\begin{note} Qualora non specificato diversamente, si intenderà per
$E$ uno spazio affine sullo spazio vettoriale $V$ e
per $E'$ uno spazio affine sullo spazio vettoriale $V'$, dove sia $V$ che $V'$ sono costruiti
sul campo $\KK$.
\end{note}
Fissato un origine $O$ dello spazio affine, si possono sempre considerare due
bigezioni:
@ -180,6 +188,26 @@
sé stesso.
\end{remark}
\begin{definition} [riferimento affine] Sia $D \subseteq E$ un sottospazio affine di $E$ di dimensione $k-1$.
Siano i punti $P_1$, ..., $P_k$ dei punti affinemente indipendenti. Allora
si dice che tali punti formano un \textbf{riferimento affine} di $D$.
\end{definition}
\begin{definition} [coordinate affini] Sia $D \subseteq E$ un sottospazio affine di $E$ di dimensione $k-1$
e siano i punti $P_1$, ..., $P_k$ un riferimento affine $R$ di $D$. Allora, se $P =\lambda_1 P_1+\ldots+\lambda_k P_k \in D$ con $\lambda_1+\ldots+\lambda_k =1$, si dice che le \textbf{coordinate affine}
di $P$ sono rappresentate dal punto $[P]_\basis$, dove:
\li Esiste sempre un riferimento affine di un sottospazio affine $D$ di $E$. Infatti, dato un punto $P_1$
di $E$, e una base $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv k\}$ della direzione $D_0$, i punti $P_1$, $P_1+\vv1$, ...,
$P_1+\vv k$ formano un riferimento affine. \\
\li Dalla definizione sopra si deduce che, scelto un riferimento affine $R$, esiste una mappa iniettiva $[\cdot]_R : D \to\AnK$, dove l'immagine di $P$ mediante $[\cdot]_R$ è esattamente il vettore
contenente le coordinate affini di $P$.
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $E =\AnK$. Allora i punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo
se i vettori $\hat P_1=\Vector{P_1\\\hline1}$, ..., $\hat P_k =\Vector{P_k \\\hline1}$ sono
Poiché i punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti, per la proposizione precedente,
allora i vettori $P_2- P_1$, ..., $P_k - P_1$ sono linearmente indipendenti, per cui $\lambda_2=\cdots=\lambda_k =0$. Pertanto anche $\lambda_1=0$, e quindi i vettori $\hat P_1$, ..., $\hat P_k$ sono
linearmente indipendenti. \\
@ -208,34 +238,90 @@
che $\lambda_1+\ldots+\lambda_k =0$ e che $\lambda_1 P_1+\ldots+\lambda_k P_k =0$,
da cui si deduce che $\lambda_1\hat P_1+\ldots+\lambda_k \hat P_k =0$. Dal momento
però che $\hat P_1$, ..., $\hat P_k$ sono linearmente indipendenti, $\lambda_2=\cdots=\lambda_k =0$,
da cui la tesi.
da cui la tesi, per la proposizione precedente.
\end{proof}
Se si impone $\lambda_i \geq0$, si definisce che la
combinazione è una combinazione convessa. Si definisce
baricentro il punto con $\lambda_i =\frac{1}{n}$.
\begin{definition} [combinazione convessa]
Si dice che una combinazione affine $\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ nei punti $P_1$, ..., $P_k$ con
$\sum_{i=1}^k \lambda_i =1$ è
una \textbf{combinazione convessa} se $\lambda_i \geq0$$\forall1\leq i \leq k$.
\end{definition}
\begin{definition} [baricentro]
Si definisce \textbf{baricentro} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ la combinazione convessa
$\sum_{i=1}^k \frac{1}{k} P_i$.
\end{definition}
\begin{definition} [inviluppo convesso] Si dice $\IC(S)$ di un insieme
$S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse di $S$ (finite).
%TODO: dimostrare che è un insieme convesso
\begin{definition} [inviluppo convesso] Si definisce l'\textbf{inviluppo complesso}$\IC(S)$ di un insieme
$S \subseteq E$ l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
\end{definition}
% TODO: aggiungere baricentro
\begin{remark}\nl
\li L'insieme $\IC(S)$ è, effettivamente, un insieme convesso, se $S \subseteq E$. Se infatti $P$, $Q \in\IC(S)$,
allora $\lambda_1 P +\lambda_2 Q \in\IC(S)$, con $\lambda_1$, $\lambda_2\geq0$, e quindi
$[P, Q]\subseteq\IC(S)$. \\
\li Se $E =\Aa_2(\RR)$, e $P_1$, $P_2$, $P_3$ sono tre punti di $E$, l'inviluppo convesso dei
tre punti è esattamente il triangolo costruito sui tre punti. Analogamente, presi quattro
punti di $\Aa_3(\RR)$, l'inviluppo convesso dei quattro punti è un tetraedro.
\end{remark}
\begin{definition} [applicazione affine] Si definisce \textbf{applicazione affine} da $E$ a $E'$ un'applicazione $\varphi : E \to E'$
che conservi le combinazioni affini, ossia tale che:
\begin{definition} Sia $E$ uno spazio affine su $V$, $E'$ spazio
affine su $V'$ (sullo stesso $\KK$) un'applicazione $f : E \to E'$
si dice app. affine se conserva le combinazioni affini
Inoltre, $\varphi(P)=\varphi(O + P - O)=\varphi(O)+\varphi(P)-\varphi(O)=\varphi(O)+ g(P-O)$. Si
osserva infine che $g$ è unica per costruzione. Si
verifica allora che scegliendo $O' \in E$ al posto di $O$, la costruzione di $g$ è invariante, ossia
che $\varphi(O' +\v)-\varphi(O')=\varphi(O +\v)-\varphi(O)$$\forall\v\in V$. Infatti
$\varphi(O' +\v)-\varphi(O')=\varphi(O' - O +(O +\v))-\varphi(O')=
\varphi(O') - \varphi(O) + \varphi(O + \v) - \varphi(O') = \varphi(O + \v) - \varphi(O)$, da cui
la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Data un'applicazione lineare $g$ da $V$ in $V'$ e dati $O \in E$, $O' \in E$, si può sempre costruire un'applicazione affine $\varphi$ tale che $\varphi(P)= O' + g(P - O)$. Infatti, se $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$,