\item$\rg(A)$ è il minimo numero di matrici di rango uno che
\item$\rg(A)$ è il minimo numero di matrici di rango uno che
sommate restituiscono $A$ (è sufficiente usare la proposizione
sommate restituiscono $A$ (è sufficiente usare la proposizione
precedente per dimostrare che devono essere almeno $\rg(A)$),
precedente per dimostrare che devono essere almeno $\rg(A)$),
\item$\rg(A)=1\implies\exists B \in M(m, 1, \KK)$, $C \in M(1, n, \KK)\mid A=BC$ (infatti $A$ può scriversi come $\begin{pmatrix}[c|c|c]\alpha_1 A^i &\cdots&\alpha_n A^i \end{pmatrix}$ per un certo $i \leq n$ tale che $A^i \neq\vec{0}$).
\item$\rg(A)=1\implies\exists B \in M(m, 1, \KK)$, $C \in M(1, n, \KK)\mid A=BC$ (infatti $A$ può scriversi come $\begin{pmatrix}\alpha_1 A^i &\cdots&\alpha_n A^i \end{pmatrix}$ per un certo $i \leq n$ tale che $A^i \neq\vec{0}$).
\end{itemize}
\end{itemize}
Siano $A \in M(m, n, \KK)$, $B \in M(n, k, \KK)$ e $C \in M(k, t, \KK)$.
Siano $A \in M(m, n, \KK)$, $B \in M(n, k, \KK)$ e $C \in M(k, t, \KK)$.
@ -561,9 +561,44 @@
ad un'altra riga distinta.
ad un'altra riga distinta.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Queste operazioni non variano né $\Ker A$ né $\rg(A)$. Si possono effettuare le stesse medesime operazioni
A queste operazioni è associato il prodotto a sinistra per delle particolari matrici.
sulle colonne (variando tuttavia $\Ker A$, ma lasciando
In particolare, l'operazione di scambio della riga $i$-esima con quella $j$-esima corrisponde alla moltiplicazione a sinistra per la matrice $S_{i,j}$, dove:
invariato $\Im A$ -- e quindi $\rg(A)$). L'algoritmo di eliminazione di Gauss
Queste operazioni non variano né $\Ker A$ né $\rg(A)$. Permettendo di variare $\Ker A$ si possono effettuare le stesse medesime operazioni
sulle colonne (lasciando però
invariato $\Im A$, e quindi $\rg(A)$): tali operazioni corrispondono a moltiplicare a destra per una matrice invertibile, analogamente a come accade per le righe. \\
Le matrici per cui si moltiplica a destra per operare sulle colonne sono esattamente le stesse matrici impiegate
per le operazioni di riga, sebbene trasposte. In particolare le matrici di scambio
di riga e di moltiplicazione per uno scalare coincidono. Pertanto, se $A$ è una matrice simmetrica (i.e.~se $A \in\Sym(n, \KK)$), operare mediante le stesse
operazioni sulle righe e sulle colonne permette di individuare matrici congruenti
ad $A$.
L'algoritmo di eliminazione di Gauss
procede nel seguente modo:
procede nel seguente modo:
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
@ -598,7 +633,7 @@
scambiati), si può ottenere una matrice a scala ridotta,
scambiati), si può ottenere una matrice a scala ridotta,
ossia un matrice dove tutti i pivot sono $1$ e dove tutti
ossia un matrice dove tutti i pivot sono $1$ e dove tutti
gli elementi sulle colonne dei pivot, eccetto i pivot stessi,
gli elementi sulle colonne dei pivot, eccetto i pivot stessi,
sono nulli.
sono nulli.% TODO: controllare e sistemare
Si definisce:
Si definisce:
@ -1132,8 +1167,6 @@
sottospazio generato. Quindi ogni riga di $A^{1,\ldots, k, j}$ appartiene
sottospazio generato. Quindi ogni riga di $A^{1,\ldots, k, j}$ appartiene
al sottospazio $\Span(A_1, \ldots, A_k)$, da cui si deduce che $\rg(A^{1,\ldots, k, j})= k$, e quindi che $\rg(A^{1,\ldots,k,j})= k \implies A^j \in\Span(A^1, \ldots, A^k)\implies\rg(A)= k$.
al sottospazio $\Span(A_1, \ldots, A_k)$, da cui si deduce che $\rg(A^{1,\ldots, k, j})= k$, e quindi che $\rg(A^{1,\ldots,k,j})= k \implies A^j \in\Span(A^1, \ldots, A^k)\implies\rg(A)= k$.
\subsection{Autovalori, diagonalizzabilità e triangolabilità}
\subsection{Autovalori, diagonalizzabilità e triangolabilità}
Sia $f \in\End(V)$. Si dice che $\lambda\in\KK$ è un autovalore
Sia $f \in\End(V)$. Si dice che $\lambda\in\KK$ è un autovalore
@ -1166,6 +1199,8 @@
\item il coefficiente di $\lambda^n$ è sempre $(-1)^n$,
\item il coefficiente di $\lambda^n$ è sempre $(-1)^n$,
\item il coefficiente di $\lambda^{n-1}$ è $(-1)^{n+1}\tr(f)$,
\item il coefficiente di $\lambda^{n-1}$ è $(-1)^{n+1}\tr(f)$,
\item il termine noto di $p_f(\lambda)$ è $\det(f -0\cdot\Idv)=\det(f)$,
\item il termine noto di $p_f(\lambda)$ è $\det(f -0\cdot\Idv)=\det(f)$,
\item il termine noto di $p_f(\lambda)$ è $\det(f -0\cdot\Idv)=\det(f)$,
\item$p_f(\lambda)=\sum_{i=0}^{n}(-\lambda)^i(\sum\det(M_{n-i}))$ dove i $M_j$ sono i minori principali di taglia $j$, % TODO: sistemare e aggiungere spiegazione
\item poiché $p_f(\lambda)$ appartiene all'anello euclideo $\KK[\lambda]$, che è dunque un UFD, esso ammette al più
\item poiché $p_f(\lambda)$ appartiene all'anello euclideo $\KK[\lambda]$, che è dunque un UFD, esso ammette al più
$n$ radici,
$n$ radici,
\item$\Sp(f)$ ha al più $n$ elementi, ossia esistono al massimo
\item$\Sp(f)$ ha al più $n$ elementi, ossia esistono al massimo
@ -1582,7 +1617,7 @@
somme dirette dei sottospazi degli autospazi generalizzati, %TODO: migliorare
somme dirette dei sottospazi degli autospazi generalizzati, %TODO: migliorare
\item Se $\KK$ è infinito ed esiste $\lambda\in\Sp(f)$ tale per cui
\item Se $\KK$ è infinito ed esiste $\lambda\in\Sp(f)$ tale per cui
$\mu_g(\lambda) > 1$, allora esiste un numero infinito di sottospazi invarianti
$\mu_g(\lambda) > 1$, allora esiste un numero infinito di sottospazi invarianti
per ogni dimensione, da $1$ a $\dim V -1$. %TODO: migliorare
per ogni dimensione, da $1$ a $\dim V -1$. %TODO: migliorare + sono esattamente $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n
Se $U$ è un sottospazio di $V$, $\varphi$ induce un prodotto scalare $\hat\varphi : V/U \times V/U \times\KK$ tale che $\hat\varphi([\vv1]_U, [\vv2]_U)=\varphi(\vv1, \vv2)$ se e solo se $U \subseteq V^\perp$. In particolare, se $U = V^\perp$,
Se $U$ è un sottospazio di $V$, $\varphi$ induce un prodotto scalare $\hat\varphi : V/U \times V/U \to\KK$ tale che $\hat\varphi([\vv1]_U, [\vv2]_U)=\varphi(\vv1, \vv2)$ se e solo se $U \subseteq V^\perp$. In particolare, se $U = V^\perp$,
$\hat\varphi$ è anche non degenere.
$\hat\varphi$ è anche non degenere.
Due esempi classici di prodotto scalare sono $\varphi(A, B)=\tr(AB)$ e
Due esempi classici di prodotto scalare sono $\varphi(A, B)=\tr(AB)$ e
@ -1789,7 +1824,7 @@
completamente determinata dalla sua forma quadratica),
completamente determinata dalla sua forma quadratica),
\item Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ (teorema di Lagrange; è sufficiente considerare
\item Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ (teorema di Lagrange; è sufficiente considerare
l'esistenza di un vettore anisotropo $\w\in V$ ed osservare che $V = W \oplus^\perp W^\perp$, dove $W =\Span(V)$, concludendo per induzione; o in caso di non esistenza di tale $\w$, concludere per il
l'esistenza di un vettore anisotropo $\w\in V$ ed osservare che $V = W \oplus^\perp W^\perp$, dove $W =\Span(\w)$, concludendo per induzione; o in caso di non esistenza di tale $\w$, concludere per il
risultato precedente),
risultato precedente),
\item (se $\KK=\CC$) Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ tale che:
\item (se $\KK=\CC$) Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ tale che:
@ -2072,7 +2107,94 @@
è l'identità e $M_\basis(\psi)$ è diagonale: dunque la base è ortogonale per ambo
è l'identità e $M_\basis(\psi)$ è diagonale: dunque la base è ortogonale per ambo
i prodotti scalari.
i prodotti scalari.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
\subsection{Azioni di gruppo}
Sia $G$ un gruppo e $X$ un insieme. Un'azione sinistra\footnote{Un'azione sinistra induce sempre anche un'azione destra, ponendo $x \cdot g=g^{-1}\cdot x$.} di $G$ su $X$ a sinistra un'applicazione $\cdot : G \times X \rightarrow X$, per la quale si pone $g \cdot x :=\cdot(g, x)$, tale che:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$e \cdot x=x$, $\forall x \in X$, dove $e$ è l'identità di $G$,
\item$g \cdot(h \cdot x)=(gh)\cdot x$, $\forall g, h \in G$, $\forall x \in X$.
\end{enumerate}
Si definisce l'applicazione $f_g:X\rightarrow X$ indotta dalla relazione $f_g(x)=g \cdot x$; tale applicazione è bigettiva. Se $\cdot$ è un'azione sinistra di $G$ su $X$, si dice che $G$ opera a sinistra su $X$ e che $X$ è un $G$-insieme. \\
\vskip 0.05in
Si definisce \textit{stabilizzatore} di $x \in X$ il sottogruppo di $G$$\Stab_G(x)$
tale che:
\[\Stab_G(x)=\{g\in G | g \cdot x=x\}, \]
dove si scrive $\Stab(x)$ per indicare $\Stab_G(x)$ qualora non fosse ambigua
l'azione a cui ci si riferisce. \\
Si può costruire un omomorfismo $\tau : G \rightarrow S_X$, dove $(S_x, \circ)$ è il gruppo delle bigezioni di $X$, dove $\tau(g)= f_g$. Si dice che l'azione di $G$ su $X$ è \textit{fedele} se l'omomorfismo $g \rightarrow f_g$ è iniettivo, ossia
se e solo se:
\[ f_g =\IdV{X}\implies g = e, \]
ossia se e solo se:
\[\bigcap_{x \in X}\Stab(x)=\{e\}. \]
Per esempio, $S_X$ opera fedelmente su $X$ tramite l'azione indotta dalla relazione $g \cdot x=g(x)$ (ed è in realtà anche un'azione transitiva). $G$ stesso opera su $G$
tramite l'azione banale indotta dalla relazione $g \cdot g'=gg'$.
Si definisce su $X$ la relazione $x \sim_G y \iff\exists g \in G$ t.c.~$y=g \cdot x$.
La relazione $\sim_G$ è una relazione d'equivalenza: due elementi equivalenti tramite $\sim_G$ si dicono coniugati tramite $G$. Le classi di equivalenza si dicono orbite di $G$. In particolare si definisce $\Orb(x)= O_x$, con $x \in X$, come $[x]_{\sim_G}$,
ossia come la classe di equivalenza di $x$ rispetto a $\sim_G$.
Si presentano alcuni esempi di orbite:
\begin{enumerate}
\item$\GL(n,\KK)$ opera su $M(n,\KK)$ tramite la similitudine e le orbite sono le classi di matrici simili, rappresentate dalle forme canoniche di Jordan,
\item$\GL(n,\KK)$ opera su $\Sym(n,\KK)$ tramite la congruenza e le orbite sono le classi di matrici congruenti, rappresentate in $\RR$ dalle matrici diagonali con $1$, $-1$ e $0$ come elementi, e in $\CC$ dalle stesse matrici rappresentanti delle classi
di equivalenza della SD-equivalenza,
\item$O_n$ agisce naturalmente su $\RR^n$ e l'orbita di $\vec x \in\RR^n$ è la sfera di raggio $\norm{\vec x}$ secondo il prodotto scalare standard di $\RR^n$.
\end{enumerate}
Vale il teorema di orbita-stabilizzare: l'applicazione $f:G/\Stab_G(x)\rightarrow\Orb(x)$ tale che $g \Stab_G(x)\mapsto g \cdot x$ è una bigezione tra
$G/\Stab_G(x)$ e $\Orb(x)$ (tale teorema è un analogo del primo teorema di
omomorfismo per i gruppi). Se $G$ è finito, vale allora che $\abs{G}=\abs{\Stab_G(x)}\cdot\abs{\Orb(x)}$.
Si dice che $G$ opera \textit{liberamente} su $X$ se $\forall x \in X$ l'applicazione
da $G$ in $X$ tale che $g \mapsto g \cdot x$ è iniettiva, ossia se e solo se $\Stab_G(x)=\{e\}$, $\forall x \in X$. Se $G$ opera liberamente su $X$,
$G$ opera anche fedelmente su $X$.
Si dice che $G$ opera \textit{transitivamente }su $X$ se $x \sim_G y$, $\forall x,y \in X$, cioè se esiste un'unica orbita, che coincide dunque con $G$. In tal caso
si dice che $X$ è \textit{omogeneo} per l'azione di $G$, oppure che
$X$ è $G$-omogeneo.
Si presentano alcuni esempi di azioni transitive:
\begin{enumerate}
\item$O_n$ opera transitivamente sulla sfera $n$-dimensionale di $\RR^n$,
\item Sia $\Gr_k(\RR^n)=\{W \text{ sottospazio di }\RR^n | \dim W=k\}$ la Grassmanniana di ordine $k$ su $\RR^n$. Allora $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_k(\RR^n)$.
\end{enumerate}
Si dice che $G$ opera in maniera \textit{semplicemente transitiva} su $X$ se opera transitivamente e liberamente su $X$; in tal caso si dice che $X$ è un insieme $G$-omogeneo principale. Equivalentemente $G$ opera in maniera semplicemente transitiva se $\exists x\in X$ t.c.~$g\rightarrow g \cdot x$ è una bigezione.
Se $X$ è un insieme $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$$\iff$$X$ è $G$-insieme omogeneo principale.
\subsection{Proprietà generali di uno spazio affine}
Si dice spazio affine $E$ un qualcune insieme $V$-omogeneo principale, dove
$V$ è uno spazio vettoriale, inteso in tal senso come il gruppo abeliano
$(V, +)$. Si scrive in tal caso l'azione $\v\cdot P$ come $P +\v$. Equivalentemente $E$ è uno spazio affine se $\forall P$, $Q \in E$, $\exists!\,\v\in V$ t.c. $P +\v= Q$. In particolar modo, ci si riferisce a $\v\mid P +\v= Q$ come $Q - P$ o
$\overrightarrow{PQ}$.
Valgono le seguenti proprietà generali:
\begin{itemize}
\item fissato $\v\in V$, l'applicazione da $E$ in $E$ tale che $P \mapsto P+\v$ è una bigezione,
\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $V$ in $E$ tale che $\v\mapsto O+\v$ è una bigezione,
\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $E$ in $V$ tale che $P \rightarrow P-O$ è una bigezione ed è l'inversa della bigezione presentata nello scorso punto.
\end{itemize}
Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Siano inoltre
$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
\[P=P'\iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
non dipende da $O$ per l'asserzione precedente).
Un sottoinsieme $D\subseteq E$ si dice \textit{sottospazio affine} se è chiuso per combinazioni affini. Il sottospazio affine $D \subseteq E$ generato da un sottoinsieme $S \subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni affini (finite) dei punti di $S$;
si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
\begin{itemize}
\begin{itemize}
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
@ -2090,7 +2212,7 @@
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)},
\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top\MM(p) \hat M = \\\Matrix{M^\top\AA(p) M &\rvline& M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \,\\\hline\,\left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top&\rvline& p(\vec t)},
\end{gather*}
\end{gather*}
Una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $(\AA(p)\vec t +\Ll(p)$.
Una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $\AA(p)\vec t +\Ll(p)=\vec0$.
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
