feat(eps): inizia la Parte III

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/main.tex

@@ -11,7 +11,7 @@
 
 
 \title{\Huge{Schede riassuntive di \\ \textit{Elementi di Probabilità e Statistica}}}
-\date{A.A. 2023-2024 \\[0.6in] Ultimo aggiornamento: \today}
+\date{A.A. 2023-2024 \\[0.6in] Ultimo aggiornamento: \today \\[1in] \href{https://eps.hearot.it}{\texttt{https://eps.hearot.it}}}
 \author{A cura di Gabriel Antonio Videtta\footnote{Basato su un layout di \underline{Luca Lombardo} e di \underline{Francesco Sorce}.} \\ \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}}
 
 \begin{document}
@@ -27,6 +27,7 @@
 \input{sections/0-identità-somme.tex}
 \input{sections/1-spazi-in-generale.tex}
 \input{sections/2-probabilità-discreta.tex}
+\input{sections/3-probabilità-reale.tex}
 \input{sections/tabella-modelli-discreti.tex}
 \input{sections/tabella-phi.tex}
 

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/preamble.tex

@@ -120,7 +120,7 @@
 \newcommand{\qc}{q.c.\ \!}
 \newcommand{\va}{v.a.\ \!}
 
-
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
 \newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
 \DeclareMathOperator{\Var}{Var}
 \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-prerequisiti.tex

@@ -6,6 +6,7 @@
 \begin{multicols*}{2}
 
 \section*{Algebra lineare}
+\addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}  
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz} -- Se $\varphi(\cdot, \cdot)$
@@ -22,6 +23,7 @@
 \end{itemize}
 
 \section*{Analisi matematica}
+\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}  
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{Limite delle successioni monotone} -- Se una successione
@@ -64,6 +66,7 @@
 \end{itemize}
 
 \section*{Combinatoria}
+\addcontentsline{toc}{section}{Combinatoria}  
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{Principio di \textit{double counting}} -- Principio di dimostrazione per il quale
@@ -122,6 +125,7 @@
 \end{itemize}
 
 \section*{Teoria degli insiemi}
+\addcontentsline{toc}{section}{Teoria degli insiemi}  
 
 \begin{itemize}
     \item \textbf{Leggi di De Morgan} -- Se $A$ e $B$ sono insiemi, allora
@@ -135,4 +139,15 @@
     per $A \subseteq C'$.
 \end{itemize}
 
+\section*{Teoria della misura}
+\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}
+
+Per quanto riguarda teoria della misura si è preferito
+riportare i risultati principali dati a lezione anche sotto la
+\textit{Parte 3}.
+
+% \begin{itemize}
+%     \item 
+% \end{itemize}
+
 \end{multicols*}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/1-spazi-in-generale.tex

@@ -119,7 +119,7 @@
             \item $P(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i) = \sum_{i \in \NN} P(A_i)$ ($\sigma$-additività).
         \end{enumerate}
 
-        In particolare $P$ è una misura.
+        In particolare $P$ è una misura per cui $P(\Omega) = 1$.
     \end{definition}
 
     \begin{definition}[Spazio di probabilità]

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+%--------------------------------------------------------------------
+\chapter{Probabilità sulla retta reale}
+\setlength{\parindent}{2pt}
+
+\begin{multicols*}{2}
+
+Discutiamo in questa sezione la teoria della probabilità sulla
+retta reale, uscendo dunque dal caso discreto.
+
+Per restringere la $\sigma$-algebra su cui lavoreremo (ossia l'insieme degli
+eventi interessanti), siamo costretti a limitarci a una $\sigma$-algebra molto più
+piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di escludere
+``casi meno interessanti''.
+
+\section{Cenni di teoria della misura}
+
+\subsection{La \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra di Borel}
+
+\begin{definition}[$\sigma$-algebra dei boreliani]
+    Dato uno spazio metrico separabile\footnote{
+        Si può generalizzare in modo naturale tale definizione a un qualsiasi spazio topologico.
+        Dal momento che considereremo solo spazi metrici separabili (in particolare $X \subseteq \RR^d$), concentreremo
+        le proprietà e le definizioni su questa classe di spazi topologici.} $X \neq \emptyset$
+    si definisce la \textbf{$\sigma$-algebra $\BB(X)$ dei boreliani di $X$} (o
+    $\sigma$-algebra di Borel)
+    come la $\sigma$-algebra generata dai suoi aperti, ovverosia:
+    \[
+        \BB(X) \defeq \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ aperto}\, \}.
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(X)$]
+    Sia $X \neq \emptyset$ uno spazio metrico separabile. Allora valgono
+    le seguenti affermazioni:
+
+    \begin{enumerate}[(i.)]
+        \item $\BB(X)$ contiene tutti gli aperti e i chiusi di $X$ (infatti
+        metrico e separabile implica II-numerabile),
+        \item $\BB(X) = \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ chiuso}\, \}$, ossia
+        $\BB(X)$ è generata anche dai chiusi di $X$ (infatti $\BB(X)$ è chiuso per
+        complementare),
+        \item se $Y \subseteq X$, $Y \neq \emptyset$ ha metrica indotta da $X$, allora
+        $\BB(Y) = \sigma \{ Y \cap B \mid B \in \BB(X) \} \subseteq \BB(X)$ (segue dal fatto che
+        gli aperti di $Y$ sono tutti e solo gli aperti di $X$ intersecati a $Y$).
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(\RR^d)$]
+    Valgono le seguenti affermazioni:
+    \begin{enumerate}[(i.)]
+        \item $\BB(\RR)$ contiene tutti gli intervalli e tutte le semirette (infatti si ammettono anche intersezioni infinite di aperti),
+        \item $\BB(\RR)$ è generato dagli intervalli semiaperti, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, a < b \}$,
+        \item $\BB(\RR)$ è generato dalle semirette, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (-\infty, a) \mid a \in \RR \}$,
+        \item $\BB(\RR^d) = \sigma \{ (-\infty, a_1) \times \ldots \times (-\infty, a_n) \mid a_1, \ldots, a_n \in \RR \}$ (segue da (iii.)),
+        \item $\BB(\RR^d) \neq \PP(\RR^d)$ (segue dal controesempio di Vitali, oltre che da considerazioni sulle cardinalità).
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\subsection{Definizione di misura e misura di Lebesgue}
+
+\begin{definition}[Misura]
+    Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una misura $\mu$ su $(\Omega, \FF)$ è una
+    funzione $\mu : \FF \to [0, \infty]$ con $\mu(\emptyset) = 0$ e per cui valga
+    la $\sigma$-additività, ovverosia:
+    \[
+        \mu\left(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i\right) = \sum_{i \in \NN} \mu(A_i), \quad A_i \in \FF.
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Insiemi $\mu$-trascurabili e proprietà $\mu$-quasi certe]
+    Un insieme $A \in \FF$ si dice \textbf{$\mu$-trascurabile} se
+    $\mu(A) = 0$. Una proprietà $M$ si dice che accade
+    $\mu$-quasi certamente se esiste $A \in \FF$ $\mu$-trascurabile per cui
+    $M$ accade per $A^c$.
+\end{definition}
+
+
+\end{multicols*}