}. Per motivi didattici si riporta la dimostrazione semplificata
per il semplice caso dei gruppi abeliani finiti. \medskip
Il Teorema di struttura trova immediata applicazione nello
studio dei gruppi abeliani finiti e, dato $n \in\NN^+$, permette di classificare tutti i gruppi abeliani di ordine $n$ (a meno
di isomorfismo), come illustra il seguente enunciato:
\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
decomposizione in fattori invarianti]
Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
$n_1$, \ldots, $n_s \in\NN$ tali per cui:
$n_1$, \ldots, $n_s \in\NN^+\setminus\{1\}$ tali per cui:
\[ G \cong\ZZmod{n_1}\times\cdots\times\ZZmod{n_s}, \qquad n_s \mid n_{s-1}\mid\cdots\mid n_2\mid n_1. \]
Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
\textbf{decomposizione in fattori invarianti}, dove
i fattori invarianti sono i vari $n_i$.
\end{theorem}
Equivalentemente si poteva enunciare il Teorema di struttura
utilizzando la \textit{decomposizione in fattori elementari}
mediante l'applicazione reiterata del Teorema cinese del
resto, come illustra il:
\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
decomposizione primaria]
Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
$p_1$, \ldots, $p_s$ numeri primi e unici $m_{i,1}\geq\cdots\geq m_{i,t_i}$ per ogni $1\leq i \leq s$ tali per cui:
\[ G \cong\ZZpmod{p_1^{m_{1,1}}}\times\cdots\times\ZZpmod{p_1^{m_{1,t_1}}}\times\ZZpmod{p_2^{m_{2,1}}}\times\cdots\times\ZZpmod{p_s^{m_{s,t_s}}}. \]
Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
\textbf{decomposizione primaria} (o in fattori
elementari), dove i fattori elementari sono i vari $p_i^{m_{i,j}}$.
\end{theorem}
Prima di dimostrare il Teorema di struttura, si definisce
il concetto di $p$-componente relativa a un numero $p$
primo.
\begin{definition}[$p$-componente]
Si definisce \textbf{$p$-componente}$G(p)$ (o $p$-torsione)
di $G$ il sottogruppo di $G$ tale per cui:
@ -22,24 +64,52 @@
\end{definition}
\begin{remark}
Si dimostra facilmente che $G(p)$ è un sottogruppo. Chiaramente
$G(p)\subseteq G$; inoltre $e$ chiaramente appartiene
a $G(p)$. Se poi $x$, $y \in G(p)$, allora
Si osserva facilmente che $G(p)$ è effettivamente
un sottogruppo. Infatti vale chiaramente che
$G(p)\subseteq G$; inoltre $e$ appartiene
a $G(p)$. Dati allora $x$, $y \in G(p)$, allora
$\ord(xy)\mid\mcm(\ord(x), \ord(y))$, e quindi
$\ord(xy)= p^k$ per qualche $k$. Pertanto anche
$xy \in G(p)$. Dal momento che $G(p)$ è finito,
questo dimostra che $G(p)$ è un sottogruppo.
la chiusura sull'operazione di gruppo implica anche
l'esistenza dell'inverso, e dunque
$G(p)$ è un sottogruppo di $G$.
\end{remark}
\begin{remark}
Si osserva che $G(p)$ ha ordine $p^n$, dove
$p^n \exactdiv n =\abs{G}$ e che se $H \leq G$
è un sottogruppo di ordine $p^i$, $H$ è chiaramente
un sottogruppo di $G(p)$. Pertanto, si può definire
equivalentemente $G(p)$ come il $p$-sottogruppo\footnote{
Chiaramente $G(p)$ è un $p$-sottogruppo. Infatti,
se $q$ fosse un primo diverso da $p$ che divide
$\abs{G(p)}$, per il Teorema di Cauchy esisterebbe
un elemento di ordine $q$ in $G(p)$, $\Lightning$.
} massimo
per inclusione di $G$.
\end{remark}
\begin{remark}
$G(p)$ è un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti
La $p$-componente $G(p)$ è anche un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti
$\varphi\in\Aut(G)$ lascia invariato l'ordine di
un elemento di $G(p)$, e quindi $\varphi(G(p))= G(p)$.
Alternativamente si può utilizzare l'osservazione
precedente e notare che $G(p)$ è l'unico sottogruppo
del suo ordine\footnote{
In ogni caso $G$ è abeliano e quindi, poiché
tutti i $p$-Sylow sono coniugati, $G(p)$ è l'unico $p$-Sylow di $G$, e dunque
è caratteristico perché unico del suo ordine.
Più elementarmente, ogni $p$-sottogruppo di $G$
è contenuto in $G(p)$, e quindi è l'unico del suo
ordine.
}.
\end{remark}
\begin{remark}
La dimostrazione del teorema di struttura segue
il seguente schema:
\begin{scheme}
La dimostrazione del Teorema di struttura si fonda su
due teoremi che verranno dimostrati nel seguito e che
vengono ora enunciati:
\begin{itemize}
\item Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
@ -52,7 +122,7 @@
$G \cong\ZZmod{p_1^{r_1}}\times\cdots
\times\ZZmod{p_1^{r_s}}$.
\end{itemize}
\end{remark}
\end{scheme}
\begin{proof}[Dimostrazione a priori]
Per il primo teorema, $G$ si può decomporre nelle sue
@ -73,16 +143,28 @@
Applicando allora il Teorema cinese del resto si ottiene
l'esistenza della fattorizzazione secondo il Teorema
di struttura per gruppi abeliani finiti.
L'unicità segue dal primo teorema riapplicando il Teorema
cinese del resto al contrario. %TODO: estendi
di struttura per gruppi abeliani finiti. L'unicità segue
Si scrive il gruppo $G =\ZZmod{26}\times\ZZmod{169}\times\ZZmod{12}$ seguendo le regole del Teorema di struttura.
Poiché $26=2\cdot13$, $169=13^2$ e $12=2^2\cdot3$,
applicando il Teorema cinese del resto si può scrivere $G$
come:
\[ G \cong(\ZZmod{2}\times\ZZmod{13})\times(\ZZmod{13^2})\times(\ZZmod{2^2}\times\ZZmod{3}). \]
Facendo commutare i fattori come nella dimostrazione
del Teorema di struttura otteniamo che:
\[ G \cong(\ZZmod{2^2}\times\ZZmod{13^2}\times\ZZmod{3})\times(\ZZmod{2}\times\ZZmod{13}), \]
e quindi vale la seguente decomposizione in fattori
invarianti per $G$:
\[ G \cong\ZZmod{2028}\times\ZZmod{26}, \]
dove si osserva che $26\mid2028$.
\end{example}
Si dimostrano i due teoremi:
Si dimostrano adesso i due teoremi impiegati nella dimostrazione
del Teorema di struttura:
\begin{theorem}
Se $G$ è abeliano con $\abs{G}= p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1)\times\cdots\times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
@ -92,14 +174,7 @@
\end{theorem}
\begin{proof}
Si dimostra per induzione sul numero $s$ di primi distinti
nella fattorizzazione di $\abs{G}$. Se $s=1$,
$G$ coincide con l'unica sua $p$-componente. Sia
ora $s \geq2$. Se $\abs{G}= m m'$ con $m'>1$ e
$\MCD(m, m')=1$. Mostro che $G \cong mG \times m'G$. \medskip
%TODO: continuare con Bezout
%TODO
\end{proof}
\begin{theorem}
@ -109,4 +184,182 @@
$G \cong\ZZmod{p_1^{r_1}}\times\cdots
\times\ZZmod{p_1^{r_s}}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
%TODO
\end{proof}
I gruppi moltiplicativi $\ZZmulmod{p^k}$ e $\ZZmulmod{2p^k}$,
con $p$ numero primo, sono completamente classificati e
sono note le loro decomposizioni in fattori invarianti,
come mostra il fondamentale:
\begin{theorem}
Sia $p$ un numero primo dispari e $k \in\NN^+$. Allora,
