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Geometria 1/4. Prodotto scalare e hermitiano/I prodotti di uno spazio vettoriale/1. Introduzione al prodotto scalare.tex

@@ -849,13 +849,13 @@ Si osserva infine che, se $V = \RR^3$ e $\basis$ ne è la base canonica, i coni
 \begin{proof}
 	Sia $\basis$ una base di Sylvester per $V$. In particolare, detto $k := \dim V^\perp$; sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv{n-k}, \uu 1, \ldots, \uu k \}$ ordinata in modo tale che $\vv i$ non
 	sia isotropo per $1 \leq i \leq n-k$ e che $\uu i$ sia invece isotropo per
-	$1 \leq i \leq k$. Si costruisca allora la base $\basis' = \{\vv 1 ' := \vv 1 + i \vv 2, \, \vv 2 ' := \vv 3 + i \vv 4, \ldots, \uu 1, \ldots, \uu k\}$ ottenuta prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di
+	$1 \leq i \leq k$. Si costruisca allora l'insieme $\basis' = \{\vv 1 ' := \vv 1 + i \vv 2, \, \vv 2 ' := \vv 3 + i \vv 4, \ldots, \uu 1, \ldots, \uu k\}$ ottenuta prendendo in ordine quante più coppie distinte possibili di
 	vettori $\vec i$ e aggiungendo al vettore con indice minore della coppia il vettore
 	con indice maggiore moltiplicato per $i$. In questo modo si è costruita un insieme linearmente indipendente
 	contenente $\floor{\frac{n-k}{2}} + k = \floor{\frac{\dim V - \dim V^\perp}{2}} + \dim V^\perp = \floor{\frac{\dim V + \dim V^\perp}{2}}$. \\
 	
 	Sia allora $W = \Span(\basis')$. I vettori della forma $\uu i$ con $1 \leq i \leq k$ sono
-	chiaramente già ortogonali con gli altri vettori della base. Si consideri allora
+	chiaramente già ortogonali con gli altri vettori della base $\basis'$ di $V$. Si consideri allora
 	il prodotto $\varphi(\vv i', \vv j')$. Se $i \neq j$, il prodotto ha argomenti tra di
 	loro già ortogonali per costruzione di $\basis$; se invece $i = j$, detto $\vv i' = \vv s + i \vv {s+1}$ con $s \in \NN$, $\varphi(\vv i', \vv i') = \varphi(\vv s, \vv s) - \varphi(\vv {s+1}, \vv {s+1}) = 1 - 1 = 0$. Allora $M_{\basis'}(\restr{\varphi}{W}) = 0 \implies \restr{\varphi}{W} = 0$. Pertanto $W$ è un sottospazio isotropo di dimensione
 	$\floor{\frac{\dim V + \dim V^\perp}{2}}$. Poiché per la \textit{Proposizione \ref{prop:disuguaglianza_sottospazio_isotropo}} tale dimensione maggiora tutte le