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Analisi I/Parte teorica/2023-03-30, Es. applicazione dei teoremi sulla continuità/main.tex

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 		Sia $\xbar \in X$. Poiché $\xbar$ è per ipotesi isolato, esiste
 		un intorno $I(\xbar)$ di $\xbar$ tale che $I \cap X = \{\xbar\}$. Si può
 		sempre trovare un intorno $J(\xbar)$ più piccolo di $I(\xbar)$ tale
-		che $J(\xbar) \cap I(x) = \emptyset$ $\forall x \in X \setminus \{\xbar\}$. Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x) \neq \emptyset$ per ogni
+		che $J(\xbar) \cap I(x) = \emptyset$ $\forall x \in X \setminus \{\xbar\}$.
-		intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$, altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
+		Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x) \neq \emptyset$ per ogni
+		intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$,
+		altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
 		da $\xbar$, assurdo dal momento che $I(\xbar)$ non ne contiene uno
 		per costruzione; ma $x$ non può neanche appartenere a $X \setminus J$,
 		dacché in tal modo si può sempre costruire con errore a piacimento
 		un intorno più piccolo di $I(x)$ tale che sia disgiunto con $J$,
-		\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può
+		\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può allora
 		sempre associare a $J(\xbar)$ un numero razionale $q$ al suo interno.
 		In questo modo si può costruire una funzione $f : X \to \QQ$,
 		tale che $f(\xbar) = q$. Poiché i $J(x)$ sono digiunti per costruzione,