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@ -0,0 +1,78 @@
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\chapter{Probabilità sulla retta reale}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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Discutiamo in questa sezione la teoria della probabilità sulla
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retta reale, uscendo dunque dal caso discreto.
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Per restringere la $\sigma$-algebra su cui lavoreremo (ossia l'insieme degli
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eventi interessanti), siamo costretti a limitarci a una $\sigma$-algebra molto più
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piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di escludere
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``casi meno interessanti''.
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\section{Cenni di teoria della misura}
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\subsection{La \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra di Borel}
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\begin{definition}[$\sigma$-algebra dei boreliani]
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Dato uno spazio metrico separabile\footnote{
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Si può generalizzare in modo naturale tale definizione a un qualsiasi spazio topologico.
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Dal momento che considereremo solo spazi metrici separabili (in particolare $X \subseteq \RR^d$), concentreremo
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le proprietà e le definizioni su questa classe di spazi topologici.} $X \neq \emptyset$
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si definisce la \textbf{$\sigma$-algebra $\BB(X)$ dei boreliani di $X$} (o
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$\sigma$-algebra di Borel)
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come la $\sigma$-algebra generata dai suoi aperti, ovverosia:
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\[
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\BB(X) \defeq \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ aperto}\, \}.
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\]
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(X)$]
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Sia $X \neq \emptyset$ uno spazio metrico separabile. Allora valgono
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le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\BB(X)$ contiene tutti gli aperti e i chiusi di $X$ (infatti
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metrico e separabile implica II-numerabile),
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\item $\BB(X) = \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ chiuso}\, \}$, ossia
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$\BB(X)$ è generata anche dai chiusi di $X$ (infatti $\BB(X)$ è chiuso per
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complementare),
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\item se $Y \subseteq X$, $Y \neq \emptyset$ ha metrica indotta da $X$, allora
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$\BB(Y) = \sigma \{ Y \cap B \mid B \in \BB(X) \} \subseteq \BB(X)$ (segue dal fatto che
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gli aperti di $Y$ sono tutti e solo gli aperti di $X$ intersecati a $Y$).
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(\RR^d)$]
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Valgono le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\BB(\RR)$ contiene tutti gli intervalli e tutte le semirette (infatti si ammettono anche intersezioni infinite di aperti),
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\item $\BB(\RR)$ è generato dagli intervalli semiaperti, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, a < b \}$,
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\item $\BB(\RR)$ è generato dalle semirette, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (-\infty, a) \mid a \in \RR \}$,
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\item $\BB(\RR^d) = \sigma \{ (-\infty, a_1) \times \ldots \times (-\infty, a_n) \mid a_1, \ldots, a_n \in \RR \}$ (segue da (iii.)),
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\item $\BB(\RR^d) \neq \PP(\RR^d)$ (segue dal controesempio di Vitali, oltre che da considerazioni sulle cardinalità).
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\subsection{Definizione di misura e misura di Lebesgue}
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\begin{definition}[Misura]
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Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una misura $\mu$ su $(\Omega, \FF)$ è una
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funzione $\mu : \FF \to [0, \infty]$ con $\mu(\emptyset) = 0$ e per cui valga
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la $\sigma$-additività, ovverosia:
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\[
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\mu\left(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i\right) = \sum_{i \in \NN} \mu(A_i), \quad A_i \in \FF.
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\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Insiemi $\mu$-trascurabili e proprietà $\mu$-quasi certe]
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Un insieme $A \in \FF$ si dice \textbf{$\mu$-trascurabile} se
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$\mu(A) = 0$. Una proprietà $M$ si dice che accade
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$\mu$-quasi certamente se esiste $A \in \FF$ $\mu$-trascurabile per cui
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$M$ accade per $A^c$.
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\end{definition}
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\end{multicols*}
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