feat(eps): probabilità reale discreta

Secondo anno/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex

@@ -409,14 +409,14 @@
 		$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
 		$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
 		mediante $\Xi$, in modo tale che:
-		\vskip -0.3in
+		
 		\begin{equation*}
 		\begin{split}
 			\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
 			&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
 		\end{split}
 		\end{equation*}
-		\vskip -0.2in
+
 		In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
 		$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
 		(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
@@ -638,6 +638,32 @@
 		\end{cases} \]
 		
 		
+		\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
+		
+		Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
+		Allora
+		vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
+		
+		\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
+		
+		Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
+		\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
+		dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
+		
+		
+		Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
+		su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
+		\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
+		Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
+		$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
+		e pertanto di Galois. \medskip
+		
+		
+		Inoltre vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
+		e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
+		
 		\vfill
 		\hrule
 		~\\

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

@@ -157,9 +157,15 @@
         \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
         \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
         \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
-        \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
+        \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta; per una probabilità discreta $P$, la densità discreta della probabilità
+        ristretta all'insieme $\Omega_0$ su cui è concentrata $P$ o, con abuso di notazione, la mappa $x \mapsto P(\{x\})$ (che coincide
+        sui termini di $\Omega_0$ con $p$ e che è $0$ negli altri punti).
+        \item $\delta_a$ -- delta di Dirac; dato uno spazio misurabile $(\Omega, \FF)$ e $a \in \Omega$, probabilità tale per cui
+        $\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $0$ altrimenti (tale probabilità è concentrata in $\{a\}$ ed è dunque
+        discreta).
         \item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale.
         \item $F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione.
+        \item AC -- assolutamente continua, riferito a una probabilità.
         \item \va -- variabile aleatoria.
         \item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
         \item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/2-probabilità-discreta.tex

@@ -64,6 +64,7 @@ in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$.
 \end{proposition}
 
 \subsection{Misure di probabilità discrete su spazi campionari non discreti e discretizzazione}
+\label{sec:discretizzazione}
 
 \begin{definition}[Probabilità discreta su spazio campionario non discreto]
     Dato $(\Omega, \FF, P)$ spazio di probabilità con $\{\omega\} \in \FF$ per
@@ -103,6 +104,17 @@ in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$.
     $P$ al suo range $R_P$.
 \end{remark}
 
+\begin{remark}
+    \label{remark:identità_discreta_dirac}
+    Se $P$ è una probabilità discreta e, per $a \in \Omega$, $\delta_a$ è il \textbf{delta di Dirac}, ovverosia
+    la probabilità per cui $\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $\delta_a(A) = 0$ se $a \notin A$, allora vale
+    la seguente identità:
+    \[
+        P = \sum_{\omega \in R_P} p(\omega) \, \delta_{\omega},
+    \]
+    dove si osserva che $R_P$ è numerabile (dacché $P$ è discreta).
+\end{remark}
+
 \section{Variabili aleatorie discrete}
 
 \subsection{Definizione di v.a.~discreta e composizione}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/3-probabilità-reale.tex

@@ -175,7 +175,8 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
 \begin{theorem}[Esistenza e unicità della misura di Lebesgue]
     Esiste ed è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
     $m([a, b]) = b-a$ per ogni $a$, $b \in \RR$ con $b > a$. Tale misura
-    è detta \textbf{misura di Lebesgue}. \smallskip
+    è detta \textbf{misura di Lebesgue} e corrisponde al concetto ``primitivo'' di
+    \textit{lunghezza}. \smallskip
 
 
     L'unicità segue dall'enunciato generale del lemma di Dynkin.
@@ -283,4 +284,70 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
     a $F(b) - F(a)$ in tutti i casi (infatti $F(a^-) = F(a)$ e $F(b^-) = F(b)$).  
 \end{remark}
 
+\section{Classi di probabilità reale: discreta e assolutamente continua (AC)}
+
+Esistono due classi importanti, ma non esaustive, di probabilità reale: le
+probabilità discrete e quelle continue, contenenti quelle assolutamente
+continue. Le classi di probabilità reali
+si dividono dunque secondo il seguente schema:
+
+\begin{center}
+    \tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt        
+
+    \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1,scale=0.8]
+    %uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300
+    
+    %Shape: Rectangle [id:dp7885262489349896] 
+    \draw   (220.19,65.28) -- (466.19,65.28) -- (466.19,196.28) -- (220.19,196.28) -- cycle ;
+    %Shape: Ellipse [id:dp8572353674963273] 
+    \draw   (229.69,95.79) .. controls (236.04,78.39) and (264.48,72.78) .. (293.2,83.27) .. controls (321.92,93.76) and (340.05,116.37) .. (333.7,133.77) .. controls (327.34,151.17) and (298.91,156.78) .. (270.19,146.29) .. controls (241.47,135.8) and (223.33,113.19) .. (229.69,95.79) -- cycle ;
+    %Shape: Ellipse [id:dp3583963732297444] 
+    \draw   (342.58,156.41) .. controls (332.85,131.07) and (350.75,100.63) .. (382.58,88.41) .. controls (414.4,76.19) and (448.08,86.82) .. (457.81,112.15) .. controls (467.54,137.48) and (449.63,167.93) .. (417.81,180.15) .. controls (385.99,192.37) and (352.31,181.74) .. (342.58,156.41) -- cycle ;
+    %Shape: Ellipse [id:dp5413476700533957] 
+    \draw   (393.91,107.98) .. controls (397.1,99.22) and (408.98,95.52) .. (420.44,99.7) .. controls (431.9,103.89) and (438.6,114.38) .. (435.4,123.13) .. controls (432.21,131.89) and (420.33,135.59) .. (408.87,131.41) .. controls (397.41,127.22) and (390.71,116.73) .. (393.91,107.98) -- cycle ;
+    
+    % Text Node
+    \draw (252,103) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {discrete};
+    % Text Node
+    \draw (358,145) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {continue};
+    % Text Node
+    \draw (403,105) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {AC};
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsection{Probabilità discreta e f.d.r.}
+
+Come già discusso nella sezione della \textit{\hyperref[sec:discretizzazione]{Discretizzazione}},
+una probabilità reale $P$ si dice \textit{discreta} se esiste $\Omega_0 \subseteq \RR$
+discreto per cui $P$ è concentrata su $\Omega_0$. In tal caso, come già visto,
+$P(A) = P(A \cap \Omega_0)$ per ogni $A \in \BB(\RR)$, e dunque $P$ è univocamente determinata
+dalla densità discreta di $\restr{P}{\PP(\Omega_0)}$, che chiameremo $p$. \smallskip
+
+
+In questo caso il range $R_P$ è dunque numerabile e, se $F$ è la f.d.r.~di $P$, vale che:
+\[
+    F(x) = P((-\infty, x]) = \sum_{\substack{y \in R_P \\ y \leq x}} p(y).
+\]
+
+\begin{remark}
+    Se $P$ è discreta, come già osservato nella sezione della \textit{\hyperref[remark:identità_discreta_dirac]{Discretizzazione}},
+    allora vale che:
+    \[
+        P = \sum_{x \in R_P} p(x) \, \delta_x.
+    \]
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+    Se $R_P$ non ha punti di accumulazione, allora $F$ è costante a tratti con salti
+    negli $y \in R_P$ di ampiezza $p(y)$. \smallskip
+
+
+    Al contrario, presa una successione $(p_r)_{r \in \QQ}$ con $\sum_{r \in \QQ} p_r = 1$,
+    la probabilità $P = \sum_{r \in \QQ} p_r \, \delta_r$ è una probabilità discreta con
+    f.d.r.~non costante a tratti (infatti tutti i punti di $\QQ$ sono punti di accumulazione). 
+\end{remark}
+
+Pertanto, se una probabilità reale è discreta, ci si può effettivamente restringere a tutti
+i risultati della \textit{Parte 2}.
+
 \end{multicols*}