{purple}\thechapter}\enskip}}
+{\color{purple}\S\thesubsection\enskip}
-      }
+\renewcommand*{\subsubsectionformat}%
-      \renewcommand*{\sectionformat}%
+{\color{purple}\S\thesubsubsection\enskip}
-        {\color{purple}\S\thesection\enskip}
+\KOMAoptions{numbers=noenddot}
-      \renewcommand*{\subsectionformat}%
+
-        {\color{purple}\S\thesubsection\enskip}
+\usepackage{listings}
-      \renewcommand*{\subsubsectionformat}%
+\usepackage{mathrsfs}
-        {\color{purple}\S\thesubsubsection\enskip}
+\usepackage{textcomp}
-      \KOMAoptions{numbers=noenddot}
+\lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
-      %\usetocstyle{KOMAlike}
-    }
-  \fi
-
-
-  %%fakesection Loads a bunch of useful packages (but allow disabling)
-  \ifevanpkg
-    \ifevanvonenabled
-      \IfFileExists{von.sty}{\usepackage{von}}{}
-    \fi
-    \usepackage{listings}
-    \usepackage{mathrsfs}
-    \usepackage{textcomp}
-    \lstset{basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
   backgroundcolor=\color{green!2!white},
   breakatwhitespace=true,
   breaklines=true,
@@ -672,156 +434,39 @@
   showstringspaces=false,
   stringstyle=\color{orange},
   tabsize=4,
-    } % chktex 6
+}
-    \lstdefinelanguage{gitcommit}{
+
-      alsoletter={:},
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
-      morecomment=[l]{|},
+\usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
-      morekeywords={commit,Author:,Date:,chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
+\usepackage{textcomp}
-      sensitive=true,
+\usepackage{multirow}
-    }
+\usepackage{ellipsis}
-    \lstdefinelanguage{gitlog}{
+\usepackage{mathtools}
-      morekeywords={chore,doc,edit,feat,fix,polish,style,tests,},
+\usepackage{microtype}
-      morecomment=[s]{[}{]}, % chktex 9
+\usepackage{xstring}
-      sensitive=true,
+\usepackage{wrapfig}
-    }
+
-
+\addtokomafont{subtitle}{\Large}
-    \usepackage[shortlabels]{enumitem}
+\setkomafont{author}{\Large\scshape}
-    \usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
+\setkomafont{date}{\Large\normalsize}
-    \usepackage{textcomp}
+
-    \usepackage{multirow}
+\providecommand{\thetitle}{\@title}
-    \usepackage{ellipsis} % don't use ugly unicode ellipsis
+\providecommand{\theauthor}{\@author}
-    % Tiny optimizations:
+\providecommand{\thedate}{\@date}
-    \usepackage{mathtools}
+
-    \usepackage{microtype}
+\usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
-    \usepackage{xstring}
+\renewcommand{\headfont}{}
-    \usepackage{wrapfig}
+\addtolength{\textheight}{3.14cm}
-    \ifevanbritish\usepackage[cleanlook,british]{isodate}\fi % day-first date
+\setlength{\footskip}{0.5in}
-
+\setlength{\headsep}{10pt}
-    % a list I like for walkthrough's --- Drew-style parts
+
-    \newlist{walk}{enumerate}{3}
+\ihead{\footnotesize\textbf{\rightmark}}
-    \setlist[walk]{label=\bfseries (\alph*)}
+\ohead{\footnotesize\textit{\thetitle}}
-    % list item for MO style rubrics
+
-    \newcommand{\worth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
+\automark{section}
-      \IfEq{#1}{0}{\textbf{0~points}}%
+\chead{}
-      {\textbf{\color{blue}#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
+\cfoot{\pagemark}
-      \par}
+
-    \newcommand{\subworth}[1]{\def\hfill{\hskip 20pt plus 1fill}\dotfill%
+\hfuzz=\maxdimen
-      \IfEq{#1}{0}{{\footnotesize0~points}}%
+\tolerance=10000
-      {\textbf{\footnotesize#1~point\IfEndWith{#1}{1}{}{s}}}%
+\hbadness=10000
-      \par}
-    \newlist{rubric}{enumerate}{2}
-    \setlist[rubric,1]{label=\Roman*.}
-    \setlist[rubric,2]{label=(\Roman{rubrici}.\alph*)}
-  \fi
-
-  %%fakesection \maketitle configuration
-  \@ifundefined{KOMAClassName}%
-    {} % do nothing outside KOMA class
-    {% If KOMA exists. . .
-    \addtokomafont{subtitle}{\Large}
-    \setkomafont{author}{\Large\scshape}
-    \setkomafont{date}{\Large\normalsize}
-    }
-  \providecommand{\thetitle}{\@title}
-  \providecommand{\theauthor}{\@author}
-  \providecommand{\thedate}{\@date}
-
-  %%fakesection Commutative diagrams support
-  \ifevandiagrams
-    \usepackage{tikz-cd}
-    \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
-  \fi
-
-  %%fakesection Page setup
-  \ifevanfancy
-    \@ifundefined{KOMAClassName}
-    {
-      \usepackage{fancyhdr}
-      \setlength{\headheight}{0.75in}
-      \setlength{\oddsidemargin}{0in}
-      \setlength{\evensidemargin}{0in}
-      \setlength{\voffset}{-1.0in}
-      \setlength{\headsep}{10pt}
-      \setlength{\textwidth}{6.5in}
-      \setlength{\headwidth}{6.5in}
-      \setlength{\textheight}{8.75in}
-      \setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
-      \setlength{\footskip}{0.3in}
-      \ifevanhdr
-        \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
-        \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}
-        \pagestyle{fancy}
-        \lhead{Gabriel Antonio Videtta}
-        \chead{}
-        \rhead{\nouppercase{\leftmark}}
-        \lfoot{}
-        \cfoot{\thepage}
-        \rfoot{}
-      \fi
-    }
-    {
-      \usepackage[headsepline]{scrlayer-scrpage}
-      \renewcommand{\headfont}{}
-      \addtolength{\textheight}{3.14cm}
-      \setlength{\footskip}{0.5in}
-      \setlength{\headsep}{10pt}
-      \ihead{\footnotesize\textbf{\theauthor} --- \thedate}
-      \automark{section}
-      \chead{}
-      \ohead{\footnotesize\textbf{\thetitle}}
-      \cfoot{\pagemark}
-    }
-  \fi
-
-  %%fakesection Unicode
-  \ifevanpkg
-    \ifluatex
-      \usepackage{fontspec}
-      % https://tex.stackexchange.com/a/572220/76888
-      \directlua{luaotfload.add_fallback
-        ("evans_fallbacks",
-          {
-            "NotoColorEmoji:mode=harf;",
-            "Source Han Sans TW:style=Regular;",
-            "Noto Serif CJK SC:style=Regular;",
-          }
-        )}
-      \setmainfont{lmroman10-regular}[
-        BoldFont=lmroman10-bold,
-        ItalicFont=lmroman10-italic,
-        BoldItalicFont=lmroman10-bolditalic,
-        SlantedFont=lmromanslant10-regular,
-        BoldSlantedFont=lmromanslant10-bold,
-        SmallCapsFont=lmromancaps10-regular,
-        RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
-      ]
-      \setsansfont{lmsans10-regular}[
-        BoldFont=lmsans10-bold,
-        ItalicFont=lmsans10-oblique,
-        BoldItalicFont=lmsans10-boldoblique,
-        RawFeature={fallback=evans_fallbacks}
-      ]
-    \else
-      \ifevanchinese
-        \usepackage[italian]{babel}
-        \usepackage[encapsulated]{CJK}
-        \usepackage{ucs}
-        \usepackage[utf8x]{inputenc}
-        \newenvironment{bsmi}{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}{\end{CJK}}
-        \newcommand{\cn}[1]{\begin{bsmi}#1\end{bsmi}}
-        \AtBeginDocument{\begin{CJK}{UTF8}{bsmi}}
-        \AtEndDocument{\end{CJK}}
-      \fi
-    \fi
-  \fi
-
-  %%fakesection Hints
-  \ifevanhints
-    \usepackage{answers}
-    \Newassociation{hint}{hintitem}{hints}
-    \renewcommand{\solutionextension}{out}
-    \Opensolutionfile{hints}
-    \newcommand{\makehints}{\Closesolutionfile{hints}\input{hints.out}} % chktex 27
-  \fi
-%%fakesection END MAIN SETUP
-\fi