Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
\[P=P'\iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
\[P=P'\,\forall O, O' \in E \iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
@ -2337,115 +2337,134 @@
si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
Partendo da $V$ spazio vettoriale su $\KK$ possiamo associare uno spazio affine $E=V$ con azione $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$.
Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ induce uno spazio affine tramite l'azione banale che compie $(V, +)$ su $(V, +)$, ossia con $\v\cdot\w=\v+\w=\w+\v$, dove l'operazione $+$ coincide sia con la somma affine che
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare.
con quella vettoriale.
Chiamiamo lo spazio affine associato in questo modo a $V=\KK^n$$\mathcal{A}_n(\KK)$%A maiuscola corsiva?
In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare. Lo spazio affine
Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$ allora ogni scelta di un punto $O\in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
generato in questo modo su $\KK^n$ viene detto \textit{spazio affine standard} ed è indicato come $\AnK$. \\\vskip 0.05in
$\varphi_{O,\mathcal{B}}:E\rightarrow\mathcal{A}_n(\KK)$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(O+\v)=[\v]_\basis$
Se $E$ è uno spazio affine sul $\KK$-spazio $V$, allora ogni scelta di un punto $O \in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$
$\varphi_{O,\mathcal{B}} : E \to\AnK$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(P)=[P-O]_\basis$, dove $P \in E$.
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Segue che $D=P_0+D_0$ ossia che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0-O$%O ??
Un sottoinsieme $D \subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff\forall P_0\in D$,
Chiamiamo $D_0$\textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
$D_0=\{P-P_0\mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
Si può allora scrivere che $D=P_0+D_0$, ossia si deduce che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0$, e quindi
che ogni sottospazio affine è in particolare il traslato
In generale i sottospazi affini corrispondono ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
di un sottospazio vettoriale.
L'insieme $D_0$, scritto anche come $\Giac(D)$, è detto \textit{direzione} (o \textit{giacitura}) del sottospazio affine $D$ ed è invariante per la scelta
Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
del punto $P_0$; in particolare vale che $D_0=\{ Q - P \mid P, Q \in D \}$.
Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
Si definisce la dimensione di un sottospazio affine $D$ come la dimensione della sua direzione $D_0$. In particolare $\dim E =\dim V$. Quindi, così come accade per gli spazi vettoriali, i sottospazi affini di dimensione nulla corrispondono ai punti di $E$, quelli di dimensione unitaria corrispondono alle \textit{rette} di $E$, quelli di dimensione $2$ corrispondono ai \textit{piani}, mentre quelli di codimensione unitaria (ossia di dimensione $\dim V -1$) corrispondono agli \textit{iperpiani affini}.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si diranno paralleli, coincidono o hanno intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Due sottospazi affini con la stessa direzione si
Diciamo che i punti $P_1,\ldots,P_k\in E$ sono \textit{affinemente indipendenti} se l'espressione $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i\in\Aff(\{P_1,\ldots,P_k\})$ è unica.
dicono \textit{paralleli} se sono distinti, o \textit{coincidenti} se sono uguali. Due sottospazi
affini paralleli hanno sempre intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
Un sottoinsieme $S\subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
Dei punti $P_1$, ..., $P_k \in E$ si dicono \textit{affinemente indipendenti} se per
$P_1,\ldots,P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1,\ldots,k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j\neq i$ sono linearmente indipendenti $\iff\forall i$$P_i\notin\Aff(\{P_1,\ldots,\hat{P}_i,\ldots,P_k\})$%?
$P \in\Aff(P_1, \ldots, P_k)$ esistono unici
$\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ tali per cui
Sia $E=\mathcal{A}_n(\KK)$ allora $\w_1,\ldots,\w_n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\w}_1,\ldots,\hat{\w}_n$ con $\hat{w_i}=\begin{pmatrix}
$P =\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ è una combinazione
\w_i \\ 1
affine. Un sottoinsieme $S \subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
\end{pmatrix}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti.
I punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1\text{---}k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j \neq i$ sono linearmente indipendenti in $V$$\iff\forall i=1\text{---}k$, $P_i \notin\Aff(S \setminus\{P_i\})$,
Segue che ci sono al massimo $n+1$ vettori affinemente indipendenti.
dove $S =\{P_1, \ldots, P_k\}$. Pertanto, possono
esistere al più $\dim D_0+1$ punti affinemente
Se scegliamo $n+1$ punti $P_0,\ldots,P_n\in E$$\Aff(\{P_0,\ldots,P_n\}=E$.
indipendenti in $D$. In particolare, se si scelgono
Dunque per ogni punto $P \in E$$P=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i P_i$ con $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$.
$n+1$ punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ affinemente
Chiamiamo i $\lambda_i$ le \textit{coordinate affini} del punto $P$ sul riferimento affine $P_0,\ldots,P_n$
indipendenti, vale che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= E$ (in tal caso infatti la direzione sarebbe tutto $V$).
Esistono sempre $P_0$, ..., $P_n$ punti di $D$ tali
Diciamo che $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ è una \textit{combinazione convessa} di $P_1,\ldots,P_k$ se $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$ e $\lambda_i\ge0$$\forall i$
che $\Aff(P_0, \ldots, P_n)= D$, se $\dim D = n$;
in tal caso l'insieme di questi punti viene detto
Diremo che l'\textit{inviluppo convesso}$IC(S)$ di un insieme $S\subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
\textit{riferimento affine}. Ogni riferimento affine ha
lo stesso numero di elementi (in generale valgono
$\forall S\subseteq E$, $IC(S)$ è convesso.
le stesse proprietà di una base vettoriale, mediante
cui se ne dimostra l'esistenza).
Chiamiamo \textit{baricentro geometrico} di $P_1,\ldots,P_n\in E$ come $G=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i$
Se $A\subseteq E$ è finito, chiamiamo $G_A$ il baricentro geometrico dei punti di $A$.
Sia $E =\AnK$ allora $\ww1$, ..., $\ww n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\ww1}$, ..., $\hat{\ww n}$ con $\hat{\ww i}=\Matrix{\ww i \\[0.03in]\hline1}\in\KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti. \\\vskip 0.05in
Allora se $A=B\sqcup C$$(A=B\cup C \wedge B\cap C=\emptyset)$
Siano $P_0$, ..., $P_k$ i punti di un riferimento
$$G_A=\frac{|B|}{|A|}G_B+\frac{|C|}{|A|}G_C$$
affine per il sottospazio affine $D$. Allora ogni
punto $P \in D$ è univocamente determinato dagli
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
scalari $\lambda_i$ in $\KK$ tali per cui $P =\sum_{i=0}^k \lambda_i P_i$, eccetto per uno di questi scalari che è già determinato dagli altri (infatti vale sempre $\sum_{i=0}^k \lambda_i =1$). Vi è dunque una bigezione tra $D$ e $\mathcal{A}_k(\KK)$. L'immagine di $P$
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
tramite questa bigezione è un vettore contenente
le cosiddette \textit{coordinate affini} di $P$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Si dice \textit{combinazione convessa} una qualsiasi
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
combinazione affine finita in un insieme di punti affinemente indipendenti $S$ in cui ogni coordinata affine è maggiore o
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
uguale a zero. Si pone in particolare $\IC(S)$ come
l'insieme di questo tipo di combinazioni (intuitivamente un inviluppo convesso è l'insieme dei punti contenuti "dentro" il riferimento affine scelto; per tre punti è il triangolo, per due punti è il segmento). Si scrive $\IC(P_1, \ldots, P_k)$ per indicare $\IC(\{P_1, \ldots, P_k\})$. \\\vskip 0.05in
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
Si osserva che $\IC(S)$ è un insieme
convesso (ossia $\forall P, Q \in\IC(S)$, $[P, Q]\subseteq\IC(S)$, dove $[P, Q] :=\IC(\{P, Q\})$ è il segmento congiungente $P$ e $Q$).
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
Si definisce il \textit{baricentro geometrico} di $P_1$, ..., $P_n\in E$ come la seguente combinazione convessa:
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
Se $A \subseteq E$ è finito, si definisce $G_A$ come il baricentro geometrico dei punti di $A$. Inoltre,
se $A$ è un'unione di insiemi disgiunti, $G_A$ è
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
una combinazione convessa dei baricentri di questi insiemi con peso la loro cardinalità divisa per la
cardinalità di $A$; in altre parole se $A=B \sqcup C$ (i.e.~$A = B \cup C \land B \cap C =\emptyset$), allora:
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
\x\\ 1
\end{pmatrix}$
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
\end{pmatrix}$
Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$$f(P)=O'+g(P-O)$
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b}\in A_m(\KK)$
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
Chiamiamo il gruppo affine di $E$$A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\end{enumerate}
$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset\mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
Ogni punto $\begin{pmatrix}
Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
\x\\ 1
Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$$f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
f(\x) \\ 1
\x\\ 1
\end{pmatrix}$
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow\KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A &\vec b \\0&1}$
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$%?
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq\KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
\begin{enumerate}
\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
\item$f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
\end{enumerate}
$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
