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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{21 aprile 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Integrale secondo Riemann}
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\end{center}
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\begin{definition} (partizione di un intervallo)
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Preso $[a, b] \subset \RR$. Sia $\sigma = \{x_0, x_1, \ldots, x_n \}$
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con $n \in \NN$. Diciamo che $\sigma$ è una \textbf{partizione}
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di $[a, b]$ se $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
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\end{definition}
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\begin{definition} (taglia di una partizione)
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Si definisce $\delta(\sigma)$, con $\sigma$ partizione,
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come la massima distanza tra due punti consecutivi della partizione $\sigma$, ed è detta \textbf{parametro di finezza} della partizione $\sigma$.
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\end{definition}
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\begin{definition} (ordinamento sulle partizioni)
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Siano $\sigma_1$, $\sigma_2$ due partizioni di $[a, b]$. Allora
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$\sigma_2$ è più fine di $\sigma_1$ se $\sigma_1 \subset \sigma_2$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Siano $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono due partizioni di $[a, b]$. \\
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\li Chiaramente $\sigma_1 \cup \sigma_2$ è più fine sia di
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$\sigma_1$ che di $\sigma_2$.
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||||
\li Inoltre, se $\sigma_1$ è più fine di $\sigma_2$,
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$\delta(\sigma_2) \geq \delta(\sigma_1)$.
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||||
\end{remark}
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\begin{definition} [somma di Riemann inferiore e superiore]
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||||
Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata e sia $\sigma = \{ x_0, \ldots, x_n \}$ una partizione
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di $[a, b]$. Si definisce allora la \textbf{somma di Riemann inferiore}
|
||||
$S'$ come:
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\[ S'(\sigma) = \sum_{i=1}^n \left( \inf_{x_{i-1} \leq x \leq x_i} f \right) (x_i - x_{i-1}), \]
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||||
e si definisce la \textbf{somma di Riemann superiore} $S''$ come:
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||||
\[ S''(\sigma) = \sum_{i=1}^n \left( \sup_{x_{i-1} \leq x \leq x_i} f \right) (x_i - x_{i-1}). \]
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||||
\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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||||
\item $\forall \sigma$ partizione di $[a, b]$, $S'(\sigma) \leq S''(\sigma)$,
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||||
\item $\forall \sigma_1$, $\sigma_2$ partizioni di $[a, b]$
|
||||
con $\sigma_2$ più fine di $\sigma_1$, vale che
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||||
$S'(\sigma_1) \leq S'(\sigma_2) \leq S''(\sigma_1) \geq S'(\sigma_2)$.
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||||
\item $\forall \sigma_1$, $\sigma_2$ partizioni di $[a, b]$,
|
||||
$S'(\sigma_1) \leq S''(\sigma_2)$.
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||||
\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item ovvio.
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\item Sia $\sigma_1 = \{ x_0, \ldots, x_n \}$ e sia
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$\sigma_2 = \sigma_1 \cup \{ \xi \}$. Aggiungi un elemento
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e la disuguaglianza regge. Fallo aggiungendo ogni elemento.
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\item Usa l'unione che è più fine.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{definition} [integrale di Riemann inferiore e superiore]
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||||
Si definisce l'\textbf{integrale di Riemann inferiore} di $f$ come:
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\[ I_- = \sup \{ S'(\sigma) \mid \sigma \text{ partizione di } [a, b] \}, \]
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|
||||
e l'\textbf{integrale di Riemann superiore} di $f$ come:
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\[ I_+ = \inf \{ S''(\sigma) \mid \sigma \text{ partizione di } [a, b] \}. \]
|
||||
\end{definition}
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\begin{remark}
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||||
Si osserva che $I_+ \geq I_-$.
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\end{remark}
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\begin{definition} [integrale di Riemann]
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Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata. Si dice che
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$f$ è \textbf{integrabile secondo Riemann} in $[a, b]$
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||||
se $I_+ = I_-$.
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||||
\end{definition}
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\begin{definition} [uniformemente continua]
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||||
Sia $X \subseteq \RR$ e sia $f : X \to \RR$. Si dice
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che $f$ è \textbf{uniformemente continua} se $\forall \eps > 0$,
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||||
$\exists \delta(\eps) > 0$ tale che $\forall x, \xbar \in X,
|
||||
\abs{x-\xbar} < \delta \implies \abs{f(x)-f(\xbar)} < \eps$.
|
||||
\end{definition}
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||||
\begin{remark}
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Se $f$ è uniformemente continua, chiaramente $f$ è
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continua, benché non sia vero il viceversa.
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\end{remark}
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\begin{example}
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||||
Sia $f : [a, +\infty) \to \RR$ tale che $f(x) = \sqrt{x}$. Sia
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$x > \xbar$, allora $\sqrt{x} > \sqrt{\xbar}$. Sia
|
||||
$x = \xbar + h$. Si considera $\sqrt{\xbar + h} - \sqrt{\xbar} < \eps$,
|
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allora $\sqrt{\xbar + h} < \eps + \sqrt{\xbar}$, da cui si
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||||
deduce che $\xbar + h < \eps^2 + \xbar + 2 \eps \sqrt{\xbar}$,
|
||||
ossia $h < \eps^2 + \eps \sqrt{\xbar}$. Preso allora $h < \eps^2$,
|
||||
si ha che $f$ è uniformemente continua.
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||||
\end{example}
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\begin{example}
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Come prima, ma per $\sin(x)$. Per Lagrange $\exists \tilde x \in (x, \xbar) \mid \frac{\sin(x) - \sin(\xbar)}{x-\xbar}=\cos(\tilde x)$,
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||||
da cui $\sin(x) - \sin(\xbar) = \cos(\xbar) (x - \xbar)$, ossia
|
||||
$\sin(x) - \sin(\xbar) \leq x - \xbar \leq \delta = \eps$.
|
||||
(In realtà vale per ogni $f$ con $\abs{f'} \leq l$.)
|
||||
\end{example}
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||||
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\begin{example}
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Dimostra che non sono unif. continue: $e^x$ (con $\log(n+1)$ e $\log(n)$), $\log(x)$ (con $e^{-n+1}$ e $e^{-n}$),
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||||
$\sin(x^2)$ (con $\sqrt(2\pi n + \pi/2)$ e $\sqrt{2\pi n}$).
|
||||
\end{example}
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\begin{theorem}
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$f : [a, b] \to \RR$ continua. Allora $f$ è uniformemente continua.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per assurdo suppongo che $f$ non sia uniformemente continua.
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||||
Allora considero $x_n$ e $\xbar_n$ tale che
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||||
$\abs{x_n - \xbar_n} \leq \frac{1}{n}$ ma $\abs{f(x_n) - f(\xbar_n)} > \eps$ $\forall n$. Per Bolzano-Weierstrass, $\exists n_k$ sottosuccessione di tale che $x_{n_k} \to x_0 \in [a, b]$.
|
||||
Anche $\xbar_{n_k} \to x_0 \in [a, b]$. Poiché $f$ è continua,
|
||||
$f(x_{n_k}) \to f(x_0)$, $f(\xbar_{n_k}) \to 0$, e quindi che
|
||||
$\abs{f(x_{n_k}) - f(\xbar_{n_k})} \to 0$, contraddizione perché
|
||||
$> \eps$.
|
||||
\end{proof}
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\begin{theorem}
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$f : [a, b] \to \RR$ continua allora $f$ è integrabile
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secondo Riemann.
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||||
\end{theorem}
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\end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Integrali impropri}
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\end{center}
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\wip
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%TODO: definizione area di una figura "ragionevole" (differenza)
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%TODO: funzione di Dirichlet non integrabile
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%TODO: se D(f) -- discontinuità -- è finito, f limitata è integrabile
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%TODO: se per ogni e > 0, esistono intervalli I_1, ..., I_{n(e)} tali che U I_i contiene D(f) e somma |I_i| < e, allora f è integrabile.
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%TODO: se per ogni e > 0, esiste una famiglia f di intervalli numerabile tale che U_{f} I_i = D(f) e somma |I_i| < e.
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\begin{definition} [integrale improprio semplice]
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Si dice che l'integrale $\int_a^b f(x) \, dx$ con $a \in \RR$ è un
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\textbf{integrale improprio semplice} in $b$ se
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$f$ è definita e continua su $[a, b)$ e $b = \pm\infty$,
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$f$ non è definita in $b$ o non è continua in $b$. Si
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definisce in modo analogo un integrale improprio semplice se $b \in \RR$. \\
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In modo più
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generale, si dice che tale integrale è improprio semplice
|
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se $f$ è integrabile in $[a, b']$ $\forall b' < b$, ma non su
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$[a, b]$
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\end{definition}
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\begin{example}\nl
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||||
\li L'integrale $\int_0^1 \frac{1}{\sin(x)} \, dx$ è un
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integrale improprio semplice dacché $\frac{1}{\sin(x)}$ è
|
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definito in $1$, ma non in $0$, ed è continuo e definito su $(0, 1)$. \\
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||||
\li L'integrale $\int_0^\pi \frac{1}{\sin(x)} \, dx$, invece,
|
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non è improprio semplice, dal momento che $\frac{1}{\sin(x)}$ non
|
||||
è definito né in $0$ né in $\pi$. \\
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||||
\li L'integrale $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \, dx$ non è improprio semplice
|
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poiché $\frac{1}{x}$ non è definito in $0$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Il valore di $\int_a^b f(x) \, dx$ è definito come $\lim_{b' \to b^-} \int_a^{b'} f(x) \, dx$, se esiste.
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||||
\end{definition}
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Vi sono dunque quattro comportamenti possibili dell'integrale improprio
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semplice $\int_a^b f(x) \, dx$:
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\begin{enumerate}[(a)]
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||||
\item esiste ed è finito (ossia, \textbf{converge}),
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||||
\item esiste ed è $+\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $+\infty$),
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\item esiste ed è $-\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $-\infty$),
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\item non esiste.
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\end{enumerate}
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\begin{remark} Sia $f : [a, b) \to \RR$ continua con primitiva $F : [a, b) \to \RR$. Allora $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{b' \to b^-} [F(b')] - F(a)$.
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\end{remark}
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||||
\begin{example}\nl
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||||
\li $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \leq 1, \\ \frac{1}{a-1} & \altrimenti.}$ \\
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||||
\li $\int_0^{1} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \geq 1, \\ \frac{1}{1-a} & \altrimenti.}$ \\
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||||
\li $\int_a^{+\infty} e^{-x} \, dx = e^{-a}$.
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||||
\li $\int_0^{+\infty} \sin(x) \, dx$ non esiste.
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||||
\end{example}
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\begin{note}
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||||
Si impiega la notazione $\int_a^b f(x) \, dx \approx \int_c^d g(x) \, dx$ per indicare che i due integrali hanno lo stesso comportamento.
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||||
\end{note}
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||||
\begin{remark}\nl
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||||
\li Il comportamento di $\int_a^b f(x) \, dx$, se $a \in \RR$, non dipende
|
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dalla scelta di $a$. \\
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\li Sia $f: [a, +\infty) \to \RR$ con limite $L \neq 0 \in \RRbar$ a $+\infty$.
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Allora:
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\[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \system{+\infty & \se L > 0, \\ -\infty & \altrimenti.} \] \\ %TODO: dimostralo
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\li Se $f \geq 0$ in un intorno di $b$, allora $\int_a^b f(x) \, dx$
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esiste sempre e vale o $+\infty$ o un numero finito. %TODO: dimostralo
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||||
\end{remark}
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\end{document}
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@@ -1,52 +0,0 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{28 aprile 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Criterio di confronto per gli integrali}
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\end{center}
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\wip
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Siano $\int_a^b f(x) \, dx$ e $\int_a^b g(x) \, dx$ due integrali
|
||||
impropri semplici in $b$.
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\begin{proposition}
|
||||
Se $o \leq f \leq g$ in un intorno di $b$, allora:
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||||
\begin{enumerate}[(i)]
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||||
\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
|
||||
$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
|
||||
|
||||
\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
|
||||
$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
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||||
\begin{proposition} [confronto asintotico debole]
|
||||
Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e $f(x) = O(g(x))$
|
||||
per $x \to b^-$, allora:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
|
||||
$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
|
||||
|
||||
\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
|
||||
$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition} [confronto asintotico forte]
|
||||
Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e esiste $0 < m < +\infty$ tale
|
||||
che $f(x) \sim m g(x)$ per $x \to b^-$, allora i due integrali
|
||||
impropri hanno lo stesso comportamento.
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\end{proposition}
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\end{document}
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BIN
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@@ -10,6 +10,4 @@ corso è stato sin da subito suddiviso in due principali parti: quella di *calcu
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dei risultati pratici dell'analisi; e quella di *analysis*, ossia di rifondazione teorica dell'analisi
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moderna, e dunque di rivisitazione in chiave strettamente più formale dei concetti intravisti nella parte di *calculus*.
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Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/). Successivamente sono
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passato a [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it),
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e poi a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
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||||
Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Successivamente ho finito col prenderli con in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
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- [Appunti di Diego Monaco 📓](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)
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Tutti i PDF sotto la cartella omonima sono il risultato degli appunti presi in presenza durante le lezioni dei proff. Gaiffi
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e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (circa il primo mese di lezioni), le lezioni
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sono quasi del tutto coperte.
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e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (la quasi totalità di teoria dei gruppi), il resto delle lezioni
|
||||
è quasi del tutto coperto.
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La cartella dell'*Algebrario* contiene un prototipo di dispense che intendo scrivere sul corso di Aritmetica del primo anno. Al momento
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il lavoro è in pausa, ma potrebbe (e dovrebbe) riprendere in estate, nonostante la presenza di una buona parte delle nozioni della
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@@ -1,187 +0,0 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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||||
\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
|
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{21 marzo 2023}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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\begin{center}
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||||
\Large \textbf{Moto di un corpo in un mezzo viscoso}
|
||||
\end{center}
|
||||
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||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textit{forza viscosa} una particolare
|
||||
forza analoga a quella di attrito, dipendente dalla sola velocità in
|
||||
un corpo omogeneo.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{remark} Riguardo la forza viscosa si possono
|
||||
enumerare alcune proprietà. \\
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||||
|
||||
\li Come la forza di attrito, la forza viscosa ha verso
|
||||
contrario rispetto alla velocità ($\hat{F} = -\hat{v}$).
|
||||
|
||||
\li In base alle caratteristiche del mezzo nel quale il
|
||||
corpo si muove, esiste una certa velocità critica $v_{cr}$ tale
|
||||
per cui $v < v_{cr} \implies \Vec{F} = -\beta \Vec{v}$, dove
|
||||
$\beta$ è una costante positiva (\textbf{legge di Stokes}).
|
||||
|
||||
\li Per $v > v_{cr}$, la legge di Stokes non è più valida.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Un esempio di forza viscosa è la resistenza aerodinamica
|
||||
al moto del proiettile, spesso trascurata.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
La costante $\beta$ della legge di Stokes dipende dalla
|
||||
viscosità del mezzo e dalle dimensioni e dalla forma del
|
||||
corpo.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example} (senza alcuna forza)
|
||||
Si pongano le condizioni $t_0 = 0$ e $\Vec{v_0} = \Vec{v}(t_0) \neq 0$. Se non agiscono altre forze sul corpo, si starà
|
||||
allora trattando un moto unidimensionale. Si considera
|
||||
allora il seguente sistema di equazioni:
|
||||
|
||||
\[ \begin{cases} F = ma, \\ F = -\beta v, \end{cases} \]
|
||||
|
||||
da cui si ricava che:
|
||||
|
||||
\[ ma=-\beta v \implies \dv=-\frac{\beta}{m} v. \]
|
||||
|
||||
Si definisce la costante $\tau = \frac{m}{\beta}$,
|
||||
la cui unità di misura è il secondo.
|
||||
|
||||
L'eq.~differenziale si riscrive allora come:
|
||||
|
||||
\[ \dv = -\frac{1}{\tau} v. \]
|
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Risolvendo quest'eq.~differenziale, si ottiene allora
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dunque che:
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\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}}. \]
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Poiché $c = v(t_0) = v_0$, si conclude dunque che:
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\[ \system{v(t) = v_0 e^{-\frac{t}{\tau}}, \\ a(t) = -\frac{1}{\tau} v(t).} \]
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\vskip 0.1in
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In particolare, integrando la velocità, si ottiene lo
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spostamento:
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\[ x(t) = \int_{t_0}^t v(t) dt = x_0 + v_0 \tau (1- e^{-\frac{t}{\tau}}). \]
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Quindi, la distanza percorsa all'infinito\footnote{Ossia, con
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buona approssimazione, dopo alcuni periodi di $\tau$.} è
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data da $x_\infty - x_0 = v_0 \tau$, dove $x_\infty = \lim_{t \to \infty} x(t) = x_0 + v_0 \tau$.
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\end{example}
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\begin{remark}
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Si osserva che la velocità inizia a diventare
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trascurabile dopo alcuni periodi di $\tau$.
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\end{remark}
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\begin{example} (con forza di gravità\footnote{In generale,
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con qualsiasi forza costante.}) Si supponga che $\Vec{v_0}$
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ed $\Vec{F} = \Vec{F_0}$ siano paralleli, e che dunque il
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||||
moto sia ancora completamente unidimensionale.
|
||||
Si deve ora considerare il seguente sistema di forze:
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\[ \system{\Vec{F_v} = -\beta \Vec{v}, \\ \Vec{F} = \Vec{F_0} = m\vec{g},} \]
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ossia, passando alle coordinate unidimensionali:
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\[ \system{F_v = -\beta v, \\ F = mg.} \]
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Da questo sistema si ottiene l'eq.~del sistema:
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\vskip 0.1in
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\[ F = mg - \beta v \implies m \dv = mg - \beta v \implies \dv = g - \frac{1}{\tau} v, \]
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ossia un'eq.~differenziale la cui associata omogenea è
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esattamente quella analizzata nello scorso esempio. Allora
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la soluzione generale è data dalla somma della soluzione
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omogenea a quella particolare $v = \tau g$, detta
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\textit{velocità limite} $v_{lim}$:
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\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau g. \]
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Ponendo allora $v(0) = v_0$, si ricava che $v_0 = c - \tau g \implies c = v_0 - \tau g$. Quindi si conclude che:
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\[ v(t) = (v_0 - v_{lim}) e^{-\frac{t}{\tau}} + v_{lim}, \]
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da cui chiaramente si osserva che $v(t) \tendstot v_{lim}$.
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\end{example}
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\begin{example} (approssimazione al moto uniformemente accelerato)
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Si assumano $t \ll \tau$ e $v_0 \ll v_{lim}$. Allora
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$\frac{t}{\tau} \ll 1$. Pertanto si può approssimare
|
||||
$e^{-\frac{t}{\tau}}$ con $1 - \frac{t}{\tau}$.
|
||||
In questo modo si ricava che:
|
||||
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\[ v(t) = (v_0 - v_{lim})(1 - \frac{t}{\tau}) + v_{lim} =
|
||||
v_0 - \frac{v_0}{\tau}t + \frac{v_{lim}}{\tau} t
|
||||
\overbrace{\approx}^{v_0 \ll v_{lim}} v_0 + \frac{v_{lim}}{\tau} t = v_0 + gt,\]
|
||||
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||||
ossia che il moto, considerate queste assunzioni, è ben approssimato
|
||||
da un moto uniformemente accelerato.
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||||
\end{example}
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\begin{center}
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\Large \textbf{Lavoro ed energia}
|
||||
\end{center}
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||||
Supponiamo che su un corpo di massa $m$ agisca una sola forza
|
||||
costante $\vec{F}$ (e quindi che ci si stia riferendo
|
||||
ad un caso unidimensionale). Supponiamo ancora che
|
||||
in questa semplificazione il corpo si sia spostato
|
||||
di una lunghezza $\Delta x$ dal punto $A$ al
|
||||
punto $B$. In questo caso si chiamerà
|
||||
lavoro svolto dalla forza $\vec{F}$ sul corpo la quantità
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scalare:
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\[ L_{AB} = F \Delta x. \]
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||||
In generale, dato il vettore spostamento
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$\Delta \Vec{r}$, se $\Vec{F}$ non è l'unica forza
|
||||
che agisce sul corpo, si ricava che il lavoro è il seguente:
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\[ L_{AB} = \vec{F} \cdot \Delta \Vec{r}. \]
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\begin{remark} Si osservano le seguenti proprietà. \\
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||||
\li Se la proiezione di $\vec{F}$ sul vettore spostamento ha
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||||
direzione opposta a $\Delta \vec{r}$ (ossia se l'angolo
|
||||
compreso tra i due vettori è maggiore a $\frac{\pi}{2}$),
|
||||
il lavoro è negativo.
|
||||
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||||
\li Il lavoro è additivo: $L_{AC} = L_{AB} + L_{BC}$.
|
||||
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||||
\li Il lavoro da $A$ a $B$, se $\Vec{F}$ non è costante,
|
||||
può essere ricavato come una somma degli infinitesimi lavori
|
||||
compiuti dalla forza, ossia:
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||||
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||||
\[ dL_{AB} = \Vec{F}(\Vec{r}) \cdot d\Vec{r}, \]
|
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||||
da cui si ricava la fondamentale identità che coinvolge
|
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un integrale di linea:
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\[ L_{AB} = \int_{\gamma(A, B)} \vec{F}(\Vec{r}) \cdot d \vec{r}, \]
|
||||
|
||||
dove $\gamma(A, B)$ è la traiettoria percorsa dal corpo
|
||||
negli estremi $A$ e $B$.
|
||||
\end{remark}
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||||
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||||
\end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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||||
\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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||||
\date{22 marzo 2023}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\begin{center}
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||||
\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Data una funzione $f : X \to \RR$ con $X \subseteq \RR^n$ definita nelle variabili $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, si
|
||||
definisce la \textit{derivata parziale} di $f$ rispetto a $x_i$ come la derivata di $f$ rispetto a $x_i$
|
||||
mantenendo le altri variabili come costanti, e si indica con la notazione $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sia $f : \RR^3 \to \RR$ tale che $f(x, y, z) = x^2y + z - xyz$. \\
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||||
|
||||
\li $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - yz$, \\ \vskip 0.01in
|
||||
\li $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - xz$, \\ \vskip 0.015in
|
||||
\li $\frac{\partial f}{\partial z} = 1-xy$.
|
||||
\end{example}
|
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\end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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||||
\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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||||
\date{22 marzo 2023}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\begin{center}
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||||
\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
|
||||
\end{center}
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||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se
|
||||
il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso,
|
||||
qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a
|
||||
$B$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come
|
||||
il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa.
|
||||
Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} =
|
||||
F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx +
|
||||
\frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si
|
||||
ricava che:
|
||||
|
||||
\[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U \]
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità:
|
||||
|
||||
|
||||
\[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le
|
||||
derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e
|
||||
quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item la forza $\vec{F}$ è conservativa,
|
||||
\item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$,
|
||||
ma solo da $A$ e $B$,
|
||||
\item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa,
|
||||
allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} =
|
||||
K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro,
|
||||
si può ricavare che:
|
||||
|
||||
\[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
|
||||
|
||||
Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$:
|
||||
|
||||
\[ \Delta U = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la
|
||||
somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$.
|
||||
Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia
|
||||
potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$,
|
||||
da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\
|
||||
|
||||
Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$.
|
||||
Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$.
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la
|
||||
forza è conservativa (e.g.~la forza peso).
|
||||
\end{example}
|
||||
\end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{29 e 30 marzo 2023}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Esempi di forze conservative}
|
||||
\end{center}
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||||
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||||
Un esempio notevole di forza conservativa è quello della
|
||||
forza elastica $\vec f = -k \vec r$. Sia infatti $\vec f = (f_x, f_y, f_z)$.
|
||||
Allora $L_{\gamma(A, B)} = \int_{\gamma(A, B)} \vec f \cdot d\vec r =
|
||||
\int_{x_A}^{x_B} f_x dx + \int_{y_A}^{y_B} f_y dy + \int_{z_A}^{z_B} f_z dz =
|
||||
-k (\int_{x_A}^{x_B} x dx + \int_{y_A}^{y_B} y dy + \int_{z_A}^{z_B} z dz) =
|
||||
-\frac{k}{2} (\norm{B}^2 - \norm{A}^2)$, ossia non dipende dalla traiettoria
|
||||
$\gamma$. Si ricava allora che $U(x) = \frac{k}{2} x ^2$, nel caso
|
||||
unidimensionale.
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||||
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||||
%TODO: recuperare lezione.
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||||
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||||
\begin{definition} (impulso di una forza)
|
||||
Si definisce \textbf{impulso di una forza} l'integrale
|
||||
$\vec I(t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) dt$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Sia $\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i$. Allora $\vec I(t_1, t_2) =
|
||||
\sum_{i=1}^N \vec I_i(t_1, t_2)$, dove $\vec I_i$ è calcolato su $\vec F_i$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem} (dell'impulso)
|
||||
Vale l'identità $\vec I(t_1, t_2) = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) = \Delta \vec P$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{definition} (momento di un vettore applicato)
|
||||
Si definisce \textbf{momento di un vettore} $\vec v$ dal polo
|
||||
$\omega$ sul punto applicato $A$ con vettore $\vec r$ il
|
||||
vettore perpendicolare ad ambo i vettori $\vec r \times \vec v$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Si consideri $\vec{\ell_\omega} = (\vec r - \vec{r_0}) \times \vec p$.
|
||||
Allora, la sua derivata è $(\vec v . \vec{r_0}) \times \vec p +
|
||||
(\vec r - \vec{r_0}) \times \vec F$.
|
||||
\end{document}
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# [Fisica I con laboratorio](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53662&aa=2022&cid=9&did=20)
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- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53662&aa=2022&cid=9&did=20)
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||||
- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7084066::::&ri=8516)
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Per quanto riguarda Fisica I, lo studio è ancora attuale, e pertanto questa cartella vedrà continui aggiornamenti. Gli
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appunti sono in particolare presi in LaTeX e scritti mediante [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
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BIN
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||||
- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7084718::::&ri=9408)
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- [Sito web 🔗](http://pages.di.unipi.it/bodei/CORSO_FP_22/FP/index.html)
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Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi prima con [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/) e successivamente con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
|
||||
tutto il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
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||||
Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
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||||
il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
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||||
- [Sito web 🔗](http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Matematica/indice1.html)
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Il corso di Geometria 1 non è ancora terminato, e per questo motivo questa cartella vedrà ancora aggiornamenti. Gli appunti non sono stati presi con gli stessi strumenti sin dall'inizio: in particolar modo,
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||||
ho alternato prima [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/) a [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it), per poi passare definitivamente a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
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||||
ho iniziato a prendere appunti con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it), per poi passare definitivamente a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
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La cartella contiene in particolar modo una *Scheda riassuntiva*, che, come dice il nome, vorrebbe essere un recap di
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tutti i risultati principali dell'algebra lineare.
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