alg1(galois): aggiorna la scheda riassuntiva

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex

@@ -40,107 +40,105 @@
 
 \begin{document}
 
-	\parskip=0.7ex
+\parskip=0.7ex
 
-	\raggedright
+\raggedright
-	\footnotesize
+\footnotesize
 
-	\begin{center}
+\begin{center}
 	\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
-	\end{center}
+\end{center}
-	\begin{multicols}{3}
+\begin{multicols}{3}
 	\setlength{\premulticols}{1pt}
 	\setlength{\postmulticols}{1pt}
 	\setlength{\multicolsep}{1pt}
 	\setlength{\columnsep}{2pt}
 
+	\textit{La teoria si concentra sulle estensioni finite su campi perfetti,
+		benché si sia dato spazio anche a considerazioni su estensioni infinite
+		o non separabili.}
+
 	\section{Campi e omomorfismi}
 
 	Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
-		$K$ che è
+	$K$ i cui elementi non nulli ammettono un inverso
-		contemporaneamente anche un corpo. Si dice
+	moltiplicativo. Si dice
 	\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
-		un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
+	un omomorfismo che è anche omomorfismo di anelli. \smallskip
+
+	Dal momento che un omomorfismo
 	$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
 	di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
 	valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
-		di campi è un'immersione. \medskip
+	di campi è sempre iniettivo.
-		
 
 	\section{Caratteristica di un campo}
 
-		Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
+	Esiste un unico omomorfismo $\ZZ \to K$ completamente
-		determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
+	determinato dalla relazione $1 \mapsto 1_K$, e
 	si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
 	$\Char K$, il
-		generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
+	generatore non negativo del nucleo di questa mappa. In particolare
-		$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
+	$\Char K$ è $0$ o un numero primo. \smallskip
-		$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
-		e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
 
+	Se $\Char K$ è zero,
+	$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
+	e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \smallskip
 
 	Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
-		finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
+	finito. In particolare $\FF_p(x)$, il campo delle funzioni
-		razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
+	razionali a coefficienti in $\FF_p$, è un campo infinito
 	a caratteristica $p$.
 
-		
+	\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica \texorpdfstring{$p$}{p}}
-		\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
 
 	Se $\Char K = p$, per il Primo
-		teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
+	teorema di isomorfismo per anelli, $\FF_p$ si immerge
-		su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
+	su $K$ tramite il passaggio al quoziente di $\ZZ \to K$; pertanto
-		$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
+	$K$ contiene una copia isomorfa di $\FF_p$. Per
 	campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
 	binomio ingenuo, ossia:
 	\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
-		estendibile anche a più addendi.
+	estendibile anche a più addendi. \smallskip
+
 	In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
 	la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
 	è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
-		di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
+	di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. \smallskip
-		un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
+
-		copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
+	Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
+	un isomorfismo (gli omomorfismi tra campi sono iniettivi!).
+	Si osserva che per gli elementi di $\FF_p \subseteq K$ vale
 	$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
 	$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$.
 
-		
 	\section{Campi finiti}
 
-		
 	Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
-		di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
+	di ordine $p^n$. Ogni tale campo può essere visto
-		ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
+	come spazi vettoriale di dimensione $n$ sull'immersione di $\FF_p$ che contiene,
-		come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
+	e come campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$
-		e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
+	su tale immersione. Tale campi ha obbligatoriamente
-		su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
+	caratteristica $p$. \smallskip
-		caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
-		sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
-		
-		
-		Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
-		si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
-		algebriche di tali campi. In particolare con
-		$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
-		esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
-		uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
-		altre relazioni (come l'estensione di campi)
-		tenendo bene in mente di star
-		considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
 
+	Fissati $p$ ed $n$, esiste un unico campo finito di cardinalità
+	$p^n$: esiste sempre un isomorfismo tra due campi finiti che
+	fissa le copie di $\FF_p$. Indichiamo con $\FF_{p^n}$ la struttura
+	algebrica di un campo di cardinalità $p^n$. \smallskip
 
 	Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
-		se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
+	se e solo se $p=q$ e $n \mid m$ (segue facilmente dal Teorema
+	delle torri algebriche). Conseguentemente,
 	l'estensione minimale per inclusione comune a
 	$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
 	$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
 	se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
 	di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
-		è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
+	è $\FF_{p^m}$. Da ciò segue anche che $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
 	prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
 	di $n$.
 
-		\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
+	\section{Campi di spezzamento per polinomi su \texorpdfstring{$K$}{K}}
 
 	Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
 	di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
@@ -148,27 +146,34 @@
 	moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
 	$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
 	e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
-		$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
+	$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. \smallskip
+
+	Si dice
 	\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
 	di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
-		inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
+	inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$
+	si decomponga in fattori lineari. I campi
 	di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
-		$K$-isomorfi tra loro. \medskip
+	$K$-isomorfi tra loro (ossia ammettono isomorfismi che fissano
-		
+	il campo base $K$). \smallskip
 
 	Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
 	radici distinte. Per il criterio della derivata,
 	$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
 	$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
-		formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
+	formale di $p$. \smallskip
-		$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
-		conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
-		Galois sulle radici. \medskip
 
+	Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
+	$[L : K] \leq n!$ (infatti, presa una radice, la sua aggiunta al campo base
+	restituisce un'estensione di grado al più
+	$n$; dobbiamo poi considerare il polinomio rimanente di grado $n-1$ che aumenta l'estensione
+	di al più un fattore $n-1$; reiterando si ottiene la tesi). Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
+	conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
+	Galois sulle radici. \smallskip
 
 	Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
 	massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
-		ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
+	ne contiene una radice, ossia $\overline x$. In
 	particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
 	e quindi tale campo può essere identificato come
 	un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
@@ -176,16 +181,18 @@
 	all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
 	tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
 	di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
-		$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
+	$\overline x$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
 	sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
 	in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
-		e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
+	e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$
+	(alternativamente, esiste un unico campo di cardinalità $p^n$ a
+	meno di isomorfismo, e quindi necessariamente le radici devono
+	già appartenere in $\FF_{p^n}$).
 	In particolare, ogni estensione finita e semplice
-		di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
+	di un campo finito è normale, e quindi di Galois.
 
 	\section{Estensioni di campo}
 
-		
 	Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
 	con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
 	ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
@@ -193,23 +200,22 @@
 	dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
 	è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
 	di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
-		è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
+	è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. \smallskip
-		iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
-		agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
-		una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
 
+	Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
+	da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
+	agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
+	una $K$-immersione che è isomorfismo.
 
 	\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
 
-		
 	Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
 	$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
 	ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
 	contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
 	può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
 	vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
-		vettori in $L$. \medskip
+	vettori in $L$. \smallskip
-		
 
 	Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
 	un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
@@ -235,25 +241,23 @@
 	si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
 	$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
 
-		
 	\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
 
-		
 	Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
 	sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
 		valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
 	$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
 	determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
 	surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
-		si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
+	si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente} su $K$ e
 	$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
 		[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
 	è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
 	su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
 		minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
-		di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
+	di $\Ker \varphi_\alpha$. Dal momento che $K$ è
-		in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
+	in particolare un dominio di integrità e che $K[x]$ è un PID,
-		
+	$\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \smallskip
 
 	Si definisce
 	$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
@@ -263,31 +267,29 @@
 	$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
 	anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
 	Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
-		$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
+	$[K(\alpha) : K]$ è finito. \smallskip
-
 
 	\subsection{Estensioni semplici, algebriche}
 
-		
 	Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
 	$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
 	In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
 		algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
 	Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
-		estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
+	estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \smallskip
-		
 
-		L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
+	Gli elementi algebrici di $K$ formano un'estensione algebrica di $K$.
-		di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
 	Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
 	$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
-		e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
+	e $\alpha\inv \beta$ (a patto che opportunamente $\alpha \neq 0$ o
-		$\beta \neq 0$) sono algebrici.  
+	$\beta \neq 0$) sono algebrici. \smallskip
 
+	Dati $a$, $b \in \QQ$, le estensioni $\QQ(\sqrt{a})$ e
+	$\QQ(\sqrt{b})$ sono uguali se e solo se $ab$ (o equivalentemente
+	$a/b$) è un quadrato in $\QQ$.
 
 	\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
 
-		
 	Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
 	$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
 	$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
@@ -295,12 +297,11 @@
 	polinomio irriducibile ammette radici distinte,
 	ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
 	In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
-		è separabile. Si definiscono i coniugati di
+	è separabile. Si definiscono i \textbf{coniugati} di
 	$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
 	di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
 	$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
-		altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
+	altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \smallskip
-		
 
 	Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
 	$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
@@ -310,8 +311,7 @@
 	campi perfetti sono allora tutti i campi di
 	caratteristica $0$ e tutti i campi finiti.
 
-		
+	\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di \texorpdfstring{$K$}{K}}
-		\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
 
 	Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
 	ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
@@ -321,8 +321,7 @@
 	chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
 	$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
 	con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
-		chiusura algebrica di $K$. \medskip
+	chiusura algebrica di $K$. \smallskip
-		
 
 	Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
 	chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
@@ -332,32 +331,31 @@
 	di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
 	$\overline{\RR} = \CC$.
 
-		
+	\subsection{Estensioni normali e di Galois, \texorpdfstring{$K$}{K}-immersioni di un'estensione finita di \texorpdfstring{$K$}{K}}
-		\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
 
 	Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
 	$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
 	$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
 	sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
-		$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
+	$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Infatti,
+	ogni $K$-immersione si ottiene come passaggio al quoziente
+	di una mappa $K[x] \to K$ che fissa $K$ il cui nucleo contiene
+	$\mu_\alpha$. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
 	$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
-		in $\overline{K}$. \medskip
+	in $\overline{K}$. \smallskip
 
+	Generalizzando, se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
+	ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
+	esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
+	tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \smallskip
 
 	Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
 	esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
 	da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
 	tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
-		loro coniugati. \medskip
+	loro coniugati. \smallskip
-		
-		
-		Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
-		ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
-		esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
-		tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
-		
 
-		Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
+	Per calcolare dunque tutti
 	i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
 	calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
 	di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
@@ -365,8 +363,7 @@
 	$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
 	restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
 	particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
-		su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
+	su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \smallskip
-		
 
 	Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
 	se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
@@ -376,101 +373,72 @@
 	di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
 	hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
 	è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
-		i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
+	i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$. \smallskip
-		Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
-		$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
-		il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
-		un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
 
+	Per un'estensione normale ad ogni $K$-immersione
+	$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
+	il codominio ad $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
+	un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \smallskip
 
-		Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
+	Se $\Char K \neq 2$, un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
 	ed in particolare può sempre scriversi come
 	$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
-		in $K$.
+	in $K$. \smallskip
-		
 
 	Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
 	degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
-		$L$ è normale e separabile, si dice
+	$L$ è normale e separabile, si dice che $L$ è
-		\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
+	un'\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
 	il suo \textbf{gruppo di Galois}
 	$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
 	il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
-		composizione.
+	composizione. \smallskip
-		
 
-		\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
+	\subsection{Azione di \texorpdfstring{$\Gal(L / K)$}{Gal(L/K)} sulle radici di \texorpdfstring{$L$}{L} campo di spezzamento}
 
 	Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
 	Allora si definisce
 	il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
-		di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
+	di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è campo di
 	spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
 	$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
-		$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
+	$\Gal(L / K)$ agisce fedelmente e transitivamente
-		mediante $\Xi$, in modo tale che:
+	su $\{a_1, \ldots, a_n\}$ in modo naturale:
 
 	\begin{equation*}
 		\begin{split}
-			\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
+			\Gal( & L / K) \curvearrowright S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
-			&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
+			      & \varphi_i \cdot a_j = \varphi_i(a_j).
 		\end{split}
 	\end{equation*}
 
-		In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
+	Poiché l'azione è fedele, vale che
-		$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
+	$\Gal(L / K) \mono S_n$, e quindi $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$.
-		(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
+	Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
-		$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
+	(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), l'azione
-		abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
+	è anche libera, e quindi per il Lemma orbita-stabilizzatore vale
-		valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip
+	$\abs{\Gal(L / K)} = n$. \smallskip
 
-
+	Inoltre, poiché $[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare:
-		
-		Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
-		che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
-		$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
 	\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
 
-		
+	\section{Proprietà su torri, traslato, composto e intersezione}
-		\section{Diagrammi di campo e proprietà}
-		
-		
-		Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
-		diagramma della seguente forma:
-		\[\begin{tikzcd}
-			& LM \\
-			L & {} & M \\
-			& {L \cap M} \\
-			& K
-			\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
-			\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
-			\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
-			\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
-			\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
-		\end{tikzcd}\]
-		In particolare il precedente diagramma rappresenta
-		lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
-		rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
-		di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
-		per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
-		della stessa freccia. \medskip
-		
 
 	Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
 	studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
-		le seguenti tre modalità:
+	le seguenti quattro modalità:
 	\begin{itemize}
 		\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
 		      vale per tutta la torre di estensioni,
 		\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
-			per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
+		      per $L / K$, allora vale anche per $LM / M$, ossia
-			vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
+		      vale sul ramo parallelo a quello di $L / K$,
 		\item validità per il \textbf{composto}: se
 		      $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
 		      vale anche per $LM / K$.
 		\item validità per l'\textbf{intersezione}:
 		      se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
-			allora vale anche per $L \cap M / K$.
+		      allora vale anche per $(L \cap M) / K$.
 	\end{itemize}
 	Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
 	per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
@@ -478,8 +446,7 @@
 	Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
 	per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
 	e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
-		vale anche per l'intersezione. \medskip
+	vale anche per l'intersezione. \smallskip
-		
 
 	Si dice che
 	$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
@@ -492,10 +459,10 @@
 	vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
 	composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
 	per \textit{shift}, allora vale anche per il
-		composto.
+	composto. \smallskip
 
 	La seguente tabella raccoglie le proprietà
-		delle estensioni sui diagrammi di campo:
+	delle estensioni:
 	\begin{center}
 		\scriptsize
 		\vskip -0.1in
@@ -510,7 +477,6 @@
 		\end{tabular}
 	\end{center}
 
-
 	\section{Teorema dell'elemento primitivo}
 
 	Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
@@ -526,20 +492,23 @@
 	Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
 	ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
 	per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
-		$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
+	$L = K(a + bt)$ (perché ha il numero giusto di coniugati per
+	generare tutto $L$!). Reiterando questo algoritmo su
 	tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
 	un elemento primitivo desiderato.
 
-		\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
+	\section{Corrispondenza di Galois}
 
+	\subsection{Teorema di corrispondenza di Galois}
 
 	Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
-		si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
+	si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$ composta
-		fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
+	dagli elementi di $L$
+	fissati da tutti gli elementi di $H$.
 	In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
-		Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
+	Conseguentemente, vale il seguente teorema:
 
-		\begin{theorem}
+	\begin{theorem}[di corrispondenza di Galois]
 		Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
 		di $L / K$ estensione di Galois. Sia
 		$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
@@ -552,28 +521,24 @@
 		la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
 		è tale per cui:
 		\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
+		Questa corrispondenza manda sottoestensioni di grado $n$ su $K$
+		in sottogruppi di indice $n$ e viceversa (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)} / \abs{\Gal(L : F)} =
+			[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$). \smallskip
+
 		Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
 		$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
 		il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
 		è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
-			$F$ è in particolare di Galois e vale che:
+		$F$ è in particolare di Galois e vale:
 		\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
-		\end{theorem}
-		
-		Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
 
+		Infine valgono le seguente proprietà:
 		\begin{itemize}
-			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
+			\item $L^H \subseteq L^Q \iff H \geq Q$ (la corrispondenza inverte le inclusioni),
-			grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
-			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
-			un certo indice $n$ è uguale al numero di
-			sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
-			$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
-			[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
-			\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
 			\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
 			\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
 		\end{itemize}
+	\end{theorem}
 
 	In particolare, un diagramma di campi -- a patto
 	che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
@@ -601,6 +566,42 @@
 			\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
 		\end{tikzcd}\]
 
+	\subsection{Relazioni tra gruppi di Galois in un diagramma}
+
+	Consideriamo il seguente diagramma di campi:
+	\[\begin{tikzcd}
+			& LM \\
+			L & {} & M \\
+			& {L \cap M} \\
+			& K
+			\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
+			\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
+			\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
+		\end{tikzcd}\]
+
+	Allora $\Gal(LM/M)$ è sempre isomorfo a $\Gal(L/(L \cap M))$ tramite:
+	\[
+		\varphi \mapsto \restr{\varphi}{L}.
+	\]
+	Per la validità dell'isomorfismo, è sufficiente che $L$ sia di Galois, ma non
+	è necessario che lo sia anche $M$ (benché debba essere finita). \smallskip
+
+	Pertanto, se $L \cap M = K$, vale $\Gal(LM/M) \cong \Gal(L/K)$, e quindi
+	in tal caso:
+	\[
+		[LM : K] = [L : K] [M : K].
+	\]
+
+	Sussiste sempre un'immersione:
+	\[
+		\Gal(LM/K) \hookrightarrow \Gal(L/K) \times \Gal(M/K),
+	\]
+	che manda $\varphi$ in $(\restr{\varphi}{L}, \restr{\varphi}{M})$. Tale
+	immersione è un isomorfismo se e solo se $L \cap M = K$, per il precedente
+	risultato.
+
 	\section{Gruppi di Galois noti}
 
 	\subsection{Campi finiti}
@@ -613,18 +614,23 @@
 	conserva sempre la cardinalità),
 	una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
 	in un campo della stessa cardinalità, e quindi
-		necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
+	necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \smallskip
-		
 
 	Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
-		fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
+	fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$.
+	Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
 	spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
 	\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
 
-		
 	Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
 	tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
-		al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
+	al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$. \smallskip
+
+	Se il campo base non è $\FF_p$, si può utilizzare la corrispondenza
+	di Galois per determinare comunque che:
+	\[
+		\Gal(\FF_{p^n} / \FF_{p^m}) \cong \faktor{\ZZ / n \ZZ}{\ZZ / m \ZZ}.
+	\]
 
 	\subsection{Polinomi biquadratici}
 
@@ -637,39 +643,35 @@
 			D_4                        & \altrimenti.
 		\end{cases} \]
 
-		
+	\subsection{Radici di primi in \texorpdfstring{$\QQ$}{ℚ}}
-		\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
 
 	Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
-		Allora
+	Allora vale che:
-		vale che:
 	\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
 
-		\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
+	\subsection{I polinomi ciclotomici \texorpdfstring{$\Phi_n(x)$}{Φₙ(x)}}
 
 	Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
 	\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
-		dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
+	dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \smallskip
-		
 
 	Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
 	su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
 	\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
 	Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
 	$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
-		e pertanto di Galois. \medskip
+	e pertanto di Galois. \smallskip
-		
 
 	Inoltre vale che:
 	\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
-		e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
+	e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$. \smallskip
 
 	\vfill
 	\hrule
 	~\\
 	Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
 	~\\Reperibile su
-		\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
+	\url{https://github.com/hearot/notes}, nella sezione \textit{Corsi $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
-	\end{multicols}
+\end{multicols}
 
 \end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/notes_2023.sty

@@ -0,0 +1,451 @@
+\ProvidesPackage{notes_2023}
+
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage{bookmark}
+\usepackage{faktor}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{nicefrac}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{marvosym}
+\usepackage{float}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{scalerel}
+\usepackage{stackengine}
+\usepackage{wasysym}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+
+\usepackage{quiver}
+
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\usepackage{tabularx}
+
+% Setup preliminari
+\setlength{\extrarowheight}{4pt}
+
+\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
+
+\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è
+            da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
+
+\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par}
+
+% Modalità matematica/fisica
+\newcommand{\SMatrix}[1]{\begin{psmallmatrix}#1\end{psmallmatrix}}
+
+\let\oldvec\vec
+\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
+
+\newcommand{\con}{\text{con }}
+\newcommand{\dove}{\text{dove }}
+\newcommand{\E}{\text{ e }}
+\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
+\newcommand{\se}{\text{se }}
+\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!}
+\newcommand{\epari}{\text{ è pari}}
+\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}}
+
+\newcommand{\nl}{\ \\}
+
+\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;}
+
+\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
+
+\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
+\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+% Principio di induzione e setup dimostrativi.
+\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;}
+\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;}
+
+\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;}
+\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1.
+\newcommand{\dx}{\dot{x}}
+\newcommand{\ddx}{\ddot{x}}
+\newcommand{\dv}{\dot{v}}
+
+\newcommand{\del}{\partial}
+\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
+
+\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
+
+\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
+\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
+\newcommand{\khat}{\hat{k}}
+
+\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
+\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
+\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
+\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
+%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}}
+\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}}
+\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}}
+\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
+\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
+
+\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
+\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
+\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
+\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
+\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 2
+
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\PPGL}{\mathbb{P}\!\GL}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+
+\DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale
+\DeclareMathOperator{\SOO}{SO} % gruppo ortogonale speciale
+
+\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}}
+\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top}
+
+\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
+
+\let\AA\undefined
+\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
+\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\KKxn}{\KK[x_1, \ldots, x_n]}
+
+\let\ext\faktor
+\newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
+
+\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\Ad}[1]{\mathcal{A}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
+\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
+\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac}
+
+\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
+\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
+\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
+\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
+\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
+\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
+
+\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
+
+\DeclareMathOperator{\PH}{PH}
+\DeclareMathOperator{\PS}{PS}
+
+\let\imm\Im
+\let\Im\undefined
+\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
+\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
+\newcommand{\restr}[2]{
+    #1\arrowvert_{#2}
+}
+
+\newcommand{\innprod}[1]{\langle #1 \rangle}
+
+\newcommand{\zerovecset}{\{\vec 0\}}
+\newcommand{\bigzero}{\mbox{0}}
+\newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}}
+
+\newcommand{\Idv}{\operatorname{Id}_V}
+\newcommand{\Idw}{\operatorname{Id}_W}
+\newcommand{\IdV}[1]{\operatorname{Id}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
+\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
+\DeclareMathOperator{\Mult}{Mult}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
+\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
+\DeclareMathOperator{\Cof}{Cof}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
+\DeclareMathOperator{\Sp}{sp}
+
+\newcommand{\dperp}{{\perp\perp}}
+
+\newcommand{\Eigsp}[0]{V_{\lambda}}
+\newcommand{\Gensp}[0]{\widetilde{V_{\lambda}}}
+\newcommand{\eigsp}[1]{V_{\lambda_{#1}}}
+\newcommand{\gensp}[1]{\widetilde{V_{\lambda_{#1}}}}
+\newcommand{\genspC}[1]{\widetilde{V_{#1}}}
+
+\DeclareMathOperator{\val}{val}
+\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
+\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}}
+\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)}
+\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}}
+\newcommand{\valf}{\val_f}
+\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}}
+\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}}
+\newcommand{\V}{\vec{v}}
+\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}}
+\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}}
+\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}}
+\newcommand{\NMatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
+\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+
+\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
+
+\let\v\undefined
+\newcommand{\v}{\vec{v}}
+\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\w}{\vec{w}}
+\newcommand{\U}{\vec{u}}
+\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
+\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
+\newcommand{\x}{\vec{x}}
+\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}}
+\newcommand{\y}{\vec{y}}
+\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}}
+
+\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
+\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
+
+\newcommand{\tauindis}{\tau_{\text{indis}}}
+\newcommand{\taudis}{\tau_{\text{dis}}}
+
+% Spesso utilizzati durante il corso di Algebra 1
+
+\newcommand{\Det}[1]{\begin{vmatrix}
+        #1
+    \end{vmatrix}}
+\DeclareMathOperator{\disc}{disc}
+\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
+
+\newcommand{\mono}{\hookrightarrow}
+
+\newcommand{\pev}{\nu_p}
+\newcommand{\exactdiv}{\mathrel\Vert}
+\newcommand{\pset}{\mathcal{P}}
+
+\newcommand{\Dn}{D_n}
+\newcommand{\Sn}{S_n}
+
+\newcommand{\mulgrp}[1]{\left(#1\right)^*}
+
+\newcommand{\ZZmulmod}[1]{\mulgrp{\ZZmod{#1}}}
+
+\newcommand{\bij}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\ZZpmod}[1]{\ZZ \quot {\left(#1\right)} \ZZ}
+\newcommand{\ZZmod}[1]{\ZZ \quot #1 \ZZ}
+\newcommand{\cleq}[1]{\overline{#1}}
+
+\newcommand{\rotations}{\mathcal{R}}
+\newcommand{\gen}[1]{\langle #1 \rangle}
+\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
+
+\newcommand{\actson}{\circlearrowleft}
+\newcommand{\Cyc}[1]{\left<#1\right>}
+
+% Comandi personali.
+
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
+
+\newenvironment{solution}
+{\textit{Soluzione.}\,}
+
+\theoremstyle{definition}
+
+\let\abstract\undefined
+\let\endabstract\undefined
+
+\newtheorem*{abstract}{Abstract}
+\newtheorem*{algorithm}{Algoritmo}
+\newtheorem*{corollary}{Corollario}
+\newtheorem*{definition}{Definizione}
+\newtheorem*{example}{Esempio}
+\newtheorem{exercise}{Esercizio}
+\newtheorem{lemma}{Lemma}
+\newtheorem*{nlemma}{Lemma}
+\newtheorem*{note}{Nota}
+\newtheorem*{remark}{Osservazione}
+\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
+\newtheorem*{summary}{Sommario}
+\newtheorem*{theorem}{Teorema}
+\newtheorem*{scheme}{Schema della dimostrazione}
+
+\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+
+\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
+\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
+
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
+
+\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
+\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
+
+\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
+\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
+
+\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
+\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
+\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
+
+\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
+\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
+\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
+\newcommand{\Ll}{\mathcal{L}}
+
+\newcommand{\nsg}{\triangleleft} % sottogruppo normale proprio
+\newcommand{\nsgeq}{\trianglelefteqslant} % sottogruppo normale
+
+% evan.sty original commands
+\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
+\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
+\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
+\providecommand{\alert}{\vocab}
+\newcommand{\catname}{\mathsf}
+\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
+
+% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
+\newcommand{\CC}{\mathbb C}
+\newcommand{\FF}{\mathbb F}
+\newcommand{\NN}{\mathbb N}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
+\newcommand{\RR}{\mathbb R}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
+
+% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
+\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
+\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
+
+% From M275 "Topology" at SJSU
+\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
+\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
+
+% From the USAMO .tex files
+\newcommand{\dg}{^\circ}
+
+\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
+\newcommand{\opname}{\operatorname}
+\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
+
+% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
+
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
+\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
+\DeclareMathOperator{\Ker}{ker}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
+\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+
+% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
+% più comuni.
+
+\let\oldemptyset\emptyset
+\let\emptyset\varnothing
+
+% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
+
+\let\oldcirc\circ
+\let\circ\undefined
+\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
+
+\let\oldexists\exists
+\let\exists\undefined
+\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
+
+\let\oldforall\forall
+\let\forall\undefined
+\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
+
+\let\oldnexists\nexists
+\let\nexists\undefined
+\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
+
+\let\oldland\land
+\let\land\undefined
+\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
+
+\let\oldlnot\lnot
+\let\lnot\undefined
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
+
+\let\oldlor\lor
+\let\lor\undefined
+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
+
+\DeclareOption{counter}{
+    \let\algorithm\@undefined
+    \let\endalgorithm\@undefined
+    \let\corollary\@undefined
+    \let\endcorollary\@undefined
+    \let\c@lemma\@undefined
+    \let\lemma\@undefined
+    \let\endlemma\@undefined
+    \let\proposition\@undefined
+    \let\endproposition\@undefined
+    \let\theorem\@undefined
+    \let\endtheorem\@undefined
+
+    \newtheorem{algorithm}{Algoritmo}[chapter]
+    \newtheorem{corollary}{Corollario}[chapter]
+    \newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter]
+    \newtheorem{proposition}{Proposizione}[chapter]
+    \newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
+}
+
+\ProcessOptions\relax
+
+\author{di Gabriel Antonio Videtta}
+\date{\vspace{-0.5cm}}