Dacché $\varphi$ è definito positivo, $\varphi(\v, \v)\neq0\implies\lambda=-\conj{\lambda}$. Allora
$\Re(\lambda)=\frac{\lambda+\conj{\lambda}}{2}=0$, e quindi $\lambda$ è immaginario, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{exercise}
Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato del prodotto $\varphi$. Siano $U$, $W \subseteq V$ due sottospazi
di $V$. Si dimostrino allora le due seguenti
identità.
\begin{enumerate}[(i)]
\item$(U + W)^\perp= U^\perp\cap W^\perp$,
\item$(U \cap W)^\perp\supseteq U^\perp+ W^\perp$, dove vale l'uguaglianza insiemistica se $\varphi$
è non degenere.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{proof}[Soluzione]
Sia $\v\in(U + W)^\perp$ e siano $\U\in U \subseteq U + W$, $\w\in W \subseteq U + W$. Allora
$\varphi(\v, \U)=0\implies\v\in U^\perp$ e $\varphi(\v, \w)=0\implies\v\in W^\perp$,
da cui si conclude che $(U + W)^\perp\subseteq U^\perp\cap W^\perp$. Sia adesso
$\v\in U^\perp\cap W^\perp$ e $\v' =\U+\w\in U + W$ con $\U\in V$ e $\w\in W$. Allora
$\varphi(\v, \v')=\varphi(\v, \U)+\varphi(\v, \w)=0\implies\v\in(U + W)^\perp$, da cui
si deduca che vale la doppia inclusione, e quindi che $(U + W)^\perp= U^\perp\cap W^\perp$,
dimostrando (i). \\
Sia ora $\v' =\U' +\w' \in U^\perp+ W^\perp$ con $\U' \in U^\perp$ e $\w' \in W^\perp$. Sia
$\v\in U \cap W$. Allora $\varphi(\v, \v')=\varphi(\v, \U')+\varphi(\v, \w')=0\implies
\v' \in (U \cap W)^\perp$, da cui si deduce che $(U \cap W)^\perp\supseteq U^\perp + W^\perp$.
Se $\varphi$ è non degenere, $\dim(U^\perp+ W^\perp)=\dim U^\perp+\dim W^\perp-\dim(U^\perp\cap W^\perp)=2\dim V -\dim U -\dim W -\dim(U+W)^\perp=\dim V -\dim U -\dim W +\dim(U + W)=
\dim V - \dim (U + W) = \dim (U + W)^\perp$. Valendo pertanto l'uguaglianza dimensionale, si
conclude che in questo caso $(U \cap W)^\perp= U^\perp+ W^\perp$, dimostrando (ii).
\Large\textbf{Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini}
\end{center}
\wip
\begin{note}
Nel corso delle lezioni si è impiegata la notazione $g.x$ per indicare
l'azione di un gruppo su un dato elemento $x \in X$. Tuttavia si è
preferito indicare $g.x$ con$g \cdot x$ nel corso del documento. \\
preferito utilizzare la notazione$g \cdot x$ nel corso del documento. \\
Inoltre, con $G$ si indicherà un generico gruppo, e con $X$ un
generico insieme, sul quale $G$ agisce, qualora non indicato diversamente.
@ -122,21 +121,44 @@
$\exists g \in G \mid g \cdot x = y \implies\tau(g \Stab(x))= g \cdot x = y$. Siano ora $g$, $g' \in G$ tali che $\tau(g \Stab(x))=\tau(g' \Stab(x))$, allora $g \cdot x = g' \cdot x \implies(g' g\inv)\cdot x = x \implies g' g\inv\in\Stab(x)$. Pertanto $g \Stab(x)= g' \Stab(x)$, e $\tau$ è allora iniettiva, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark} Come conseguenza del teorema di orbita-stabilizzatore,
\begin{remark}\nl
\li Come conseguenza del teorema di orbita-stabilizzatore,
si osserva che $\abs{G/\Stab(x)}=\abs{\Orb(x)}$, se $\Orb(x)$ è
finito, e quindi si conclude, per il teorema di Lagrange, che
$\abs{G}=\abs{\Stab(x)}\abs{\Orb(x)}$.
$\abs{G}=\abs{\Stab(x)}\abs{\Orb(x)}$. \\
\li Il teorema di orbita-stabilizzatore implica il primo teorema di omomorfismo. Siano infatti
$G$, $H$ due gruppi e sia $f$ un omomorfismo da $G$ in $H$. Si può allora costruire un azione
di $G$ in $H$ in modo tale che $g \cdot h = f(g) h$$\forall g \in G$, $h \in H$. Infatti
$e_G \cdot h = f(e_G) h = e_H h = h$ e $g \cdot(g' \cdot h)= g \cdot(f(g') h)= f(g) f(g') h =
infatti $\Stab(e_H)=\{ g \in G \mid g \cdot e_H = f(g) e_H = f(g)= e_H \}=\Ker f$. Inoltre,
$\Orb(e_H)=\Im f$, dal momento che $\Orb(e_H)=\{ h \in H \mid\exists g \in G \tc g \cdot h = f(g) h = e_H \iff f(g)= h\inv\}=\{ h \in H \mid\exists g \in G \text{ t.c. } f(g)= h \}=\Im f$, dove
si è usato che $h\inv\in\Im f \iff h \in\Im f$. \\
Dal momento allora che $\Stab(e_H)$ è il kernel di $f$, vale che $\Stab(e_H)\nsg G$, e quindi
che $G/\Stab(e_H)$ è un gruppo.
Si verifica allora che l'applicazione $\tau$ costruita nella dimostrazione del teorema di orbita-stabilizzatore
è un omomorfismo. Siano infatti $g \Stab(e_H)$, $g' \Stab(e_H)\in G/\Stab(e_H)$, allora
Si conclude dunque, per il teorema di orbita-stabilizzatore, che $\tau$ è bigettiva, e dunque
che $G/\Ker f = G/\Stab(e_H)\cong\Orb(e_H)=\Im f$, ossia si ottiene la tesi del primo
teorema di omomorfismo.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice che $G$\textbf{opera liberamente} su $X$ se
$\forall x \in X$, l'applicazione da $G$ in $\Orb(x)$ tale che
Si dice che $G$\textbf{opera liberamente} su $X$ se, dato $x \in X$, l'applicazione da $G$ in $X$ tale che
$g \mapsto g \cdot x$ è iniettiva, ossia se $\Stab(x)=\{e\}$.
\end{definition}
\begin{definition}
Si dice che $G$\textbf{opera transitivamente} su $X$ se $x \sim_G y$$\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In
tal caso si dice che $X$ è \textbf{omogeneo} per l'azione di $G$.
Si dice che $G$\textbf{opera transitivamente} su $X$ se, dato $x \in X$, l'applicazione da $G$ in $X$ tale che $g \mapsto g \cdot x$ è surgettiva, ossia se $x \sim_G y$$\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In
tal caso si dice che $X$ è un insieme \textbf{omogeneo} per l'azione di $G$ (o semplicemente che è
un \textit{$G$-insieme omogeneo}).
\end{definition}
\begin{example} Si possono fare alcuni esempi classici di insiemi $X$
@ -152,7 +174,7 @@
ultimo elemento, deve essere nulla. Allora $O$ deve
essere della seguente forma:
\[ O =\Matrix{A&\rvline&0\\\hline0&\rvline&1}, \]
\[ O =\Matrix{&&&&&&\rvline&0\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\&&&\mbox{\normalfont\Large$A$}&&&\rvline&\vdots\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\&&&&&&\rvline&\vdots\,\\\hline&0&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\rvline&1\,}, \]
\vskip 0.05in
@ -166,75 +188,129 @@
\begin{definition}
Si dice che $G$\textbf{opera in maniera semplicemente transitiva} su $X$
se$\exists x \in X$ tale che l'applicazione da $G$ in $X$$g \mapsto g \cdot x$ è una bigezione,
se, dato $x \in X$, l'applicazione da $G$ in $X$ tale che$g \mapsto g \cdot x$ è una bigezione,
ossia se $G$ opera transitivamente e liberamente.
\end{definition}
\begin{definition}
Un insieme $X$ con un'azione semplicemente transitiva di $G$ è
detto un $G$-insieme omogeneo \textit{principale}.
Un insieme $X$ che subisce un'azione del gruppo $G$ che opera in maniera
semplicemente transitiva è
detto un \textbf{$G$-insieme omogeneo principale}.
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}[(i)]
\item$X = G$. L'azione naturale di $G$ su $X$ per moltiplicazione
è semplicemente transitivo (per $g$, $g' \in G$, esiste un
unico $h \in G$ tale che $g = h.g' = hg'$). Quindi $X$
è $G$-omogeneo principale.
Se $X = G$ e l'azione considerata è quella naturale dell'operazione di $G$,
tale azione opera in maniera semplicemente transitiva. Dato $x \in X$, si consideri infatti l'applicazione $\tau$
da $G$ in $G$ tale che
$g \mapsto g \cdot x = gx$. Si osserva che $\tau$ è surgettiva, dacché, dato $h \in G$,
$h = h x\inv x =\tau(h x\inv)$. Inoltre $\tau$ è iniettiva, dal momento che, dati $g$, $g'$
tali che $\tau(g)=\tau(g')$, allora $gx = g' x \implies g = g'$. Pertanto $\tau$ è bigettiva, e
l'azione opera allora in maniera semplicemente transitiva.
\end{example}
\item Se $X$ è $G$-omogeneo principale, l'azione è fedele.
\begin{remark}\nl
\li Se $X$ è $G$-omogeneo principale, l'azione di $G$ su $X$ è fedele. Infatti, $f_g =\Id\implies g \cdot x = x$$\forall x \in X$. Dal momento però che $X$ è $G$-omogeneo principale, $G$ opera liberamente su $X$,
e quindi $\Stab(x)=\{e\}$$\forall x \in X \implies g = e$. \\
\item Se $X$ è omogeneo per un gruppo $G$ commutativo, allora
$G$ agisce fedelmente su $X$$\implies$$X$ è un $G$-insieme
omogeneo principale.
\end{enumerate}
\end{example}
\li Se $X$ è $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$$\iff$$X$ è $G$-omogeneo principale. \\
Se $G$ agisce fedelmente su $X$, dato $x \in X$, si può considerare infatti $g \in\Stab(x)\implies g \cdot x = x$. Si osserva allora
che $f_g =\Id$. Dato infatti $y \in X$, dacché $X$ è $G$-omogeneo, $\exists g' \in G \mid y = g' \cdot x$,
da cui si ricava che $f_g(y)= g \cdot y = g \cdot(g' \cdot x)=(gg')\cdot x =(g'g)\cdot x = g' \cdot(g \cdot x)= g' \cdot x = y$, ossia proprio che $f_g =\Id$. Dal momento però che l'azione di $G$ su $X$ è fedele,
$f_g =\Id\implies g = e$, ossia $\Stab(x)=\{e\}$$\forall x \in X$, per cui si conclude che l'azione
di $G$ opera in maniera semplicemente transitiva su $X$, e dunque che $X$ è $G$-omogeneo principale. \\
Viceversa, se $X$ è $G$-omogeneo principale, $\Stab(x)=\{ e \}$$\forall x \in X$. Allora, se $f_g =\Id$,
per ogni $x \in X$ deve valere che $g \in\Stab(x)=\{ e \}\implies g = e$.
\end{remark}
\hr
\begin{definition} [spazio affine]
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\KK$ qualsiasi.
Allora uno spazio affine $E$ associato a $V$ è un qualunque
$V$-insieme omogeneo principale.
$V$-insieme omogeneo principale\footnote{Per gruppo $V$ si intende il gruppo abeliano $(V, +)$.}.
In particolare si indica l'azione di $V$ su $E$$(\v, P)\mapsto\v\cdot P$ come $P +\v$ (o
analogamente come $\v+ P$). Inoltre, gli elementi di $E$ si
Siano $P_1$, ..., $P_n \in E$. $\forall\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. $\forall O \in E$ possiamo individuare il punto $P = O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)$.
Siano adesso $P_1$, ..., $P_n$ punti di $E$. Dati $\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$ e $O \in E$ si può allora individuare il punto $P = O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_1- O)\in E$.
$P = P' =\iff O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)= O' +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O')\iff O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (O' - O)= O' \iff
(\sum\lambda_i) (O' - O) = O' - O \iff\sum\lambda_i = 1$.
\begin{proposition}
Dati $P_1$, ..., $P_n$ punti di $E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$, il punto
$P(O)= O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)$ rappresenta lo stesso identico punto al
variare del punto $O$ se e solo se $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$.
\end{proposition}
\begin{definition}
\begin{proof}
Siano $O$, $O'$ due punti distinti di $E$. Allora $P(O)= P(O')\iff O +\sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)=
la somma e utilizzando l'identità dell'\textit{Osservazione} (v), si ottiene allora che $P(O)= P(O')\iff
\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$.
\end{proof}
\begin{definition} [combinazione affine di punti]
Un punto $P \in E$ è \textbf{combinazione affine} dei punti
$P_1$, ..., $P_k$ se $P = O +\sum\lambda_i (P_i - O)$ se
$\sum\lambda_i =1$. Si scriverà, in particolare, che
$P =\sum\lambda_i P_i$.
$P_1$, ..., $P_n$ se $\exists\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$, $O \in E$ tali che $P = O +\sum_{i=1}^n\lambda_i (P_i - O)$e che
$\sum_{i=1}^n\lambda_i =1$. Dal momento che per la precedente proposizione $P$ è invariante al variare di $O \in E$, si scriverà, senza alcuna ambiguità, che
$P =\sum_{i=1}^n\lambda_i P_i$.
\end{definition}
Si chiama retta affine l'insieme dei punti che sono combinazione affine di
due punti. Analogamente si fa per un piano e uno spazio.
\begin{definition}
Un sottoinsieme $D \subseteq E$ si dirà \textbf{sottospazio affine}
se è chiuso per combinazioni affini (finite).
\begin{definition} [sottospazio affine]
Un sottoinsieme $D \subseteq E$ si dice \textbf{sottospazio affine} di $E$ se ogni combinazione
affine di finiti termini di $D$ appartiene a $D$.
\end{definition}
\begin{definition}
Il sottospazio affine $D \subseteq E$ generato da un sottoinsieme $S \subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni affini (finite) di punti
di $S$, detto $D =\Aff(S)$.%TODO: mostrare che è chiuso per combinazioni affini.
\begin{definition} [sottospazio affine generato da alcuni punti]
Dati $S \subseteq E$, si dice \textbf{sottospazio affine generato da $S$}
l'insieme delle combinazioni affini di finiti termini dei punti di $S$, denotato con $\Aff(S)$.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Come avviene per $\Span$ nel caso degli spazi vettoriali, dati $P_1$, ..., $P_n \in E$, si usa scrivere $\Aff(P_1, \ldots, P_n)$
per indicare $\Aff(\{P_1, \ldots, P_n\})$. \\
\li Si osserva che in effetti, dato $S \subseteq E$, $\Aff(S)$ è un sottospazio affine, ossia è
chiuso per combinazioni affini dei propri punti. Siano infatti $P_1$, ..., $P_n$ punti di $\Aff(S)$
e siano $\lambda_1$, ..., $\lambda_n \in\KK$ tali che $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$. Si deve
mostrare dunque che $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i \in\Aff(S)$. Dal momento che $P_i \in\Aff(S)$ esiste $k_i \in\NN^+$ tale per cui esistano
$S_{i,1}$, ..., $S_{i,k_i}\in S$ e $\lambda_{i,1}$, ..., $\lambda_{i,k_i}\in\KK$ tali per cui
$P_i =\sum_{j=1}^{k_i}\lambda_{i,j} S_{i,j}$ e $\sum_{j=1}^{k_i}\lambda_{i,j}=1$. Allora
Pertanto $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i$ è combinazione affine di elementi di $S$, e quindi $\sum_{i=1}^n \lambda_i P_i \in\Aff(S)$. \\
\li Siano $P_1$, $P_2\in E$. Allora il sottospazio affine $\Aff(P_1, P_2)=\{\lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2\mid\lambda_1+\lambda_2=1, \lambda_1, \lambda_2\in\KK\}=\{(1-\lambda) P_1+\lambda P_2\mid\lambda\in\KK\}=\{ P_1+\lambda(P_2- P_1)\mid\lambda\in\KK\}$ è detto \textit{retta affine passante per $P_1$ e $P_2$}. Analogamente il sottospazio affine generato da tre elementi è detto \textit{piano affine}.
