Sia $\xbar\in X$. Poiché $\xbar$ è per ipotesi isolato, esiste
un intorno $I(\xbar)$ di $\xbar$ tale che $I \cap X =\{\xbar\}$. Si può
sempre trovare un intorno $J(\xbar)$ più piccolo di $I(\xbar)$ tale
che $J(\xbar)\cap I(x)=\emptyset$$\forall x \in X \setminus\{\xbar\}$. Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus\{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x)\neq\emptyset$ per ogni
intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$, altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
che $J(\xbar)\cap I(x)=\emptyset$$\forall x \in X \setminus\{\xbar\}$.
Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus\{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x)\neq\emptyset$ per ogni
intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$,
altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
da $\xbar$, assurdo dal momento che $I(\xbar)$ non ne contiene uno
per costruzione; ma $x$ non può neanche appartenere a $X \setminus J$,
dacché in tal modo si può sempre costruire con errore a piacimento
un intorno più piccolo di $I(x)$ tale che sia disgiunto con $J$,
\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può
\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può allora
sempre associare a $J(\xbar)$ un numero razionale $q$ al suo interno.
In questo modo si può costruire una funzione $f : X \to\QQ$,
tale che $f(\xbar)= q$. Poiché i $J(x)$ sono digiunti per costruzione,
