A queste operazioni è associato il prodotto a sinistra per delle particolari matrici.
In particolare, l'operazione di scambio della riga $i$-esima con quella $j$-esima corrisponde alla moltiplicazione a sinistra per la matrice $S_{i,j}$, dove:
In particolare, l'operazione di scambio della riga $i$-esima con quella $j$-esima corrisponde alla moltiplicazione a sinistra per la matrice $S_{i,j}$, detta matrice
Per esempio, scambiare due righe in una matrice $2\times2$ corrisponde a
In particolare, la stessa matrice $S_{i,j}$ si ottiene scambiando la riga $i$-esima e la $j$-esima. Per esempio, scambiare due righe in una matrice $2\times2$ corrisponde a
moltiplicare a sinistra per $S_{1,2}$, dove:
\[S_{1,2}=\begin{pmatrix}
@ -573,19 +574,26 @@
1 & 0 \\
\end{pmatrix}\]
All'operazione di moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo corrisponde invece la matrice:
All'operazione di moltiplicazione della riga $i$-esima per uno scalare $\lambda\neq0$ corrisponde invece la matrice $M_{i, \lambda}$, detta elementare di dilatazione, dove:
All'operazione di somma di un multiplo non nullo di una riga ad un'altra riga distinta corrisponde invece la matrice:
All'operazione di somma della riga $j$-esima moltiplicata per $\lambda\neq0$ alla riga $i$-esima corrisponde invece la matrice $M_{i,j,\lambda}$, detta elementare di trasvezione (o di tosatura, dall'inglese \textit{shear matrix}), dove:
\[M_{i,j,\lambda}=I_n+\lambda E_{i,j}.\]
Tutte queste matrici sono invertibili ed in particolare valgono le seguente relazioni:
Se $\lambda\neq0$, tutte queste matrici sono invertibili ed in particolare valgono le seguente relazioni:
\item$S_{i,j}^{-1}=S_{i,j}$, da cui si osserva che l'inversa di una matrice elementare di permutazione è ancora una matrice dello stesso tipo),
\item$M_{i,\lambda}^{-1}=M_{i,\frac{1}{\lambda}}$, come sopra,
\item$M_{i,j,\lambda}^{-1}=M_{i,j,-\lambda}$, come sopra,
\item$M_{i,\lambda}= M_{i, i, \lambda-1}$,
\item$M_{i,j,\lambda}^{-1}=M_{i,j,-\lambda}$.
\item le matrici elementari generano il gruppo delle matrici invertibili $\GL(n, \KK)$, ossia ogni matrice
invertibile si scrive come prodotto di matrici elementari (è sufficiente
applicare l'algoritmo di eliminazione di Gauss per righe su $A \in\GL(n, \KK)$ e
osservare che ne deve risultare obbligatoriamente una matrice diagonale che,
normalizzata sugli elementi, restituisce esattamente $I_n$; allora poiché applicare l'algoritmo
equivale a moltiplicare a sinistra per delle matrici elementari $\mathcal{E}_1$, ..., $\mathcal{E}_k$, si verifica che $\mathcal{E}_1\cdots\mathcal{E}_k A = I_n \implies A =\mathcal{E}_k \inv\cdots\mathcal{E}_1\inv$, dove si
conclude la dimostrazione osservando che l'inversa di una matrice elementare
è ancora una matrice elementare).
\end{itemize}
Queste operazioni non variano né $\Ker A$ né $\rg(A)$. Permettendo di variare $\Ker A$ si possono effettuare le stesse medesime operazioni
@ -593,8 +601,7 @@
invariato $\Im A$, e quindi $\rg(A)$): tali operazioni corrispondono a moltiplicare a destra per una matrice invertibile, analogamente a come accade per le righe. \\
Le matrici per cui si moltiplica a destra per operare sulle colonne sono esattamente le stesse matrici impiegate
per le operazioni di riga, sebbene trasposte. In particolare le matrici di scambio
di riga e di moltiplicazione per uno scalare coincidono. Pertanto, se $A$ è una matrice simmetrica (i.e.~se $A \in\Sym(n, \KK)$), operare mediante le stesse
per le operazioni di riga, sebbene trasposte (e quindi sono ancora matrici elementari). In particolare le matrici elementari di permutazione (per scambiare le righe) e di dilatazione (per moltiplicare una riga per uno scalare non nullo) coincidono. Pertanto, se $A$ è una matrice simmetrica (i.e.~se $A \in\Sym(n, \KK)$), operare mediante le stesse
operazioni sulle righe e sulle colonne permette di individuare matrici congruenti
ad $A$.
@ -2121,7 +2128,7 @@
Si definisce \textit{stabilizzatore} di $x \in X$ il sottogruppo di $G$$\Stab_G(x)$
tale che:
\[\Stab_G(x)=\{g\in G | g \cdot x=x\}, \]
\[\Stab_G(x)=\{g\in G \mid g \cdot x=x\}, \]
dove si scrive $\Stab(x)$ per indicare $\Stab_G(x)$ qualora non fosse ambigua
l'azione a cui ci si riferisce. \\
@ -2143,7 +2150,7 @@
\begin{enumerate}
\item$\GL(n,\KK)$ opera su $M(n,\KK)$ tramite la similitudine e le orbite sono le classi di matrici simili, rappresentate dalle forme canoniche di Jordan,
\item$\GL(n,\KK)$ opera su $\Sym(n,\KK)$ tramite la congruenza e le orbite sono le classi di matrici congruenti, rappresentate in $\RR$ dalle matrici diagonali con $1$, $-1$ e $0$ come elementi, e in $\CC$ dalle stesse matrici rappresentanti delle classi
di equivalenza della SD-equivalenza,
di equivalenza della SD-equivalenza, ossia le matrici del tipo $I_r^{m \times n}$,
\item$O_n$ agisce naturalmente su $\RR^n$ e l'orbita di $\vec x \in\RR^n$ è la sfera di raggio $\norm{\vec x}$ secondo il prodotto scalare standard di $\RR^n$.
\end{enumerate}
@ -2167,7 +2174,8 @@
Si dice che $G$ opera in maniera \textit{semplicemente transitiva} su $X$ se opera transitivamente e liberamente su $X$; in tal caso si dice che $X$ è un insieme $G$-omogeneo principale. Equivalentemente $G$ opera in maniera semplicemente transitiva se $\exists x\in X$ t.c.~$g\rightarrow g \cdot x$ è una bigezione.
Se $X$ è un insieme $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$$\iff$$X$ è $G$-insieme omogeneo principale.
Se $X$ è un insieme $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$$\iff$$X$ è $G$-insieme omogeneo principale (per dimostrare l'implicazione a destra è sufficiente mostrare che, se $x \in X$, $g \in\Stab(x)\implies f_g =\IdV{X}$, da cui si conclude
che $g = e$ per la fedeltà dell'azione).
\subsection{Proprietà generali di uno spazio affine}
Si dice spazio affine $E$ un qualcune insieme $V$-omogeneo principale, dove
