mirror of https://github.com/hearot/notes
You cannot select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
126 lines
4.8 KiB
TeX
126 lines
4.8 KiB
TeX
\documentclass[10pt,landscape]{article}
|
|
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,amsfonts}
|
|
\usepackage{multicol,multirow}
|
|
\usepackage{marvosym}
|
|
\usepackage{calc}
|
|
\usepackage{ifthen}
|
|
\usepackage[landscape]{geometry}
|
|
\usepackage[colorlinks=true,citecolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref}
|
|
\usepackage{notes_2023}
|
|
|
|
\setlength{\extrarowheight}{0pt}
|
|
|
|
\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
|
|
{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
|
|
{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
|
|
}
|
|
%\pagestyle{empty}
|
|
\makeatletter
|
|
\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
|
|
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{0.5ex plus .2ex}%x
|
|
{\normalfont\large\bfseries}}
|
|
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}%
|
|
{-1explus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{0.5ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
|
|
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}%
|
|
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{1ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\small\bfseries}}
|
|
\makeatother
|
|
\setcounter{secnumdepth}{0}
|
|
\setlength{\parindent}{0pt}
|
|
\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
|
|
% -----------------------------------------------------------------------
|
|
|
|
\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\parskip=0.7ex
|
|
|
|
\raggedright
|
|
\footnotesize
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
|
|
\end{center}
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\setlength{\premulticols}{1pt}
|
|
\setlength{\postmulticols}{1pt}
|
|
\setlength{\multicolsep}{1pt}
|
|
\setlength{\columnsep}{2pt}
|
|
|
|
\section{Geometria proiettiva}
|
|
|
|
\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
|
|
|
|
Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
|
|
relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
|
|
\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
|
|
Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
|
|
con $\PP(V)$, come:
|
|
\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
|
|
In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
|
|
e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
|
|
la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
|
|
\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
|
|
Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
|
|
mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
|
|
\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
|
|
associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$. \medskip
|
|
|
|
|
|
Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
|
|
\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
|
|
lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
|
|
\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
|
|
dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$.
|
|
Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
|
|
si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
|
|
trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
|
|
\textbf{proiettività}.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
|
|
iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
|
|
esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
|
|
\zerovecset$).
|
|
\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
|
|
sempre una trasformazione proiettiva $f$,
|
|
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
|
|
iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
|
|
\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
|
|
trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
|
|
lineari associate alle trasformazioni di partenza,
|
|
\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
|
|
dall'identità di $V$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
|
|
l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
|
|
proiettività di $V$ rispetto alla composizione.
|
|
|
|
Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
\item $f$ è surgettiva,
|
|
\item $f$ è bigettiva,
|
|
\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
|
|
\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
|
|
\vfill
|
|
\hrule
|
|
~\\
|
|
Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
|
|
~\\Reperibile su
|
|
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\end{document}
|