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@ -458,4 +458,128 @@
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\boxed{\tau_\alpha(t) = \frac{(\alpha'(t) \times \alpha''(t)) \cdot \alpha'''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}^2}.}
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\]
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\end{proposition}
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\section{Proprietà di curvatura e torsione}
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\subsection{Torsione e piano osculatore}
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La torsione rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere un piano''.
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Più $\tau_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è
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localmente simile a un piano, in particolare il piano osculatore:
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\begin{definition}[Piano osculatore]
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Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
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il \textbf{piano osculatore} $\Pi_\alpha(t)$ al tempo $t$ di
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$\alpha$ come il seguente piano affine:
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\[ \boxed{\Pi_\alpha(t) \defeq \alpha(t) + \Span(T_\alpha(t), N_\alpha(t)).} \]
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\end{definition}
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L'intuizione presentata precedentemente è formalizzata dal seguente risultato:
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\begin{proposition}
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Sia $\alpha$ una curva di Frenet con $\tau_\alpha \equiv 0$. Allora
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$\Pi_\alpha(t)$ è costante e la traccia di $\alpha$ è contenuta in
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$\Pi_\alpha$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Possiamo assumere senza perdita di generalità che $\alpha : I \to \RR^3$ sia p.l.a.
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Allora da \eqref{eq:frenet_3}, si ricava $\dot{B_\alpha} \equiv 0$,
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e quindi $B_\alpha$ è costante. Poiché $B_\alpha$ è costante, la normale
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di $\Pi_\alpha(t)$ è costante. \smallskip
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Osserviamo che $T_\alpha \in B_\alpha^\perp$,
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da cui $T_\alpha \cdot B_\alpha = \alpha' \cdot B_\alpha = 0$. Ciò, unito al fatto
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che $I$ è connesso, implica che $\alpha(t) \cdot B_\alpha$ sia costante. Pertanto
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$(\alpha(t) - \alpha(t_0)) \cdot B_\alpha = 0$ per ogni $t_0$ in $I$ su tutto $I$.
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Questa è esattamente l'equazione di appartenenza al piano $\Pi_\alpha(t_0)$: si conclude
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allora che $\Pi_\alpha(t)$ è costante e che la traccia di $\alpha$ è contenuta in
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$\Pi_\alpha$.
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\end{proof}
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\subsection{Raggio di curvatura, rette affini e cerchio osculatore}
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La curvatura rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere una retta''.
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Più $\kappa_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è localmente
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simile a una retta. \smallskip
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I due seguenti risultati formalizzano proprio questa intuizione.
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\begin{proposition}
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Sia $\alpha$ una curva regolare con $\kappa_\alpha \equiv 0$. Allora
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$\alpha$ è contenuta in una retta affine. Viceversa, una retta affine
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si parametrizza con una curva avente curvatura nulla.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Possiamo supporre senza perdita di generalità che $\alpha$ sia p.l.a. Allora
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$\kappa_\alpha \equiv 0$ implica che $\dot{T_\alpha} \equiv 0$, ovverosia
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che $T_\alpha$ è costante. Pertanto $\alpha(t) = T_\alpha \cdot t + P$ per un
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$P \in \RR^3$. \smallskip
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Il viceversa è poi immediato.
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\end{proof}
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\begin{definition}[Raggio di curvatura]
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Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce il
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\textbf{raggio di curvatura} $R_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$
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come:
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\[
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\boxed{R_\alpha(t) \defeq \frac{1}{\kappa_\alpha(t)}.}
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\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Cerchio osculatore]
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Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Si definisce il
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\textbf{cerchio osculatore} $\CC_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$ come
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il cerchio di raggio $R_\alpha(t)$ e centro $\alpha(t) + R_\alpha(t) N_\alpha(t)$, ovverosia:
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\[
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\boxed{\CC_\alpha(t) \defeq \CC(\alpha(t) + R_\alpha(t) N_\alpha(t), R_\alpha(t)).}
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\]
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Osserviamo che, per definizione, il cerchio osculatore $\CC_\alpha(t)$ è contenuto
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nel piano osculatore $\Pi_\alpha(t)$.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Il raggio di curvatura è il raggio del cerchio che meglio approssima $\alpha$ in un punto]
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Sia $\alpha$ una curva p.l.a.~di Frenet. Si ponga:
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\[
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f_{P, R}(t) \defeq \norm{\alpha(t) - P}^2 - R^2.
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\]
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Si pongano le seguenti condizioni:
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\begin{itemize}
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\item $f_{P, R}(t_0) = 0$, ovverosia il cerchio $\CC(P, R)$ passa per $\alpha(t_0)$;
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\item $f_{P, R}'(t_0) = f_{P, R}''(t_0) = 0$, ovverosia il
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cerchio $\CC(P, R)$ approssima $\alpha$ in $t_0$ fino al secondo ordine.
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\end{itemize}
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Allora l'unico cerchio $\CC(P, R)$ contenuto nel piano osculatore $\Pi_\alpha(t_0)$ e
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soddisfacente le sopracitate condizioni
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è il cerchio osculatore $\CC_\alpha(t_0)$ al tempo $t_0$ di $\alpha$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Osserviamo che:
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\[ f_{P, R}'(t) = 2 \alpha'(t) \cdot (\alpha(t) - P), \]
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e quindi $f_{P, R}'(t_0) = 0$ implica $T_{\alpha}(t_0) \perp \alpha(t_0) - P$.
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Dal momento che il cerchio $\CC(P, R)$ deve essere contenuto nel piano osculatore
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di $\alpha(t_0)$, allora $\alpha(t_0) - P \parallel N_\alpha(t_0)$. \medskip
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Inoltre:
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\[ f_{P, R}''(t) = 2 (\alpha''(t) \cdot (\alpha(t) - P) + \norm{\alpha'(s)}^2), \]
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da cui, ponendo $f_{P, R}''(t_0) = 0$, si ottiene:
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\[ P = \alpha(t_0) + R_\alpha(t_0) N_\alpha(t_0). \]
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Infine, usando che $f_{P, R}(t_0)$, si conclude che $R = R_\alpha(t_0)$.
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\end{proof}
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\subsection{Teorema fondamentale della teoria delle curve}
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La curvatura e la torsione delineano essenzialmente un'unica curva:
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\begin{theorem}[fondamentale della teoria delle curve]
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Due due curve p.l.a.
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di Frenet $\alpha$, $\hat{\alpha} : I \to \RR^3$ hanno curvatura e torsione
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coincidente se e solo se la traccia di una curva è ottenibile dall'altra tramite
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movimento rigido dello spazio \textnormal{(i.e., isometria con
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parte lineare in $\SO(3)$)}.
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\end{theorem}
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\end{multicols*}
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