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\section{Gruppi}
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\subsection{Definizione e motivazione}
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Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
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\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
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di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
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regole.
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Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
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gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
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come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
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per oggetti matematici apparentemente scollegati.
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Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
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generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
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fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
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aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
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aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
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alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
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teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
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esse condividono la natura di gruppo.
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\begin{definition}
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Dato un insieme non vuoto $G$, $(G, \cdot)$ si dice \textbf{gruppo} se data
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un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ essa è t.c:
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\begin{itemize}
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\item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \,\, \forall a \in G$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = e$
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Nella definizione di gruppo si è chiaramente specificato che l'operazione dev'essere
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ben definita e, soprattutto, che l'insieme $G$ dev'essere chiuso rispetto ad esso.
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Pertanto, non è sufficiente aver verificato le tre proprietà sopraelencate senza
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aver prima verificato che l'operazione sia effettivamente un'operazione di
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gruppo.
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\end{remark}
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\begin{example}[Gruppo ciclico elementare]
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L'insieme $\ZZ/n\ZZ$ (che talvolta indicheremo semplicemente come $\ZZ_n$) degli interi modulo $n$ è un gruppo con l'operazione di
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somma $+$. Infatti:
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\begin{itemize}
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\item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + \left[b\right]_n = \left[a+b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
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\item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n, \left[c\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left(\left[a\right]_n + \left[b\right]_n\right) + \left[c\right]_n = \left[a+b\right]_n +
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\left[c\right]_n = \left[a+b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left[b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left(\left[b\right]_n + \left[c\right]_n\right)$ (\textit{associatività})
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\item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + 0 = \left[a\right]_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
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\item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \exists \left[-a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ \mid \left[a\right]_n + \left[-a\right]_n = 0$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
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\end{itemize}
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\end{example}
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\begin{example}[Gruppo simmetrico]
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L'insieme $S_n$ delle funzioni bigettive da $X_n = \{1, 2, \ldots, n\}$ in sé stesso è un
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gruppo rispetto all'operazione di composizione. Infatti:
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\begin{itemize}
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\item $\forall f, g \in S_n, \, f \circ g \in S_n$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
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\item $\forall f, g, h \in S_n, \, (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (\textit{associatività})
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\item $\exists e = \Id \in S_n \mid f \circ e = f = e \circ f \forall f \in S_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
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\item $\forall f \in S_n, \, \exists f^{-1} \in S_n \mid f \circ f^{-1} = e$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
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\end{itemize}
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\end{example}
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Le proprietà date dalla definizione di un gruppo ci permettono immediatamente di desumere
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altre proprietà fondamentali, e che sulle quali faremo affidamento d'ora in poi.
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\begin{theorem}
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L'inverso $a^{-1}$ di un elemento $a$ di un gruppo $G$ è unico.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Supponiamo che $b$ e $c$ siano due elementi inversi distinti di $a$. Allora
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$b=b\cdot e=b\cdot \underbrace{(a \cdot c)}_{=e}=\underbrace{(b \cdot a)}_{=e} \cdot c=c$, \Lightning. Pertanto l'inverso è unico.
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\end{proof}
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