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\section{Introduzione alla teoria dei campi}
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\subsection{La caratteristica di un campo}
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Si consideri il seguente omomorfismo:
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\[ \psi : \ZZ \to \KK, \]
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completamente determinato dalla condizione $\psi(1) = 1$, dacché
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$\ZZ$ è generato da $1$. Si studia innanzitutto il caso in cui
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$\Ker \psi = (0)$. In questo caso, $\psi$ è un monomorfismo, e per
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il \corref{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}, $\ZZ \cong \Imm \psi$. \\
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Pertanto, $\KK$ ammetterebbe come sottoanello una copia isomorfa di $\ZZ$.
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Inoltre, poiché $\KK$ è un campo, deve anche ammetterne gli inversi, e quindi
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ammetterebbe come sottocampo una copia isomorfa di $\QQ$. La seguente
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definizione classificherà questi tipi di campo. \\
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\begin{definition}
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Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica zero} ($\Char \KK = 0$),
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quando $\Ker \psi = (0)$.
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\end{definition}
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Altrimenti, se $\Ker \psi \neq (0)$, dacché $\ZZ$ è un anello euclideo,
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$\Ker \psi$ deve essere monogenerato da un intero $n$, ossia $\Ker \psi = (n)$. \\
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Tuttavia non tutti gli interi sono ammissibili. Sia infatti $n$ non primo, allora
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$n = ab$ con $a$, $b \neq \pm 1$. Si nota innanzitutto che $\psi(a) \neq 0$,
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se infatti fosse nullo, $n$ dovrebbe dividere $a$, impossibile dal momento
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che $\card{a} < \card{n}$, \Lightning{}. Analogamente anche $\psi(b) \neq 0$. \\
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Se $n$ fosse generatore di $\Ker \psi$ si ricaverebbe allora che:
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\[ \underbrace{\psi(a)}_{\neq\,0} \underbrace{\psi(b)}_{\neq\,0} = \psi(n) = 0, \]
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\vskip 0.1in
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che è assurdo, dal momento che $\KK$, in quanto campo, è anche un dominio.
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Quindi $n$ deve essere un numero primo. In particolare, allora, per
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il \nameref{th:primo_isomorfismo}, $\ZZp = \ZZ/(p) \cong \Imm \psi$,
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ossia $\KK$ contiene una copia isomorfa di $\ZZp$, a cui ci riferiremo
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semplicemente con $\FFpp$. \\
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Allora, poiché sia $\KK$ che $\FFpp$ sono campi, $\KK$ è uno spazio
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vettoriale su $\FFpp$. Si può dunque classificare quest'ultimo tipo di
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campi con la seguente definizione:
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\begin{definition}
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Si dice che un campo $\KK$ è di \textbf{caratteristica $p$} ($\Char \KK = p$)
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quando $\Ker \psi = (p)$, con $p$ primo.
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\end{definition}
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\begin{remark*}
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La caratteristica di un campo \textbf{non} distingue i campi finiti
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dai campi infiniti. Esistono infatti campi infiniti di caratteristica
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$p$, come il campo delle funzioni razionali su $\ZZp$:
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\[ \ZZ_p(x) = \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \mid f(x),\, g(x) \in \ZZpx,\, g(x) \neq 0 \right\}. \]
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\vskip 0.1in
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Infatti $\psi(p) = p \, \psi(1) = 0$.
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\end{remark*}
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\subsection{Prime proprietà dei campi di caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}
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Come si è appena visto, un campo $\KK$ di caratteristica $p$ contiene
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al suo interno un sottocampo $\FFpp$ isomorfo a $\ZZp$, ed è per questo
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uno spazio vettoriale su di esso. A partire da questa informazione si
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può dimostrare la seguente proposizione.
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\begin{proposition}
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\label{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}
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Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$. Allora, per ogni
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elemento $v$ di $\KK$, $pv=0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Considerando ogni elemento di $\KK$ come vettore e $p$ come
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scalare, si ricava che:
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\[ pv=(\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ volte}})v=
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(\underbrace{\psi(1)+\ldots+\psi(1)}_{p\text{ volte}})v=
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\psi(p)v=0v=0. \]
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\end{proof}
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Mentre, partendo da questa proposizione, si può dimostrare il
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seguente teorema.
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\begin{theorem}[\textit{Teorema del binomio ingenuo}]
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\label{th:binomio_ingenuo}
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Siano $a$ e $b$ elementi di un campo di caratteristica $p$. Allora
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$(a+b)^p = a^p + b^p$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per dimostrare la tesi si applica la formula del binomio di Newton
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nel seguente modo:
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\[ (a+b)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} a^{p-i}b^p. \]
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\vskip 0.1in
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Tuttavia, dal momento che $p$ è un fattore di tutti i binomiali per
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$1 \leq i \leq p-1$, tutti i termini computati con queste $i$
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sono nulli per la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
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Si desume così l'identità della tesi.
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\end{proof}
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\subsection{L'omomorfismo di Frobenius}
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\begin{definition}
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Dato un campo $\KK$ di caratteristica $p$, si definisce
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\textbf{omomorfismo di Frobenius} per il campo $\KK$
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la funzione:
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\[ \Frob : \KK \to \KK,\, a \mapsto a^p. \]
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\end{definition}
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\begin{remark*}
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In effetti, l'omomorfismo di Frobenius è un omomorfismo. \\
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Infatti, $\Frob(1) = 1^p = 1$. Inoltre tale funzione
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rispetta la linearità per il \nameref{th:binomio_ingenuo}:
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\[ \Frob(a + b) = (a+b)^p = a^p + b^p = \Frob(a) + \Frob(b), \]
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\vskip 0.1in
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e chiaramente anche la moltiplicatività:
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\[ \Frob(ab) = (ab)^p = a^p b^p = \Frob(a) \Frob(b). \]
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\end{remark*}
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\begin{proposition}
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\label{prop:frobenius_monomorfismo}
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L'omomorfismo di Frobenius di un campo $\KK$ di caratteristica
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$p$ è un monomorfismo.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si prenda in considerazione $\Ker \Frob$. Esso è sicuramente
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un ideale diverso da $\KK$, dacché $1 \notin \Ker \Frob$.
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Tuttavia, se $\Ker \Frob \neq (0)$, $\Ker \Frob$, dal
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momento che $\KK$, in quanto campo, è un anello euclideo,
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e quindi un PID, è monogenerato da un invertibile. \\
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Se però così fosse, $\Ker \Frob$ coinciderebbe con il
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campo $\KK$ stesso, \Lightning{}. Quindi $\Ker \Frob = (0)$,
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da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $\KK$ un campo finito di caratteristica $p$. Allora
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l'omomorfismo di Frobenius è un automorfismo.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Dalla \propref{prop:frobenius_monomorfismo} è noto che
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$\Frob$ sia già un monomorfismo. Dal momento che
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il dominio e il codominio sono lo stesso e constano
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entrambi dunque di un numero finito di elementi,
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se $\Frob$ non fosse surgettivo, vi sarebbe un elemento
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di $\KK$ a cui non è associato nessun elemento di $\KK$
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mediante $\Frob$. \\
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Per il principio dei cassetti, allora, spartendo
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$\card{\KK}$ elementi in $\card{\KK}-1$ elementi,
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vi sarebbe almeno un elemento dell'immagine a cui
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sarebbero associati due elementi del dominio. Tuttavia
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questo è assurdo dal momento che $\Frob$ è un
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monomorfismo. Quindi $\Frob$ è un epimorfismo. \\
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Dacché $\Frob$ è contemporaneamente un endomorfismo,
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un monomorfismo e un epimorfismo, è allora anche
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un automorfismo.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\label{prop:punti_fissi_frobenius_campo}
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Sia $\KK$ un campo di caratteristica $p$ e si
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definisca l'insieme dei punti fissi del suo
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omomorfismo di Frobenius:
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\[ \Fix(\Frobexp^n) = \{ a \in \KK \mid \Frobexp^n(a) = a \} .\]
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\vskip 0.1in
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Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un sottocampo di $\KK$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Affinché $\Fix(\Frobexp^n)$ sia un sottocampo di $\KK$,
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la sua somma e la sua moltiplicazione devono essere ben
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definite, e ogni suo elemento deve ammettere un inverso
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sia additivo che moltiplicativo. \\
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Siano allora $a$, $b \in \Fix(\Frobexp^n)$.
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$\Frobexp^n$ è un omomorfismo, in quanto è composizione
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di omomorfismi (in particolare, dello stesso omomorfismo
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$\Frobexp$). Sfruttando le proprietà
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degli omomorfismi si dimostra dunque
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che $a+b \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(a+b) = \Frobexp^n(a) + \Frobexp^n(b) = a+b, \]
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\vskip 0.1in
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e che $ab \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(ab) = \Frobexp^n(a)\Frobexp^n(b) = ab. \]
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\vskip 0.1in
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Analogamente si dimostra che $-a \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(-a) = -\Frobexp^n(a) = -a, \]
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\vskip 0.1in
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e che $a\inv \in \Fix(\Frobexp^n)$:
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\[ \Frobexp^n(a\inv) = \Frobexp^n(a)\inv = a\inv. \]
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\end{proof}
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\subsection{Classificazione dei campi finiti}
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\begin{theorem}
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Ogni campo finito $\KK$ di caratteristica $p$ consta
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di $p^n$ elementi, con $n \in \NN^+$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Come già detto precedentemente, $\KK$ è uno
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spazio vettoriale su una copia isomorfa di $\ZZp$,
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$\FFpp$. \\
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Si consideri allora il grado $[\KK : \FFpp]$. Sicuramente
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questo grado non è infinito, dal momento che $\KK$ non
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ha infiniti elementi. Quindi $[\KK : \FFpp] = n \in \NN$. \\
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Sia dunque $(k_1, k_2, \ldots, k_n)$ una base di $\KK$
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su $\FFpp$. Ogni elemento $a$ di $\KK$ si potrà dunque scrivere
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come:
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\[ a = \alpha_1 k_1 + \ldots + \alpha_n k_n, \quad \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \FFpp,\]
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\vskip 0.1in
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e dunque vi saranno in totale $p^n$
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elementi, dove ogni $p$ è contato dal numero di elementi che è
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possibile associare ad ogni coefficiente, ossia $\card{\FFpp} = p$,
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per il numero di elementi appartenenti alla base, ossia $[\KK : \FFpp] =
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n$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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Per ogni $n \in \NN^+$ e per ogni numero primo $p$ esiste un
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campo finito con $p^n$ elementi.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri il polinomio $x^{p^n}-x$ su $\ZZp$ e un suo
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campo di spezzamento $A$. $\Fix(\Frobexp^n)$, per
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la \propref{prop:punti_fissi_frobenius_campo}, è
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un sottocampo, e
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contiene esattamente le radici di $x^{p^n}-x$, che
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in $A$ si spezza in fattori lineari, per definizione. \\
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La derivata di $x^{p^n}-x$ è $p^n x^{p^n - 1}-1 \equiv -1$,
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dacché $A$ è uno spazio vettoriale su $\ZZp$, e pertanto
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vale ancora la \propref{prop:campo_char_p_prodotto_per_p}.
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Dal momento che $-1$ e $x^{p^n}-x$ non hanno fattori lineari
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in comune, per il \textit{Criterio della derivata},
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$x^{p^n}-x$ non ammette radici multiple. \\
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Allora $\Fix(\Frobexp^n)$ è un campo con $p^n$ elementi,
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ossia tutte le radici di $x^{p^n}-x$ (e coincide quindi
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con il campo di spezzamento $A$), da cui la tesi.
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\end{proof}
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