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Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-21/main.tex

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-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{21 aprile 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Integrale secondo Riemann}
-	\end{center}
-
-	\begin{definition} (partizione di un intervallo)
-		Preso $[a, b] \subset \RR$. Sia $\sigma = \{x_0, x_1, \ldots, x_n \}$
-		con $n \in \NN$. Diciamo che $\sigma$ è una \textbf{partizione}
-		di $[a, b]$ se $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{definition} (taglia di una partizione)
-		Si definisce $\delta(\sigma)$, con $\sigma$ partizione,
-		come la massima distanza tra due punti consecutivi della partizione $\sigma$, ed è detta \textbf{parametro di finezza} della partizione $\sigma$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{definition} (ordinamento sulle partizioni)
-		Siano $\sigma_1$, $\sigma_2$ due partizioni di $[a, b]$. Allora
-		$\sigma_2$ è più fine di $\sigma_1$ se $\sigma_1 \subset \sigma_2$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{remark}
-		Siano $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono due partizioni di $[a, b]$. \\
-		
-		\li Chiaramente $\sigma_1 \cup \sigma_2$ è più fine sia di
-		$\sigma_1$ che di $\sigma_2$.
-		
-		\li Inoltre, se $\sigma_1$ è più fine di $\sigma_2$,
-		$\delta(\sigma_2) \geq \delta(\sigma_1)$. 
-	\end{remark}
-
-	\begin{definition} [somma di Riemann inferiore e superiore]
-		Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata e sia $\sigma = \{ x_0, \ldots, x_n \}$ una partizione
-		di $[a, b]$. Si definisce allora la \textbf{somma di Riemann inferiore}
-		$S'$ come:
-		
-		\[ S'(\sigma) = \sum_{i=1}^n \left( \inf_{x_{i-1} \leq x \leq x_i} f \right) (x_i - x_{i-1}), \]
-		
-		e si definisce la \textbf{somma di Riemann superiore} $S''$ come:
-		
-		\[ S''(\sigma) = \sum_{i=1}^n \left( \sup_{x_{i-1} \leq x \leq x_i} f \right) (x_i - x_{i-1}). \]
-	\end{definition}
-
-	\begin{proposition}
-		Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata. Allora:
-		
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item $\forall \sigma$ partizione di $[a, b]$, $S'(\sigma) \leq S''(\sigma)$,
-
-			\item $\forall \sigma_1$, $\sigma_2$ partizioni di $[a, b]$
-			con $\sigma_2$ più fine di $\sigma_1$, vale che
-			$S'(\sigma_1) \leq S'(\sigma_2) \leq S''(\sigma_1) \geq S'(\sigma_2)$.
-			
-			\item $\forall \sigma_1$, $\sigma_2$ partizioni di $[a, b]$,
-			$S'(\sigma_1) \leq S''(\sigma_2)$.
-		\end{enumerate}
-	\end{proposition}
-
-	\begin{proof}
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item ovvio.
-			
-			\item Sia $\sigma_1 = \{ x_0, \ldots, x_n \}$ e sia
-			$\sigma_2 = \sigma_1 \cup \{ \xi \}$. Aggiungi un elemento
-			e la disuguaglianza regge. Fallo aggiungendo ogni elemento.
-	
-			\item Usa l'unione che è più fine.
-		\end{enumerate}
-	\end{proof}
-
-	\begin{definition} [integrale di Riemann inferiore e superiore]
-		Si definisce l'\textbf{integrale di Riemann inferiore} di $f$ come:
-		
-		\[ I_- = \sup \{ S'(\sigma) \mid \sigma \text{ partizione di } [a, b] \}, \]
-		
-		e l'\textbf{integrale di Riemann superiore} di $f$ come:
-		
-		\[ I_+ = \inf \{ S''(\sigma) \mid \sigma \text{ partizione di } [a, b] \}. \]
-	\end{definition}
-
-	\begin{remark}
-		Si osserva che $I_+ \geq I_-$.
-	\end{remark}
-
-	\begin{definition} [integrale di Riemann]
-		Sia $f : [a, b] \to \RR$ limitata. Si dice che
-		$f$ è \textbf{integrabile secondo Riemann} in $[a, b]$
-		se $I_+ = I_-$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{definition} [uniformemente continua]
-		Sia $X \subseteq \RR$ e sia $f : X \to \RR$. Si dice
-		che $f$ è \textbf{uniformemente continua} se $\forall \eps > 0$,
-		$\exists \delta(\eps) > 0$ tale che $\forall x, \xbar \in X,
-		\abs{x-\xbar} < \delta \implies \abs{f(x)-f(\xbar)} < \eps$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{remark}
-		Se $f$ è uniformemente continua, chiaramente $f$ è
-		continua, benché non sia vero il viceversa.
-	\end{remark}
-
-	\begin{example}
-		Sia $f : [a, +\infty) \to \RR$ tale che $f(x) = \sqrt{x}$. Sia
-		$x > \xbar$, allora $\sqrt{x} > \sqrt{\xbar}$. Sia
-		$x = \xbar + h$. Si considera $\sqrt{\xbar + h} - \sqrt{\xbar} < \eps$,
-		allora $\sqrt{\xbar + h} < \eps + \sqrt{\xbar}$, da cui si
-		deduce che $\xbar + h < \eps^2 + \xbar + 2 \eps \sqrt{\xbar}$,
-		ossia $h < \eps^2 + \eps \sqrt{\xbar}$. Preso allora $h < \eps^2$,
-		si ha che $f$ è uniformemente continua.
-	\end{example}
-
-	\begin{example}
-		Come prima, ma per $\sin(x)$. Per Lagrange $\exists \tilde x \in (x, \xbar) \mid \frac{\sin(x) - \sin(\xbar)}{x-\xbar}=\cos(\tilde x)$,
-		da cui $\sin(x) - \sin(\xbar) = \cos(\xbar) (x - \xbar)$, ossia
-		$\sin(x) - \sin(\xbar) \leq x - \xbar \leq \delta = \eps$.
-		(In realtà vale per ogni $f$ con $\abs{f'} \leq l$.)
-	\end{example}
-
-	\begin{example}
-		Dimostra che non sono unif. continue: $e^x$ (con $\log(n+1)$ e $\log(n)$), $\log(x)$ (con $e^{-n+1}$ e $e^{-n}$),
-		$\sin(x^2)$ (con $\sqrt(2\pi n + \pi/2)$ e $\sqrt{2\pi n}$).
-	\end{example}
-
-	\begin{theorem}
-		$f : [a, b] \to \RR$ continua. Allora $f$ è uniformemente continua.
-	\end{theorem}
-
-	\begin{proof}
-		Per assurdo suppongo che $f$ non sia uniformemente continua.
-		Allora considero $x_n$ e $\xbar_n$ tale che
-		$\abs{x_n - \xbar_n} \leq \frac{1}{n}$ ma $\abs{f(x_n) - f(\xbar_n)} > \eps$ $\forall n$. Per Bolzano-Weierstrass, $\exists n_k$ sottosuccessione di tale che $x_{n_k} \to x_0 \in [a, b]$.
-		Anche $\xbar_{n_k} \to x_0 \in [a, b]$. Poiché $f$ è continua,
-		$f(x_{n_k}) \to f(x_0)$, $f(\xbar_{n_k}) \to 0$, e quindi che
-		$\abs{f(x_{n_k}) - f(\xbar_{n_k})} \to 0$, contraddizione perché
-		$> \eps$.
-	\end{proof}
-
-	\begin{theorem}
-		$f : [a, b] \to \RR$ continua allora $f$ è integrabile
-		secondo Riemann.
-	\end{theorem}
-	
-\end{document}

Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.tex

@@ -1,97 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{\today}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Integrali impropri}
-	\end{center}
-
-	\wip
-	
-	%TODO: definizione area di una figura "ragionevole" (differenza)
-	%TODO: funzione di Dirichlet non integrabile
-	%TODO: se D(f) -- discontinuità -- è finito, f limitata è integrabile
-	%TODO: se per ogni e > 0, esistono intervalli I_1, ..., I_{n(e)} tali che U I_i contiene D(f) e somma |I_i| < e, allora f è integrabile.
-	%TODO: se per ogni e > 0, esiste una famiglia f di intervalli numerabile tale che U_{f} I_i = D(f) e somma |I_i| < e. 
-	
-	\begin{definition} [integrale improprio semplice]
-		Si dice che l'integrale $\int_a^b f(x) \, dx$ con $a \in \RR$ è un
-		\textbf{integrale improprio semplice} in $b$ se
-		$f$ è definita e continua su $[a, b)$ e $b = \pm\infty$,
-		$f$ non è definita in $b$ o non è continua in $b$. Si
-		definisce in modo analogo un integrale improprio semplice se $b \in \RR$. \\ 
-		
-		In modo più
-		generale, si dice che tale integrale è improprio semplice
-		se $f$ è integrabile in $[a, b']$ $\forall b' < b$, ma non su
-		$[a, b]$
-	\end{definition}
-
-	\begin{example}\nl
-		\li L'integrale $\int_0^1 \frac{1}{\sin(x)} \, dx$ è un
-		integrale improprio semplice dacché $\frac{1}{\sin(x)}$ è
-		definito in $1$, ma non in $0$, ed è continuo e definito su $(0, 1)$. \\
-		
-		\li L'integrale $\int_0^\pi \frac{1}{\sin(x)} \, dx$, invece,
-		non è improprio semplice, dal momento che $\frac{1}{\sin(x)}$ non
-		è definito né in $0$ né in $\pi$. \\
-		
-		\li L'integrale $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \, dx$ non è improprio semplice
-		poiché $\frac{1}{x}$ non è definito in $0$.
-	\end{example}
-
-	\begin{definition}
-		Il valore di $\int_a^b f(x) \, dx$ è definito come $\lim_{b' \to b^-} \int_a^{b'} f(x) \, dx$, se esiste.
-	\end{definition}
-
-	Vi sono dunque quattro comportamenti possibili dell'integrale improprio
-	semplice $\int_a^b f(x) \, dx$:
-	
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item esiste ed è finito (ossia, \textbf{converge}),
-		
-		\item esiste ed è $+\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $+\infty$),
-		
-		\item esiste ed è $-\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $-\infty$),
-		
-		\item non esiste.
-	\end{enumerate}
-
-	\begin{remark} Sia $f : [a, b) \to \RR$ continua con primitiva $F : [a, b) \to \RR$. Allora $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{b' \to b^-} [F(b')] - F(a)$.
-	\end{remark}
-	
-	\begin{example}\nl
-		\li $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \leq 1, \\ \frac{1}{a-1} & \altrimenti.}$ \\
-		
-		\li  $\int_0^{1} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \geq 1, \\ \frac{1}{1-a} & \altrimenti.}$ \\
-		
-		\li $\int_a^{+\infty} e^{-x} \, dx = e^{-a}$.
-		
-		\li $\int_0^{+\infty} \sin(x) \, dx$ non esiste.
-	\end{example}
-
-	\begin{note}
-		Si impiega la notazione $\int_a^b f(x) \, dx \approx \int_c^d g(x) \, dx$ per indicare che i due integrali hanno lo stesso comportamento.
-	\end{note}
-
-	\begin{remark}\nl
-		\li Il comportamento di $\int_a^b f(x) \, dx$, se $a \in \RR$, non dipende
-		dalla scelta di $a$. \\
-		
-		\li Sia $f: [a, +\infty) \to \RR$ con limite $L \neq 0 \in \RRbar$ a $+\infty$.
-		Allora:
-		
-		\[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \system{+\infty & \se L > 0, \\ -\infty & \altrimenti.} \] \\ %TODO: dimostralo
-		
-		\li Se $f \geq 0$ in un intorno di $b$, allora $\int_a^b f(x) \, dx$
-		esiste sempre e vale o $+\infty$ o un numero finito. %TODO: dimostralo
-	\end{remark}
-\end{document}

Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-28/main.tex

@@ -1,52 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{28 aprile 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Criterio di confronto per gli integrali}
-	\end{center}
-
-	\wip
-	
-	Siano $\int_a^b f(x) \, dx$ e $\int_a^b g(x) \, dx$ due integrali
-	impropri semplici in $b$.
-	
-	\begin{proposition}
-		Se $o \leq f \leq g$ in un intorno di $b$, allora:
-		
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
-			$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
-			
-			\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
-			$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
-		\end{enumerate}
-	\end{proposition}
-
-	\begin{proposition} [confronto asintotico debole]
-		Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e $f(x) = O(g(x))$
-		per $x \to b^-$, allora:
-		
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
-			$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
-			
-			\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
-			$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
-		\end{enumerate}
-	\end{proposition}
-
-	\begin{proposition} [confronto asintotico forte]
-		Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e esiste $0 < m < +\infty$ tale
-		che $f(x) \sim m g(x)$ per $x \to b^-$, allora i due integrali
-		impropri hanno lo stesso comportamento.
-	\end{proposition}
-\end{document}

Analisi matematica 1/README.md

@@ -10,6 +10,4 @@ corso è stato sin da subito suddiviso in due principali parti: quella di *calcu
 dei risultati pratici dell'analisi; e quella di *analysis*, ossia di rifondazione teorica dell'analisi
 moderna, e dunque di rivisitazione in chiave strettamente più formale dei concetti intravisti nella parte di *calculus*.
 
-Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/). Successivamente sono
+Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Successivamente ho finito col prenderli con in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
-passato a [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it),
-e poi a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).

Aritmetica/README.md

@@ -5,8 +5,8 @@
 - [Appunti di Diego Monaco 📓](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)
 
 Tutti i PDF sotto la cartella omonima sono il risultato degli appunti presi in presenza durante le lezioni dei proff. Gaiffi
-e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (circa il primo mese di lezioni), le lezioni
+e D'Adderio, di cui sopra il programma. Seppur manchi una parte preliminare (la quasi totalità di teoria dei gruppi), il resto delle lezioni
-sono quasi del tutto coperte.
+è quasi del tutto coperto.
 
 La cartella dell'*Algebrario* contiene un prototipo di dispense che intendo scrivere sul corso di Aritmetica del primo anno. Al momento
 il lavoro è in pausa, ma potrebbe (e dovrebbe) riprendere in estate, nonostante la presenza di una buona parte delle nozioni della

Fisica I/2023-03-21, Moto in un mezzo viscoso, lavoro ed energia/main.tex

@@ -1,187 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage[physics]{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{21 marzo 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Moto di un corpo in un mezzo viscoso}
-	\end{center}
-	
-	\begin{definition}
-		Si definisce \textit{forza viscosa} una particolare
-		forza analoga a quella di attrito, dipendente dalla sola velocità in
-		un corpo omogeneo.
-	\end{definition}
-	
-	\begin{remark} Riguardo la forza viscosa si possono
-		enumerare alcune proprietà. \\
-		
-		\li Come la forza di attrito, la forza viscosa ha verso
-		contrario rispetto alla velocità ($\hat{F} = -\hat{v}$).
-		
-		\li In base alle caratteristiche del mezzo nel quale il
-		corpo si muove, esiste una certa velocità critica $v_{cr}$ tale
-		per cui $v < v_{cr} \implies \Vec{F} = -\beta \Vec{v}$, dove
-		$\beta$ è una costante positiva (\textbf{legge di Stokes}).
-		
-		\li Per $v > v_{cr}$, la legge di Stokes non è più valida.
-	\end{remark}
-	
-	\begin{example}
-		Un esempio di forza viscosa è la resistenza aerodinamica
-		al moto del proiettile, spesso trascurata.
-	\end{example}
-	
-	\begin{remark}
-		La costante $\beta$ della legge di Stokes dipende dalla
-		viscosità del mezzo e dalle dimensioni e dalla forma del
-		corpo.
-	\end{remark}
-	
-	\begin{example} (senza alcuna forza)
-		Si pongano le condizioni $t_0 = 0$ e $\Vec{v_0} = \Vec{v}(t_0) \neq 0$. Se non agiscono altre forze sul corpo, si starà
-		allora trattando un moto unidimensionale. Si considera
-		allora il seguente sistema di equazioni:
-		
-		\[ \begin{cases} F = ma, \\ F = -\beta v, \end{cases} \]
-		
-		da cui si ricava che:
-		
-		\[ ma=-\beta v \implies \dv=-\frac{\beta}{m} v. \]
-		
-		Si definisce la costante $\tau = \frac{m}{\beta}$,
-		la cui unità di misura è il secondo.
-		
-		L'eq.~differenziale si riscrive allora come:
-		
-		\[ \dv = -\frac{1}{\tau} v. \]
-		
-		Risolvendo quest'eq.~differenziale, si ottiene allora
-		dunque che:
-		
-		\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}}. \]
-		
-		Poiché $c = v(t_0) = v_0$, si conclude dunque che:
-		
-		\[ \system{v(t) = v_0 e^{-\frac{t}{\tau}}, \\ a(t) = -\frac{1}{\tau} v(t).} \]
-		
-		\vskip 0.1in
-		
-		In particolare, integrando la velocità, si ottiene lo
-		spostamento:
-		
-		\[ x(t) = \int_{t_0}^t v(t) dt = x_0 + v_0 \tau (1- e^{-\frac{t}{\tau}}). \]
-		
-		Quindi, la distanza percorsa all'infinito\footnote{Ossia, con
-			buona approssimazione, dopo alcuni periodi di $\tau$.} è
-		data da $x_\infty - x_0 = v_0 \tau$, dove $x_\infty = \lim_{t \to \infty} x(t) = x_0 + v_0 \tau$.
-		
-	\end{example}
-	
-	\begin{remark}
-		Si osserva che la velocità inizia a diventare
-		trascurabile dopo alcuni periodi di $\tau$.
-	\end{remark}
-	
-	\begin{example} (con forza di gravità\footnote{In generale,
-			con qualsiasi forza costante.}) Si supponga che $\Vec{v_0}$
-		ed $\Vec{F} = \Vec{F_0}$ siano paralleli, e che dunque il
-		moto sia ancora completamente unidimensionale. 
-		Si deve ora considerare il seguente sistema di forze:
-		
-		\[ \system{\Vec{F_v} = -\beta \Vec{v}, \\ \Vec{F} = \Vec{F_0} = m\vec{g},} \]
-		
-		ossia, passando alle coordinate unidimensionali:
-		
-		\[ \system{F_v = -\beta v, \\ F = mg.} \]
-		
-		Da questo sistema si ottiene l'eq.~del sistema:
-		
-		\vskip 0.1in
-		
-		\[ F = mg - \beta v \implies m \dv = mg - \beta v \implies \dv = g - \frac{1}{\tau} v, \]
-		
-		ossia un'eq.~differenziale la cui associata omogenea è
-		esattamente quella analizzata nello scorso esempio. Allora
-		la soluzione generale è data dalla somma della soluzione
-		omogenea a quella particolare $v = \tau g$, detta
-		\textit{velocità limite} $v_{lim}$:
-		
-		\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau g. \]
-		
-		Ponendo allora $v(0) = v_0$, si ricava che $v_0 = c - \tau g \implies c = v_0 - \tau g$. Quindi si conclude che:
-		
-		\[ v(t) = (v_0 - v_{lim}) e^{-\frac{t}{\tau}} + v_{lim}, \]
-		
-		da cui chiaramente si osserva che $v(t) \tendstot v_{lim}$.
-		
-	\end{example}
-	
-	\begin{example} (approssimazione al moto uniformemente accelerato)
-		Si assumano $t \ll \tau$ e $v_0 \ll v_{lim}$. Allora
-		$\frac{t}{\tau} \ll 1$. Pertanto si può approssimare
-		$e^{-\frac{t}{\tau}}$ con $1 - \frac{t}{\tau}$.
-		In questo modo si ricava che:
-		
-		\[ v(t) = (v_0 - v_{lim})(1 - \frac{t}{\tau}) + v_{lim} =
-		v_0 - \frac{v_0}{\tau}t + \frac{v_{lim}}{\tau} t
-		\overbrace{\approx}^{v_0 \ll v_{lim}} v_0 + \frac{v_{lim}}{\tau} t = v_0 + gt,\]
-		
-		ossia che il moto, considerate queste assunzioni, è ben approssimato
-		da un moto uniformemente accelerato.
-	\end{example}
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Lavoro ed energia}
-	\end{center}
-	
-	Supponiamo che su un corpo di massa $m$ agisca una sola forza
-	costante $\vec{F}$ (e quindi che ci si stia riferendo
-	ad un caso unidimensionale). Supponiamo ancora che
-	in questa semplificazione il corpo si sia spostato
-	di una lunghezza $\Delta x$ dal punto $A$ al 
-	punto $B$. In questo caso si chiamerà
-	lavoro svolto dalla forza $\vec{F}$ sul corpo la quantità
-	scalare:
-	
-	\[ L_{AB} = F \Delta x. \]
-	
-	In generale, dato il vettore spostamento
-	$\Delta \Vec{r}$, se $\Vec{F}$ non è l'unica forza
-	che agisce sul corpo, si ricava che il lavoro è il seguente:
-	
-	\[ L_{AB} = \vec{F} \cdot \Delta \Vec{r}. \]
-	
-	\begin{remark} Si osservano le seguenti proprietà. \\
-		
-		\li Se la proiezione di $\vec{F}$ sul vettore spostamento ha
-		direzione opposta a $\Delta \vec{r}$ (ossia se l'angolo
-		compreso tra i due vettori è maggiore a $\frac{\pi}{2}$),
-		il lavoro è negativo.
-		
-		\li Il lavoro è additivo: $L_{AC} = L_{AB} + L_{BC}$.
-		
-		\li Il lavoro da $A$ a $B$, se $\Vec{F}$ non è costante,
-		può essere ricavato come una somma degli infinitesimi lavori
-		compiuti dalla forza, ossia:
-		
-		\[ dL_{AB} = \Vec{F}(\Vec{r}) \cdot d\Vec{r}, \]
-		
-		da cui si ricava la fondamentale identità che coinvolge
-		un integrale di linea:
-		
-		\[ L_{AB} = \int_{\gamma(A, B)} \vec{F}(\Vec{r}) \cdot d \vec{r}, \]
-		
-		dove $\gamma(A, B)$ è la traiettoria percorsa dal corpo
-		negli estremi $A$ e $B$.
-	\end{remark}
-	
-	
-\end{document}

Fisica I/2023-03-22, Derivate parziali e integrali di linea/main.tex

@@ -1,31 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage[physics]{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{22 marzo 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
-	\end{center}
-
-	\begin{definition}
-		Data una funzione $f : X \to \RR$ con $X \subseteq \RR^n$ definita nelle variabili $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, si
-		definisce la \textit{derivata parziale} di $f$ rispetto a $x_i$ come la derivata di $f$ rispetto a $x_i$
-		mantenendo le altri variabili come costanti, e si indica con la notazione $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
-	\end{definition}
-
-	\begin{example}
-		Sia $f : \RR^3 \to \RR$ tale che $f(x, y, z) = x^2y + z - xyz$. \\
-		
-		\li $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - yz$, \\ \vskip 0.01in
-		\li $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - xz$, \\ \vskip 0.015in
-		\li $\frac{\partial f}{\partial z} = 1-xy$.
-	\end{example}
-	
-\end{document}

Fisica I/2023-03-23, Gradiente, rotore e forze conservative/main.tex

@@ -1,89 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage[physics]{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{22 marzo 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
-	\end{center}
-
-	\begin{definition}
-		Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se
-		il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso,
-		qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a
-		$B$.
-	\end{definition}
-	
-	\begin{definition}
-		Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come
-		il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$.
-	\end{definition}
-	
-	\begin{remark}
-		Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa.	
-		Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} =
-		F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx +
-		\frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si
-		ricava che:
-		
-		\[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U  \]
-	\end{remark}
-
-	\begin{definition}
-		Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità:
-		
-		
-		\[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\]
-	\end{definition}
-	
-	\begin{remark}
-		Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le
-		derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e
-		quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$
-	\end{remark}
-
-	\begin{remark}
-		In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
-		
-		\begin{enumerate}[(i)]
-			\item la forza $\vec{F}$ è conservativa,
-			\item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$,
-			ma solo da $A$ e $B$,
-			\item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$.
-		\end{enumerate}
-	\end{remark}
-
-	\begin{remark}
-		Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa,
-		allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} =
-		K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro,
-		si può ricavare che:
-		
-		\[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
-		
-		Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$:
-		
-		\[ \Delta U =  L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
-	\end{remark}
-
-	Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la
-	somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$.
-	Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia
-	potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$,
-	da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\
-	
-	Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$.
-	Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$.
-
-	\begin{example}
-		Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la
-		forza è conservativa (e.g.~la forza peso).
-	\end{example}
-\end{document}

Fisica I/2023-03-29, Esempi di forze conservative e impulso/main.tex

@@ -1,49 +0,0 @@
-\documentclass[11pt]{article}
-\usepackage[physics]{personal_commands}
-\usepackage[italian]{babel}
-
-\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{29 e 30 marzo 2023}
-
-\begin{document}
-	
-	\maketitle
-	
-	\begin{center}
-		\Large \textbf{Esempi di forze conservative}
-	\end{center}
-
-	Un esempio notevole di forza conservativa è quello della
-	forza elastica $\vec f = -k \vec r$. Sia infatti $\vec f = (f_x, f_y, f_z)$.
-	Allora $L_{\gamma(A, B)} = \int_{\gamma(A, B)} \vec f \cdot d\vec r =
-	\int_{x_A}^{x_B} f_x dx + \int_{y_A}^{y_B} f_y dy + \int_{z_A}^{z_B} f_z dz =
-	-k (\int_{x_A}^{x_B} x dx + \int_{y_A}^{y_B} y dy + \int_{z_A}^{z_B} z dz) =
-	-\frac{k}{2} (\norm{B}^2 - \norm{A}^2)$, ossia non dipende dalla traiettoria
-	$\gamma$. Si ricava allora che $U(x) = \frac{k}{2} x ^2$, nel caso
-	unidimensionale.
-	
-	%TODO: recuperare lezione.
-	
-	\begin{definition} (impulso di una forza)
-		Si definisce \textbf{impulso di una forza} l'integrale
-		$\vec I(t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) dt$.
-	\end{definition}
-
-	Sia $\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i$. Allora $\vec I(t_1, t_2) =
-	\sum_{i=1}^N \vec I_i(t_1, t_2)$, dove $\vec I_i$ è calcolato su $\vec F_i$.
-	
-	\begin{theorem} (dell'impulso)
-		Vale l'identità $\vec I(t_1, t_2) = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) = \Delta \vec P$.
-	\end{theorem}
-
-	\begin{definition} (momento di un vettore applicato)
-		Si definisce \textbf{momento di un vettore} $\vec v$ dal polo
-		$\omega$ sul punto applicato $A$ con vettore $\vec r$ il
-		vettore perpendicolare ad ambo i vettori $\vec r \times \vec v$.
-	\end{definition}
-
-	Si consideri $\vec{\ell_\omega} = (\vec r - \vec{r_0}) \times \vec p$.
-	Allora, la sua derivata è $(\vec v . \vec{r_0}) \times \vec p +
-	(\vec r - \vec{r_0}) \times \vec F$.
-\end{document}

Fisica I/README.md

@@ -1,7 +0,0 @@
-# [Fisica I con laboratorio](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53662&aa=2022&cid=9&did=20)
-
-- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53662&aa=2022&cid=9&did=20)
-- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7084066::::&ri=8516)
-
-Per quanto riguarda Fisica I, lo studio è ancora attuale, e pertanto questa cartella vedrà continui aggiornamenti. Gli
-appunti sono in particolare presi in LaTeX e scritti mediante [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).

Fond. di programmazione/README.md

@@ -4,5 +4,5 @@
 - [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7084718::::&ri=9408)
 - [Sito web 🔗](http://pages.di.unipi.it/bodei/CORSO_FP_22/FP/index.html)
 
-Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi prima con [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/) e successivamente con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
+Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
-tutto il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
+il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.

Geometria 1/README.md

@@ -5,7 +5,7 @@
 - [Sito web 🔗](http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Matematica/indice1.html)
 
 Il corso di Geometria 1 non è ancora terminato, e per questo motivo questa cartella vedrà ancora aggiornamenti. Gli appunti non sono stati presi con gli stessi strumenti sin dall'inizio: in particolar modo,
-ho alternato prima [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/) a [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it), per poi passare definitivamente a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
+ho iniziato a prendere appunti con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it), per poi passare definitivamente a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).
 
 La cartella contiene in particolar modo una *Scheda riassuntiva*, che, come dice il nome, vorrebbe essere un recap di
 tutti i risultati principali dell'algebra lineare.