@ -88,7 +88,7 @@
\end { remark}
\begin { definition} [direzione di un sottospazio affine]
Si definisce $ D _ 0 $ come la \textbf { direzione} del sottospazio affine $ D $ .
Si definisce $ D _ 0 = \Giac ( D ) = \{ P - Q \mid P, Q \in D \} \subseteq V $ come la \textbf { direzione} (o \textit { giacitura} ) del sottospazio affine $ D $ .
\end { definition}
\begin { definition} [dimensione un sottospazio affine]
@ -111,39 +111,105 @@
\end { remark}
\begin { definition} [punti affinemente indipendenti]
I punti $ P _ 1 $ , ..., $ P _ n \in E $ si dicono affinemente indipendenti se l'espressione $ P = \sum \lambda _ i P _ i $ con $ \sum \lambda _ i = 1 $
è unica $ \forall P \in \Aff ( P _ 1 , \ldots , P _ n ) $ . Analogamente
un sottoinsieme $ S \subseteq E $ si dice affinemente indipendente
se ogni suo sottoinsieme finito lo è.
Un insieme di punti $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k $ di $ E $ si dice \textbf { affinemente indipendente} se ogni
combinazione affine di tali punti è unica. Analogamente un sottoinsieme $ S \subseteq E $ si dice
affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito lo è.
\end { definition}
\begin { proposition}
$ P _ 1 $ , ..., $ P _ n $ sono affinemente indipendenti $ \iff $
$ \forall i = 1 , \ldots , k $ i vettori $ P _ j - P _ i $ con $ j \neq i $
sono linearmente indipendenti $ \iff $ $ \exists i = 1 , \ldots , k $ i vettori $ P _ j - P _ i $ con $ j \neq i $
sono linearmente indipendenti $ \forall i P _ i \notin \Aff \{ P _ 1 , \ldots , P _ n \} $ con $ P _ i $ escluso.
Dati i punti $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k \in E $ , sono equivalenti le seguenti affermazioni.
\begin { enumerate} [(i)]
\item $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k $ sono affinemente indipendenti,
\item $ \forall i \in \NN ^ + \mid 1 \leq i \leq k $ , $ P _ i \notin \Aff ( P _ 1 , \ldots , P _ k ) $ ,
con $ P _ i $ escluso,
\item $ \forall i \in \NN ^ + \mid 1 \leq i \leq k $ l'insieme di vettori
$ \{ P _ j - P _ i \mid 1 \leq j \leq k, j \neq i \} $ è linearmente indipendente,
\item $ \exists i \in \NN ^ + \mid 1 \leq i \leq k $ per il quale l'insieme di vettori
$ \{ P _ j - P _ i \mid 1 \leq j \leq k, j \neq i \} $ è linearmente indipendente.
\end { enumerate}
\end { proposition}
\begin { proof}
% TODO: considerare il passaggio ai vettori spostamento
Siano $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k $ affinemente indipendenti. Sia $ i \in \NN ^ + \mid 1 \leq i \leq k $ .
Allora chiaramente (i) $ \iff $ (ii), dacché se $ P _ i $ appartenesse a $ \Aff ( P _ 1 , \ldots , P _ k ) $ , con
$ P _ i $ escluso, si violerebbe l'unicità della combinazione affine di $ P _ i $ , e analogamente se
esistessero due combinazioni affini in diversi scalari dello stesso punto si potrebbe
un punto $ P _ j $ con $ 1 \leq j \leq k $ come combinazione affine degli altri punti. \\
Siano allora $ \lambda _ 1 $ , ..., $ \lambda _ k \in \KK $ , con $ \lambda _ i $ escluso, tali che:
\[ \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq i } } ^ n \lambda _ j ( P _ j - P _ i ) = \vec 0 . \]
Allora si può riscrivere $ P _ i $ nel seguente modo:
\[ P _ i = \left ( 1 - \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq i } } ^ n \lambda _ j \right ) P _ i + \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq i } } ^ n \lambda _ j P _ j. \]
\vskip 0.05in
Dal momento che la scrittura di $ P _ i $ è unica per ipotesi, $ \lambda _ j = 0 $ $ \forall 1 \leq j \leq k $ con $ j \neq i $ , e dunque l'insieme di vettori $ \{ P _ j - P _ i \mid 1 \leq j \leq k, j \neq i \} $ è linearmente
indipendente, per cui (ii) \mbox { $ \implies $ } (iii). Analogamente si deduce anche che (iii) \mbox { $ \implies $ } (i) e che (iii) \mbox { $ \implies $ } (iv). Pertanto (i) \mbox { $ \iff $ } (ii) \mbox { $ \iff $ } (iii). \\
Si assuma ora l'ipotesi (iv) e sia $ t \in \NN ^ + \mid 1 \leq t \leq k $ tale che $ t \neq i $ . Siano
dunque $ \lambda _ 1 $ , ..., $ \lambda _ k $ , con $ \lambda _ t $ escluso, tale che:
\[ \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq t } } ^ k \lambda _ j ( P _ j - P _ t ) = \vec 0 . \]
Allora si può riscrivere la somma come:
\[ \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq t } } ^ k \lambda _ j ( P _ j - P _ i ) - \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq t } } ^ k \lambda _ j ( P _ t - P _ i ) = \vec 0 , \]
\vskip 0.05in
ossia come combinazione lineare dei vettori della forma $ P _ j - P _ i $ . Allora, poiché per ipotesi tali
vettori sono linearmente indipendenti, vale che:
\[ \system { \lambda _ j = 0 & \se j \neq t \E j \neq i, \\ \sum _ { \substack { j = 1 \\ j \neq t } } ^ k \lambda _ j = 0 & \implies \lambda _ i = 0 . } \]
Pertanto l'insieme di vettori $ \{ P _ j - P _ t \mid 1 \leq j \leq k, j \neq t \} $ è linearmente indipendente,
da cui vale che (iv) \mbox { $ \implies $ } (iii). Si conclude dunque che
(i) \mbox { $ \iff $ } (ii) \mbox { $ \iff $ } (iii) \mbox { $ \iff $ } (iv), ossia la tesi.
\end { proof}
\begin { remark} \nl
\li Il numero massimo di punti affinemente indipendenti in $ E $ è $ \dim E + 1 $ . \\
\li Se $ E = A _ n ( \KK ) $ e $ V = \KK ^ n $ . Allora $ \ww 1 $ , ...,
$ \ww k \in E $ sono aff. indip. $ \iff $ i vettori $ \ww 1 $ , ...,
$ \ww k $ immersi in $ \KK ^ { n + 1 } $ aggiungendo una coordinata $ 1 $
in fondo sono linearmente indipendenti.
\li Si osserva che il numero massimo di punti affinemente indipendenti di un sottospazio affine $ D $
di dimensione $ k $ è $ k + 1 $ , dacché, fissato un punto, vi possono essere al più $ k $ vettori linearmente indipendenti. \\
\li Un punto di $ E $ è sempre affinemente indipendente, dacché la sua unica combinazione affine è
sé stesso.
\end { remark}
\begin { remark} Sia $ E $ spazio affine con $ V $ di dimensione $ n $ . Si
scelgano $ n + 1 $ punti affinemente indipendenti $ P _ 0 $ , ..., $ P _ n $ .
Allora $ \Aff ( P _ 0 , ..., P _ n ) = E $ . Quindi $ P \in E $ si scrive
in modo unico come $ P = \sum \lambda _ i P _ i $ con $ \sum \lambda _ i = 1 $ .
Le $ \lambda _ i $ si diranno allora le coordinate affini di $ P $
nel riferimento $ P _ 0 $ , ..., $ P _ n $ .
\end { remark}
\begin { proposition}
Sia $ E = \AnK $ . Allora i punti $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k $ sono affinemente indipendenti se e solo
se i vettori $ \hat P _ 1 = \Vector { P _ 1 \\ \hline 1 } $ , ..., $ \hat P _ k = \Vector { P _ k \\ \hline 1 } $ sono
linearmente indipendenti.
\end { proposition}
\begin { proof}
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Siano $ \lambda _ 1 $ , ..., $ \lambda _ k \in \KK $ tali che
$ \lambda _ 1 \hat P _ 1 + \ldots + \lambda _ k \hat P _ k = \vec 0 $ . Allora
$ \sum _ { i = 1 } ^ k \lambda _ i = 0 $ e $ \lambda _ 1 P _ 1 + \ldots + \lambda _ k P _ k = 0 $ . \\
Pertanto, sapendo che $ \lambda _ 1 = - \lambda _ 2 + \ldots - \lambda _ k $ , vale
la seguente identità:
\[ \lambda _ 2 ( P _ 2 - P _ 1 ) + \ldots + \lambda _ k ( P _ k - P _ 1 ) = 0 . \]
Poiché i punti $ P _ 1 $ , ..., $ P _ k $ sono affinemente indipendenti, per la proposizione precedente,
allora i vettori $ P _ 2 - P _ 1 $ , ..., $ P _ k - P _ 1 $ sono linearmente indipendenti, per cui $ \lambda _ 2 = \cdots = \lambda _ k = 0 $ . Pertanto anche $ \lambda _ 1 = 0 $ , e quindi i vettori $ \hat P _ 1 $ , ..., $ \hat P _ k $ sono
linearmente indipendenti. \\
\leftproof Siano $ \lambda _ 2 $ , ..., $ \lambda _ k \in \KK $ tali che
$ \lambda _ 2 ( P _ 2 - P _ 1 ) + \ldots + \lambda _ k ( P _ k - P _ 1 ) = 0 $ . Sia allora
$ \lambda _ 1 = - \lambda _ 2 + \ldots - \lambda _ k $ . Si osserva dunque
che $ \lambda _ 1 + \ldots + \lambda _ k = 0 $ e che $ \lambda _ 1 P _ 1 + \ldots + \lambda _ k P _ k = 0 $ ,
da cui si deduce che $ \lambda _ 1 \hat P _ 1 + \ldots + \lambda _ k \hat P _ k = 0 $ . Dal momento
però che $ \hat P _ 1 $ , ..., $ \hat P _ k $ sono linearmente indipendenti, $ \lambda _ 2 = \cdots = \lambda _ k = 0 $ ,
da cui la tesi.
\end { proof}
Se si impone $ \lambda _ i \geq 0 $ , si definisce che la
combinazione è una combinazione convessa. Si definisce
